指向培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的“有理數(shù)”單元教學(xué)設(shè)計與實施建議

◎ 孫 虎

一、引言

教學(xué)設(shè)計是教師進(jìn)行課堂教學(xué)的必要準(zhǔn)備，也是提高教學(xué)質(zhì)量的重要方式之一。對于數(shù)學(xué)學(xué)科，通過單元教學(xué)設(shè)計可以讓單元教學(xué)更加系統(tǒng)化、科學(xué)化；通過對課程目標(biāo)的細(xì)化，對教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，可以有效縮減課程實施過程中產(chǎn)生的落差；通過對學(xué)習(xí)者的分析，可以進(jìn)一步在教學(xué)組織、認(rèn)知方式以及活動方式等角度完善課堂教學(xué)，使基于學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程效率更高。

本文以滬教版《數(shù)學(xué)》六年級第二學(xué)期第五章“有理數(shù)”的單元教學(xué)設(shè)計為例，從數(shù)系發(fā)展的角度闡述學(xué)生對數(shù)的發(fā)展性認(rèn)識、對數(shù)學(xué)符號蘊含意義的了解以及在解決問題過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)。

二、指向培養(yǎng)運算素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計

單元教學(xué)設(shè)計的基本環(huán)節(jié)一般包括單元教學(xué)要素分析和教學(xué)目標(biāo)的確定兩個環(huán)節(jié)。

（一）單元教學(xué)要素分析

對單元教學(xué)要素進(jìn)行分析是厘清所涉及單元知識以及與單元知識相關(guān)的課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)基本要求、教材體系、學(xué)情、重難點、所用教學(xué)方法等內(nèi)容的必要環(huán)節(jié)。

1.數(shù)學(xué)知識分析

從數(shù)系發(fā)展的角度看，學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)階段對負(fù)數(shù)有所了解，在六年級第一學(xué)期也已經(jīng)對“分?jǐn)?shù)”進(jìn)行深入學(xué)習(xí)。本章在進(jìn)一步厘清有理數(shù)分類的基礎(chǔ)上，引入數(shù)軸、絕對值、乘方以及科學(xué)計數(shù)法等內(nèi)容，在讓學(xué)生認(rèn)識運算符號的意義、掌握有理數(shù)的混合運算法則的基礎(chǔ)上，體會在數(shù)系的發(fā)展歷程中對較大數(shù)進(jìn)行簡潔性表示的必要性。通過對有理數(shù)分類的系統(tǒng)歸納，讓學(xué)生體會自然數(shù)中的四則運算在有理數(shù)范圍內(nèi)就可以暢通無阻，除了為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)、式、方程等知識打下基礎(chǔ)，也為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充（包括七年級的實數(shù)、高中階段的無理數(shù)）打下基礎(chǔ)。

2. 課程標(biāo)準(zhǔn)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的十個核心概念，［1］其中數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力等都在“有理數(shù)”單元有較多體現(xiàn)，而這些能力都是運算素養(yǎng)的具體表現(xiàn)。例如，建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系；建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。

3.教材體系分析

滬教版教材中“有理數(shù)”單元分為“有理數(shù)”和“有理數(shù)的運算”兩大節(jié)，共10小節(jié)，章節(jié)后附加活動設(shè)計。其中有理數(shù)的意義、數(shù)軸以及絕對值3小節(jié)可以看作是根據(jù)數(shù)（系）的發(fā)展需要而延伸的新內(nèi)容；有理數(shù)的加、減、乘、除以及混合運算5小節(jié)可以看作是數(shù)的運算需要而提供的學(xué)習(xí)內(nèi)容；有理數(shù)的乘方、科學(xué)計數(shù)法2小節(jié)則兼具數(shù)（系）發(fā)展以及為了科學(xué)、便捷表示數(shù)而產(chǎn)生以及參與運算的特點；章節(jié)后的活動以及閱讀材料則是對有理數(shù)的綜合運用。本單元的具體內(nèi)容概括見表1。

表1 “有理數(shù)”單元體系

4. 學(xué)情分析

六年級學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)和分?jǐn)?shù)的知識，但是他們的運算能力依然較弱，仍處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡時期，因而這種思維發(fā)展水平還不足以容易理解具有多重身份的事物，學(xué)生在運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題和自己提出問題等方面的意識和能力均很薄弱。［2］這一階段的學(xué)生在數(shù)的意義的理解方面表現(xiàn)最好，運算意義的理解表現(xiàn)次之，其次為恰當(dāng)策略（如估算、分解和重組數(shù)字等）的運用，再次是對數(shù)與數(shù)之間多種關(guān)系的理解，而基準(zhǔn)量的運用是學(xué)生最為薄弱的方面。［3］

5. 重難點分析

《上海市初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求（試驗本）》提出，通過本章的學(xué)習(xí)，要懂得有理數(shù)和絕對值的概念；懂得數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系；懂得用科學(xué)計數(shù)法表示一個數(shù)；掌握比較有理數(shù)大小的方法；掌握有理數(shù)的加減、乘除、乘方等運算。［4］從數(shù)學(xué)自身發(fā)展角度來看，數(shù)系從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)后，需要研究自然數(shù)中的運算法則在有理數(shù)中是否依然適用。符號“-”擁有了包括運算“減”、性質(zhì)“負(fù)號”以及“相反”等多重意義，絕對值符號“∣∣”也被賦予了“距離”的意義，而學(xué)生對絕對值的非負(fù)性以及與數(shù)軸上的位置關(guān)系的認(rèn)知缺陷也常導(dǎo)致在運算過程中出錯。同時，對“負(fù)負(fù)得正”這一運算法則的理解也是這一章節(jié)的難點。

基于上述分析，本單元的難點按照呈現(xiàn)順序可以歸納為：①對負(fù)數(shù)概念的理解，既要依靠情境的具體運算，又要脫離情境達(dá)到演繹層次；②對絕對值意義的理解，了解其表示“距離”等意義，并能夠在數(shù)軸上正確標(biāo)示出所在位置；③對有理數(shù)運算法則，特別是加法和乘法的理解。

6. 教學(xué)方法分析

本單元的教學(xué)方式應(yīng)該注重實際問題情境的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生充分理解負(fù)號“-”、絕對值“∣∣”等符號的意義與性質(zhì)，充分把握四則運算的本質(zhì)特征。同時鼓勵學(xué)生自己解決問題、引導(dǎo)學(xué)生充分表達(dá)對符號以及運算的認(rèn)識，借此為學(xué)生提供更多獨立思考、自主探究的機(jī)會，這樣在以后遇到新符號及新運算時就可以用已有方法解決問題，這將有利于增強學(xué)生的理解力和知識的遷移應(yīng)用能力。

（二）教學(xué)目標(biāo)的確定

基于以上分析，本單元的教學(xué)目標(biāo)最終確定如下。

（1） 理解有理數(shù)、相反數(shù)和絕對值的概念。

（2）會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，完善有理數(shù)大小的比較方法，體會數(shù)形結(jié)合的思想。

（3）經(jīng)歷確立有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算法則的過程，掌握有理數(shù)加、減、乘、除的運算發(fā)展和運算律以及有理數(shù)乘方的概念和運算法則，會用科學(xué)計數(shù)法表示較大的數(shù)。

（4）能夠正確、合理地運用有理數(shù)的運算法則和運算律進(jìn)行運算，會用計算器解決較為繁難的問題。

（5）在學(xué)習(xí)探索的過程中，增強相互合作的意識，提高運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)與交流的能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（三）教學(xué)活動設(shè)計舉例

1.教學(xué)設(shè)計——促進(jìn)絕對值幾何意義理解的“點與點之間的距離表示”

絕對值是有理數(shù)學(xué)習(xí)階段的一個重要的知識點。在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸對絕對值的意義進(jìn)行理解，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想。合理的教學(xué)設(shè)計可以讓學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)識絕對值的內(nèi)涵與本質(zhì)。

我們知道，絕對值可以看成是數(shù)軸上的一個點到原點的距離，如圖2所示，∣a∣可以表示動點A到原點的距離，當(dāng)點A在原點左側(cè)時，∣a∣= - a；當(dāng)點A不在原點左側(cè)時，∣a∣= a。按照這樣的理解，動點A與定點B（表示1的點）的長度可以表示為∣a -1∣或者∣1- a∣，當(dāng)AB的長度為3時，可以列出等式∣a -1∣=3或者∣1- a∣=3。同理，動點A與任意定點（表示m的點）的長度則可以表示為∣a - m∣或者∣m - a∣。

圖 2 關(guān)于絕對值的示例

有了上述理解，∣a -1∣就可以看成數(shù)軸上表示數(shù)a的點到表示數(shù)1的點的距離，∣a -m∣就可以看成數(shù)軸上表示數(shù)a的點到表示數(shù)m的點的距離，學(xué)生在以后解決絕對值問題時便多了一種方法。

2.問題設(shè)計——促進(jìn)“負(fù)負(fù)得正”意義理解的有理數(shù)乘法情境創(chuàng)設(shè)

如果把現(xiàn)在的時間當(dāng)作分界點，那么“現(xiàn)在以前”與“現(xiàn)在之后”就是相反意義的量?，F(xiàn)規(guī)定“現(xiàn)在以前”為負(fù)，則“現(xiàn)在之后”為正，那么就可以在數(shù)軸上用含有符號的數(shù)字表示出具有“時間意義”的量（見圖3）。同樣，如果把小明現(xiàn)在所在的位置當(dāng)作分界點，小明左右兩邊的里程就是相反意義的量。規(guī)定“左側(cè)”為負(fù)，則“右側(cè)”為正，同樣也可以在數(shù)軸上用含有符號的數(shù)字表示出具有“方向意義”的量（見圖4）。

圖3 表示具有“時間意義”的量

圖4 表示具有“方向意義”的量

相應(yīng)地，問題串設(shè)計如下。

（1）如果小明一直以每秒2米的速度向右步行，3秒后他在什么位置？

（2）如果小明一直以每秒2米的速度向左步行，3秒后他在什么位置？

（3）如果小明一直以每秒2米的速度向右步行，3秒前他在什么位置？

（4）如果小明一直以每秒2米的速度向左步行，3秒前他在什么位置？

（5）觀察你所列出的上述四個算式，你能夠歸納出哪些有理數(shù)乘法的結(jié)論？

上述（1）—（4）題的列式可以借助數(shù)軸表示（見圖5）。通過對這4個問題的符號觀察，學(xué)生自己歸納有理數(shù)乘法中各個乘數(shù)的符號與結(jié)果的關(guān)系，得出結(jié)論。

圖5 借助數(shù)軸表示結(jié)果

“負(fù)負(fù)得正”是有理數(shù)乘法中最難以理解也是最重要的法則之一，所以在設(shè)計相關(guān)問題時要關(guān)注學(xué)生對有理數(shù)乘法的意義的建構(gòu)。一方面，通過上述設(shè)計讓學(xué)生感受到在現(xiàn)實生活情境中，具有相反意義的量也可以分別用含有相反的數(shù)學(xué)符號“+”和“-”的數(shù)值表示，通過這一途徑，將數(shù)學(xué)符號賦予實際意義從而幫助學(xué)生理解。另一方面，通過將“時間”“方向”“位置”這三者之間的關(guān)系與有理數(shù)的乘法進(jìn)行類比，讓學(xué)生對有理數(shù)的乘法，特別是“負(fù)負(fù)得正”的實際意義進(jìn)行內(nèi)化，幫助學(xué)生理解發(fā)展其對有理數(shù)乘法的進(jìn)一步認(rèn)識。

3.活動設(shè)計——培養(yǎng)運算素養(yǎng)的有理數(shù)四則運算之“新24點游戲”

“24點游戲”規(guī)則為：用一副去除了大王、小王和所有J、Q、K的撲克牌，隨機(jī)分發(fā)給班級所有學(xué)生，然后全班學(xué)生每四人一組任意組合，組內(nèi)四人同時展示自己所攜帶的撲克牌，并規(guī)定：花色為紅色的數(shù)值取其本身，花色為黑色的學(xué)生取其相反數(shù)，每組內(nèi)由教師隨機(jī)指定一人取其絕對值，然后根據(jù)牌面數(shù)字進(jìn)行轉(zhuǎn)換以后的新數(shù)字進(jìn)行加、減、乘、除混合運算（每個數(shù)字只能用一次），使其運算結(jié)果為24（A算作1），先算出的小組為獲勝小組。

通過對撲克牌中的數(shù)字進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使自然數(shù)范圍內(nèi)的四則運算轉(zhuǎn)換為有理數(shù)范圍內(nèi)的四則運算，并通過教師的指定，在運算過程中引入絕對值，讓自然數(shù)范圍的“24點游戲”成為有理數(shù)范圍內(nèi)的“新24點游戲”。通過小組合作的形式，在互相幫助的過程中，增強學(xué)生對有理數(shù)范圍內(nèi)的算理的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)。同時，以團(tuán)隊配合的形式，增強團(tuán)隊合作意識和集體榮譽感。

三、指向培養(yǎng)運算素養(yǎng)的單元教學(xué)實施建議

《課標(biāo)》對運算的要求可以歸納為：在有理數(shù)或?qū)崝?shù)范圍內(nèi)，有運用數(shù)表示數(shù)據(jù)以及數(shù)量關(guān)系的能力，能判斷并能進(jìn)行數(shù)、式的各種運算，具有選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計算的經(jīng)驗，能依據(jù)所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理、得出結(jié)論，并對結(jié)論的準(zhǔn)確性和可靠性進(jìn)行檢驗，等等。這正是本單元需要重點培養(yǎng)的運算素養(yǎng)。

（一）教學(xué)過程實施建議

（1）引導(dǎo)學(xué)生獲得有理數(shù)的概念。教師在教學(xué)過程中可以適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹有理數(shù)系的發(fā)展歷史，讓學(xué)生在有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，體會數(shù)系發(fā)展的必要性以及運算法則在一定范圍內(nèi)的封閉性，讓學(xué)生獲得“數(shù)系是持續(xù)發(fā)展”的體驗。為后續(xù)學(xué)習(xí)階段引入無理數(shù)、虛數(shù)做好思想上的鋪墊。

（2）注重對運算意義理解的培養(yǎng)。對運算意義理解的培養(yǎng)既需要直觀經(jīng)驗的理解，也需要理性結(jié)合的思考。教師在教學(xué)過程中，需要注重學(xué)生對數(shù)學(xué)符號以及運算律意義的理解，可以通過讓學(xué)生充分表達(dá)交流而感悟運算的意義，也可以通過實際問題的解決來培養(yǎng)學(xué)生對運算意義的理解。

（3）鼓勵學(xué)生多角度思考問題。本章中涉及的有理數(shù)的不同分類方法、同一個算式中的符號可能表示的不同意義、絕對值的逆運算中可能產(chǎn)生的不同結(jié)果、結(jié)合現(xiàn)實情境運算中的不同思考角度等都可以成為教學(xué)過程中的良好素材。

（4）在教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”與“化歸”的思想。在“數(shù)軸的表示”這一小節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生正確在數(shù)軸上表示數(shù)，體會數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，感悟“數(shù)形結(jié)合”的思想；在有理數(shù)的運算教學(xué)過程中，通過對加法和乘法的轉(zhuǎn)化，感悟“化歸”思想。

（5）引導(dǎo)學(xué)生掌握運算法則、加深對算理的理解。有研究表明，學(xué)生在小學(xué)階段對加法算理的理解就不夠深入，而這一認(rèn)知缺陷也會影響到中學(xué)階段對有理數(shù)算理的理解。這表現(xiàn)為絕大部分學(xué)生都知道怎樣算，而對于計算背后的道理知道較少。［5］

（二）教學(xué)評價建議

評價是檢驗?zāi)繕?biāo)達(dá)成程度的重要手段，單元評價應(yīng)該打破僅有紙筆測試的壁壘，采取以過程性評價結(jié)合紙筆測試評價的雙重評價，尤其關(guān)注學(xué)生運算素養(yǎng)等相關(guān)高階思維的發(fā)展，重點關(guān)注以下三個方面：①關(guān)注學(xué)生在探索、學(xué)習(xí)過程中的參與度、思維水平和歸納能力；②關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成，關(guān)注在數(shù)學(xué)活動過程中與他人合作的能力，關(guān)注在交流過程中運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的能力；③關(guān)注其解決問題的過程，對運算符號、性質(zhì)符號的理解程度，對運算法則和運算律的掌握以及數(shù)學(xué)思想方法的把握。