“一元二次方程”單元起始課教學的思考與實踐

合肥市史承灼名師工作室 合肥市第四十八中學/

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011 版）》指出：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學生感受數(shù)學的整體性，體會對于某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解?！北疚囊浴耙辉畏匠獭眴卧鹗颊n為例，思考關(guān)注知識整體結(jié)構(gòu)的單元教學實踐。

一、知識結(jié)構(gòu)分析

1.教學內(nèi)容分析

“一元二次方程” 是滬科版數(shù)學八年級下冊第17章的內(nèi)容，是在學習了一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組）、代數(shù)式運算和因式分解的基礎(chǔ)上展開的，是義務(wù)教育階段方程知識的進一步拓展。本單元的學習既是對以前所學的代數(shù)式、因式分解、方程、平方根和二次根式知識的強化與鞏固，又是為以后學習二次函數(shù)、二次不等式做鋪墊。本單元是培養(yǎng)學生數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體。

一元二次方程的編排與已學過的有關(guān)方程類似，按照“實際問題—建立數(shù)學模型—探究數(shù)學模型的解（一元二次方程的解）—實際問題的解決” 思路展開。從學生熟悉的實際問題入手，讓學生經(jīng)歷自主探索與合作交流活動，體會方程源于實踐，也是刻畫現(xiàn)實世界和解決問題的重要工具。內(nèi)容安排呈現(xiàn)一明一暗兩條主線。明線是深化方程模型思想，加強應(yīng)用意識。從實際問題抽象出數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程，求解并檢驗，得到實際問題的解。暗線是基于知識內(nèi)部發(fā)展，完善方程體系。前面學過的有關(guān)方程知識，如二元一次方程（組）、三元一次方程（組）等，都是方程在“元”上的延伸，基本思想就是“消元”，即化“多元”為“一元”。自然地，將一元一次方程在“次”上延伸，最簡單的就是一元二次方程，基本思想就是“降次”，即化“二次”為“一次”。兩條主線齊頭并進、時有交錯、相輔相成。

本章分三部分，首先通過對實際問題的分析、觀察，構(gòu)建一元二次方程，體現(xiàn)數(shù)學是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。從方程的特殊形式入手，引導(dǎo)學生思考、交流，運用轉(zhuǎn)化思想探索一元二次方程的解法。其次研究一元次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系。最后運用一元二次方程解決實際問題，展現(xiàn)運用方程解決實際問題的一般過程，強化建模思想。

2.教學目標分析

教學目標是師生預(yù)期達到的學習效果和標準，是教學的根本指向和核心任務(wù)，也是教學的關(guān)鍵。教學目標的定位直接影響教學設(shè)計的合理性和教學的有效性。鑒于單元起始課，為讓學生清楚本單元的知識脈絡(luò)和知識的邏輯關(guān)系以及研究思路等，確定本課時的教學目標是： 經(jīng)歷實際問題中數(shù)量關(guān)系的分析、抽象過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種數(shù)學模型；了解一元二次方程及其相關(guān)概念，初步理解一元二次方程解法的基本思想及其與一元一次方程的聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法；初步理解配方的意義，能用直接開平方法、配方法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)一元二次方程；能初步根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程并求解，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗求得的結(jié)果是否合理；在經(jīng)歷建立方程模型解決實際問題的過程中，初步提高分析問題和解決問題的能力，初步體會數(shù)學建模和符號化思想，感受數(shù)學的應(yīng)用價值，提升數(shù)學素養(yǎng)。本節(jié)課的教學重點應(yīng)是一元二次方程的概念、解法及其應(yīng)用。

二、認知結(jié)構(gòu)分析

奧蘇貝爾說：“影響學習的唯一最重要的因素就是學生已經(jīng)知道了什么?！憋@然，學生的認知基礎(chǔ)是一切數(shù)學教學活動的起點，更是進行單元教學的基本前提。八年級學生已掌握一元一次方程、二元一次方程（組）、代數(shù)式的運算和因式分解等知識，具備一定的文字閱讀能力，積累了一定的生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗和解題經(jīng)驗。另外，八年級學生好動、好奇、好表現(xiàn)，樂于發(fā)表見解，這為本單元的學習奠定了堅實的基礎(chǔ)。本節(jié)課的教學難點是配方、建立一元二次方程模型解決實際問題。

三、教學過程分析

1.回顧舊知，激活已有經(jīng)驗

問題1：請回顧一元一次方程的相關(guān)知識，如什么叫做一元一次方程？ 如何解一元一次方程？

追問1： 你能總結(jié)一下研究一元一次方程的基本思路嗎？

追問2：從今天開始，我們來學習第17 章“一元二次方程”。你認為一元二次方程應(yīng)該是一個什么樣的研究思路？

設(shè)計意圖：一元二次方程是以一元一次方程為基礎(chǔ)的，其研究思路與一元一次方程的研究思路是一致的，回顧一元一次方程的研究思路是為研究一元二次方程搭建了研究框架，完善學生的知識和認知結(jié)構(gòu)。通過復(fù)習一元一次方程概念、特征、解法等引出新課，引導(dǎo)學生運用類比的方法探究新知。

2.導(dǎo)學達標，自主探究新知

問題2： 某蔬菜隊2017 年全年無公害蔬菜產(chǎn)量為100t，若無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率是x。（1）2018年無公害蔬菜產(chǎn)量是多少？ （2） 2019 年無公害蔬菜產(chǎn)量是多少？（3）若2018 年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2017 年翻一番（即為200t），如何表示題中的相等關(guān)系？ （4） 計劃2019 年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2017 年翻兩番（即為400t），可以得到一個什么樣的方程？并將其化簡整理使其右邊為0。

設(shè)計意圖：采取密臺階、小步子將章前圖中的問題分解，降低難度，便于學生從實際問題出發(fā)建立方程模型。這一情境的設(shè)置也說明了學習新知的必要性。問題的答案分別是：（1）100（1+x）；（2）100（1+x）2；（3）100（1+x）=200；（4）100（1+x）2=400，x2+2x-3=0。

問題3：方程x2+2x-3=0 是一元一次方程嗎？它與一元一次方程有何異同？

追問1：你能再寫出幾個類似的方程嗎？

追問2：這些方程都是整式方程，只含有一個未知數(shù)，由于未知數(shù)項的最高次數(shù)是2，所以不是一元一次方程。那么他們是什么方程呢？ 你能給這樣的方程命名嗎？

追問3：你能給這樣的方程下定義嗎？

問題4：請判斷下列方程是否是一元二次方程？

（1）x2+-3=0；（2）x2+y-2=0；（3）x3+3x+1=0。

問題5：我們知道一次函數(shù)有一般式，能嘗試寫出一元二次方程的一般式嗎？ [一元二次方程的一般式為ax2+bx+c=0(a≠0）]

追問1： 請說明方程的一般式中各項及其系數(shù)分別是什么？

追問2：在一元二次方程的一般式中，為什么要限制二次項系數(shù)a≠0？ 其中的b，c可以為零嗎？

設(shè)計意圖： 教師引導(dǎo)學生類比一元一次方程，在分析新舊知識異同點的基礎(chǔ)上，從形式和本質(zhì)上理解一元二次方程概念、一般形式(標準形式)及其相關(guān)概念，讓新知自然發(fā)生和發(fā)展，并以激勵性語言激發(fā)學生的學習熱情。

問題6： 剛才我們研究了一元二次方程的定義和一般式，接下來應(yīng)該研究什么？

問題7：一元二次方程的解法是本章的重要內(nèi)容。你能嘗試解下列一元二次方程嗎？ （1）x2=9；（2）x2-2x=0；（3）x2+2x-3=0。

追問1：你能給方程（1）的解法命名嗎？（在學生回答將方程x2=9 兩邊開平方得x=±3 后）

追問2：方程（2）顯然不能兩邊直接開平方，怎么辦？ （引導(dǎo)學生觀察，雖然方程x2-2x=0 不能用直接開平方法，但左邊可因式分解，x（x-2）=0，于是降次得到兩個一元一次方程x=0 或x-2=0，可得原方程的解是x=0 或x=2）

追問3：我們又成功發(fā)現(xiàn)了另一種方法，能結(jié)合解法特征給它命名嗎？

追問4：方程（2）還有其他解法嗎?可不可以將其轉(zhuǎn)化成能用直接開平方法求解呢？ （在教師引導(dǎo)下，學生發(fā)現(xiàn)若方程x2-2x=0 兩邊同時加上1，左邊是完全平方式，得到x2-2x+1=1，即（x-1）2=1，這樣就可以用直接開平方法求解了。學生發(fā)現(xiàn)這種解法后十分興奮）

追問5：太好了！ 能結(jié)合解法特征給它命名嗎？

問題8：現(xiàn)在我們回到問題2 中來。若計劃2019年無公害蔬菜的產(chǎn)量比2017 年翻兩番，要實現(xiàn)這一目標，無公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率應(yīng)是多少？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生從已有知識（求一個非負數(shù)的平方根）出發(fā)，充分運用轉(zhuǎn)化思想自主探究，逐步深入，最終獲得了一元二次方程的解法——直接開平方法、配方法和因式分解法。

3.總結(jié)反思，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)

設(shè)計意圖：程序化總結(jié)，有助于學生自主探究本章內(nèi)容，將新知納入原有知識體系中，構(gòu)建新的開放性的知識結(jié)構(gòu)，同時有助于學生后續(xù)自主學習。

4.課后作業(yè)，鞏固所學知識（略）

四、教學反思

數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學思想本身都具有高度系統(tǒng)化的特點，學生對這些知識和方法的掌握、認知結(jié)構(gòu)的形成，需要統(tǒng)籌兼顧、整體規(guī)劃。

1.彰顯本質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學結(jié)構(gòu)

教師胸懷全局、高屋建瓴，整體把握和調(diào)控單元教學進程，突出單元教學重點，分解單元教學難點，系統(tǒng)落實因材施教、及時反饋，防止教與學缺陷的積累，促進學生整體厘清單元教材的內(nèi)容、地位、目標、學法，明確學習主線，圍繞“本單元要學什么內(nèi)容”“為什么要學本單元”“怎樣才能學好本單元”等問題，有意識進行“四基”和“四能”的系統(tǒng)訓(xùn)練，形成本單元認知結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)系統(tǒng)思維，養(yǎng)成全面思考問題的習慣，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

2.問題引領(lǐng)，促進自主探究

“學起于思，思源于疑。”數(shù)學教學應(yīng)以問題為線索將整體性與過程性結(jié)合在一起，使發(fā)現(xiàn)式學習和開放性教學有合理的“度”，統(tǒng)籌兼顧講授教學與自主學習的關(guān)系，引導(dǎo)學生獨立思考、主動探索、合作交流。教師充分考慮學生原有知識基礎(chǔ)、活動經(jīng)驗和思維特點，把教學內(nèi)容問題化。以問題作為教學主線，以層層遞進式的一個接著一個問題和連續(xù)不斷的追問，將整個課堂教學過程串聯(lián)起來，條理清晰，脈絡(luò)分明。

3.注重類比，教會學習方法

授人以魚不如授人以漁。一元二次方程在學習內(nèi)容、學習方法、研究思路等方面與一元一次方程都有很多類似之處，教學中應(yīng)基于學生最近發(fā)展區(qū)，充分運用類比方法，創(chuàng)設(shè)思維情境，激發(fā)學生自主探究，讓新知自然生成，實現(xiàn)知識的正遷移。對于一元二次方程解法教學，應(yīng)引導(dǎo)學生打開自己的思維，通過轉(zhuǎn)化找出解決新問題的方法，讓方法自然生成，這樣不僅能提高學生提出問題和解決問題的能力，更有利于突破教學難點。

數(shù)學教學應(yīng)以學生的認知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學生，因材施教。注重數(shù)學知識結(jié)構(gòu)——邏輯性、整體性、關(guān)聯(lián)性，以問題引導(dǎo)和促進學生主動參與、自主探究，充分運用類比、轉(zhuǎn)化等方法，立足于學生最近發(fā)展區(qū)，挖掘新知與舊知之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，構(gòu)建數(shù)學知識體系。