低速非線性是低滲油藏的流動機制

李道倫，齊 銀，達引朋，夏德斌，查文舒，檀結(jié)慶，盧德唐.

(1.合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽合肥 230009；2.長慶油田分公司油氣工藝研究院，陜西西安 710018； 3.低滲透油氣田開發(fā)國家工程重點實驗室，陜西西安 710018；4.中國科學院大學工程科學學院，北京 100049； 5.中國科學院滲流流體力學研究所，河北廊坊 065007；6.中國科學技術大學工程科學學院，安徽合肥 230026)

在低滲透油藏開發(fā)中，關井壓力雙對數(shù)曲線上翹的特征受到學術界、業(yè)界的普遍關注。眾多學者從實驗、機理、應用等方面對此進行了研究[1-12]。

有研究認為：啟動壓力梯度是低滲油藏的流動特征，是壓力導數(shù)曲線上翹的物理機制，而且啟動壓力梯度越大，曲線上升越高，上升得也越早。相關結(jié)論是基于疊加原理，對含啟動壓力梯度的滲流方程進行求解所得到的。這樣，通過滲流理論的驗證，就證明了實驗所發(fā)現(xiàn)的啟動壓力梯度是低滲油藏流動的特征。啟動壓力梯度是指當壓力梯度大于該閾值時，流體開始流動。

有研究認為：低速非線性是低滲油藏的流動機制。低速非達西滲流是由邊界層、細微的喉道、非牛頓流體等因素共同形成的。一種觀點認為，邊界層導致非線性。另一觀點認為，低滲油藏的喉道是一個分布，對應不同的啟動壓力梯度，從而整體上表現(xiàn)為非線性。隨著設備精度的提高，更多的低滲樣品實驗表現(xiàn)出非線性特征[1-6]。

數(shù)值試井研究發(fā)現(xiàn)[7-8]：低滲儲層不存在啟動壓力梯度。對含啟動壓力梯度的滲流方程進行數(shù)值求解，發(fā)現(xiàn)啟動壓力梯度使壓力導數(shù)下掉，而低速非線性使壓力導數(shù)上翹。該發(fā)現(xiàn)說明低滲儲層不存在啟動壓力梯度。但這還不能否定啟動壓力梯度的存在性。低滲油氣藏的孔喉半徑是個分布，若每一孔喉對應一個啟動壓力梯度，其在宏觀上仍可能表現(xiàn)出非線性。將低速非線性流動模型轉(zhuǎn)換為動態(tài)滲透率，可以進行試井與值模擬研究[9-10]。亦有相關應用的研究成果[1-2,11]。低速非線性流動規(guī)律的反演方法及其在井網(wǎng)優(yōu)化、注水優(yōu)化中的應用研究有待加強。

1 啟動壓力梯度不是壓力導數(shù)上翹的物理機制

1.1 流動方程

含啟動壓力梯度的Darcy方程有多種方式，最常用的形式如下：

(1)

式中u——速度，m/s；

K——絕對滲透率，m2；

μ——黏度，Pa·s；

p——壓力，Pa；

λ——壓力梯度，Pa/m。

單相油含絕對啟動壓力梯度的滲流方程可寫為：

(2)

式中B——體積系數(shù)，無量綱；

t——時間，s；

Ф——孔隙度，%；

q——單位時間單位體積下的流量，1/s。

(3)

式中Jw——井指數(shù)，m3/(s·Pa)；

pwf——井底壓力，Pa；

h——儲層厚度，m；

re——井網(wǎng)格等效半徑，m；

rw——井半徑，m；

S——表皮系數(shù)，無量綱。

對試井，都是定井口產(chǎn)量Q(m3/s)，則耦合井儲C(m3/Pa)的井控制方程為：

(4)

1.2 基于疊加原理的方程求解

疊加原理常用來求解關井段的井底流壓隨時間的變化情況，如圖1所示。

圖1 疊加原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of superposition principle

實際生產(chǎn)史為(圖1a)：生產(chǎn)井以產(chǎn)量q生產(chǎn)tp時間后關井，關井時間為Δt。疊加原理的處理方式為(圖1b)：生產(chǎn)井以產(chǎn)量q生產(chǎn)tp+Δt時間；在tp時間以后，虛擬井開始以-q的產(chǎn)量生產(chǎn)(即注入)，注入時間為Δt。生產(chǎn)井與虛擬注入井的井底壓力在時間[tp,tp+Δt]上進行疊加，即得關井期間的井底壓力。

疊加原理要求方程是齊次的，而含啟動壓力梯度的滲流方程不是齊次的，因而，疊加原理的適用性條件不滿足，使用疊加原理存在誤差[7-8]。

如圖1b所示，用數(shù)值方法分別計算生產(chǎn)與注入的井底壓力，然后進行疊加，得到井底壓力。圖 2給出了據(jù)此計算得到井底壓力的例子。

圖 2a所示為關井340 d的井底壓力曲線，其中的tp和Δt分別為30 d、340 d，流量q為10 m3/d。首先，當絕對啟動壓力梯度為0.05 MPa/m時，用數(shù)值方法計算注入340 d的井底壓力，再用數(shù)值方法計算生產(chǎn)370 d的井底壓力；然后再用疊加原理將兩個井底壓力進行疊加，就可以獲得井底壓力曲線。圖 2b所示為關井達12年之久的壓力恢復曲線?？梢?，生產(chǎn)30 d，關井340 d的井底壓力都不穩(wěn)定，甚至關井12年之久的壓力還不穩(wěn)定。從物理上這不能解釋。為什么30 d的生產(chǎn)(或理解為一種擾動)，過12年之久壓力都不能穩(wěn)定？這是由疊加原理應用于非線性方程的誤差所導致的。

1.3 基于PEBI的數(shù)值求解

按圖1a的方式進行數(shù)值求解，即按真實方式進行求解。具體的數(shù)值求解方法詳見文獻[7-8]， 這里僅給出結(jié)果。當開井時間tp和關井時間Δt皆為30 d、流量q為10 m3/d時，井底流壓、生產(chǎn)段與關井段的壓力及其導數(shù)曲線如圖 3所示。

圖2 疊加原理所計算的井底壓力Fig.2 Bottom hole pressure calculated by superposition principle

圖3 井底流壓及生產(chǎn)段、關井段的壓力與其導數(shù)曲線Fig.3 Bottom hole flowing pressure and log-log curves during production and shut in section

圖3表明，生產(chǎn)段的雙對數(shù)曲線上翹，與解析解一致，但關井段的壓力導數(shù)下掉。這說明啟動壓力梯度不會導致低滲油藏壓力導數(shù)上翹。

圖3的結(jié)果很容易解釋。關井后，遠離井的區(qū)域，其壓力梯度很快小于啟動壓力梯度，停止流動，可流動區(qū)域變小，從而地層壓力逐漸平衡。

啟動壓力梯度是低滲油藏的流動機制的誤解，主要來自兩方面的原因：①早期實驗設備精度有限，非線性部分測量不出來。②使用疊加原理后得到的試井曲線與實測曲線一致。這誤導了我們：即使疊加原理不適應，但誤差可能會很小，以至于可以忽略。

2 低速非線性滲流是低滲油藏壓力導數(shù)上翹的物理機制

2.1 低速非線性滲流

眾多學者研究了低速非線性滲流。如圖 4所示，其中λmax為最大啟動壓力梯度，λmin為最小啟動壓力梯度，λpseudo為擬啟動壓力梯度。

低速非線性滲流模型非常多，作者給出的模型如式(5)[7-8]：

(5)

其中，

圖4 低速非現(xiàn)象滲流模型Fig.4 Low velocity nonlinear seepage model

(6)

式中β——非線性因子；

n——非線性指數(shù)，為大于1的數(shù)。

更詳細的滲流模型推導、數(shù)值求解格式，請參見文獻[7-8]，這里僅給出算例。

2.2 海拉爾油田直井：有非線性滲流特征

海拉爾油田是典型的低滲透油田。在壓力測試期間，井的含水率低于1%，可以認為是單相流。測試前120 d內(nèi)的平均油產(chǎn)量為 0.98 m3/d，關井測試時間為15 d。主要的擬合參數(shù)見表 1。圖5a給出了擬合的壓力史，圖5b給出了擬合的壓力dp及其導數(shù)dp′曲線。在數(shù)據(jù)解釋階段我們主要調(diào)整滲透率、最大啟動壓力梯度λmax和擬啟動壓力梯度λpseudo來擬合中后期的壓力導數(shù)。在這里，我們?nèi)ˇ薽in=0。

我們嘗試確定最小啟動壓力梯度的唯一性。遺憾的是，由于關井時間不夠長，λmin的唯一性不能確定。

表1 所擬合的參數(shù)Table 1 Fitted parameters

圖5 壓力及其導數(shù)擬合情況Fig.5 Fitted pressure and log-log curves

2.3 大慶油田致密油多段壓裂水平井：無非線性滲流特征

大慶油田致密油區(qū)塊采用多段壓裂水平井方式進行開發(fā)。作者幾乎解釋了所有的早期的關井壓力數(shù)據(jù)，在解釋的過程中發(fā)現(xiàn)，使用常規(guī)的不考慮非線性的滲流模型就能解釋關井壓力數(shù)據(jù)，且與生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)吻合。

利用地下永久壓力計，某多段壓裂水平井的180～245 d的生產(chǎn)流壓數(shù)據(jù)及其擬合情況如圖6所示，其中有約15 d的關井時間?？梢?，使用普通的滲流模型就能很好擬合，不僅能擬合期間的關井壓力雙對數(shù)曲線(圖6b)，而且能擬合生產(chǎn)動態(tài)(圖6c)。這充分說明了模型的合理性。

若使用非線性滲流模型來解釋，所得到的初始壓力太高，不甚合理。其中的原因有兩點：①大規(guī)模體積壓裂造成很多縫網(wǎng)，縫網(wǎng)的流動應是達西流。達西流遮掩了未改造區(qū)域中的非線性滲流。②由于沒壓裂改造的區(qū)域流動能力太低，因此未壓裂改造區(qū)域成了泄油面積的邊界。

2.4 長慶油田壓裂直井：有非線性滲流特征

圖7給出某直井的生產(chǎn)史、參數(shù)解釋及驗證情況。在壓裂前后都進行了關井測壓(圖7中的1、3)，先對關井測壓數(shù)據(jù)進行解釋，反演地層和裂縫相關參數(shù)；然后進行生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)驗證(圖7中的2、4)。這既能檢驗兩次試井解釋結(jié)果的一致性，還能檢驗解釋結(jié)果是否滿足生產(chǎn)動態(tài)。

首先，使用常規(guī)模型進行兩次關井測壓曲線解釋，雖然兩次都能擬合得很好，但解釋參數(shù)壓裂前后不一致，是矛盾的?？梢姡Ｒ?guī)流動模型不能描述長慶油田的流動規(guī)律。

為此，采用低速非線性模型對壓裂前后的關井壓力數(shù)據(jù)進行解釋，解釋得到非線性、裂縫半長、井儲、表皮系數(shù)等參數(shù)，符合壓裂改造后的參數(shù)變化規(guī)律。

更為重要的是，利用壓裂前的試井解釋結(jié)果(圖7中的1)，對生產(chǎn)歷史進行了追溯(圖7中的2)；利用壓裂后的試井解釋結(jié)果(圖7中的3)，對產(chǎn)量進行了預測(圖7中的4)。二者吻合得很好，進一步驗證了非線性模型的正確性。

圖6 生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig.6 Fitted production data

圖7 設計方案及其驗證結(jié)果Fig.7 Test scheme and verification results

該算例的進一步研究發(fā)現(xiàn)，低滲儲層由于非線性與壓力改造原因，僅用滲透率已不能很好表征流動規(guī)律，需將非線性與滲透率來共同表征。相關成果已形成論文，正在評審中。

3 分子動力學模擬的結(jié)果

在高嶺石長方體孔隙的原子模型中，引入高嶺石、水和甲烷分子的分子動力學力場。如圖8a所示，孔隙在Y方向為3.9 nm，在Z方向為4.3 nm。

長方形孔表面不盡相同，如具有硅氧烷氧基的上表面、具有鋁羥基的下表面、具有B鏈邊面的兩垂直表面，從而高嶺石和水分子在四個面所受到的力不盡相同。由于高嶺石表面的硅氧原子比水對甲烷分子更有親和力。納米受限環(huán)境下的水膜在長方體孔型中形成了近似圓形的水通道[12]。

圖8 納米孔隙的水速流動Fig.8 Water velocity flow in nanopore

圖8表明，在固液界面，有些水分子速度幾乎為0，有些水分子速度大些。但整體上，速度是大于0的?？梢?，即使在親水的4 nm左右的高嶺石孔隙內(nèi)，水分子也會流動。不過，在實驗室的測試中，當流速很小時，可能難以測量。

4 討論

壓力導數(shù)曲線上翹是低滲透油藏普遍存在的現(xiàn)象。雖然很多情形都可能導致壓力導數(shù)上翹，例如徑向復合，但每口井都是徑向復合很難解釋。另外，試井解釋的正確性判斷依據(jù)之一是，基于所得到的參數(shù)能否預測油藏開發(fā)動態(tài)。對開發(fā)初期含水率幾乎為0時，多相流的因素幾乎可以忽略。剩下的因素只能是某種流動機理在起作用了。

啟動壓力梯度的概念有其歷史的原因。首先，早期設備精度有限，微量的水很難測出，表現(xiàn)為啟動壓力梯度。其次，基于疊加原理的解析解的巧合，強化了啟動壓力梯度的概念。

已有學者認識到，含啟動壓力梯度的滲流方程不滿足疊加原理，并開始研究新的疊加原理，使其能求解含啟動壓力梯度的滲流方程[13-14]。

啟動壓力梯度受到現(xiàn)場懷疑，其原因有：其與開發(fā)動態(tài)數(shù)據(jù)不吻合。若啟動壓力梯度存在，開井再關井，地層壓力就不能平衡，這就成了某種意義上的永動機了，這與事實不甚相同。例如，在試油試采階段的關井實測壓力數(shù)據(jù)中，關井末點壓力值往往很高，啟動壓力梯度難以解釋。

若啟動壓力梯度為0.12 MPa/m，那么當100 m范圍內(nèi)的流體都流動時，壓力損失可達12 MPa。假如地層初始壓力為20 MPa，那么此時的井底流壓應不高于8 MPa。若此時關井，無論關井多長時間，井底流壓都不會高于8 MPa(假定無注入井)。這與很多實測數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律是不相同的。

即使單一孔隙存在啟動壓力梯度，對實際油藏都表現(xiàn)出非線性流動特征。

遺憾的是，由于實測數(shù)據(jù)關井時間不夠長，已見到的實測數(shù)據(jù)不能決定最小啟動壓力梯度是否大于0。這有待于驗證。

沒外來能量時，對低速非線性滲流模型，壓力導數(shù)上翹也只是關井后某一段時間內(nèi)的特征。若關井時間足夠長，最終壓力一定會平衡，壓力導數(shù)一定會下掉。若油田能拿出一口井開展長期試驗，就會證明這一點。否則，低速非線性滲流模型就不能描述低滲油藏的流動規(guī)律。

5 結(jié)論

(1)實際低滲透油藏不存在啟動壓力梯度。啟動壓力梯度使關井段的井底壓力導數(shù)曲線下掉。

(2)低速非線性流動規(guī)律是低滲油藏壓力導數(shù)上翹的物理機制。這為基于關井壓力數(shù)據(jù)反演非線性流動規(guī)律提供了理論依據(jù)。

(3)在長慶等油田的應用表明，以非線性流動模型為內(nèi)核的數(shù)值試井軟件，能基于關井壓力數(shù)據(jù)解釋出非線性規(guī)律的參數(shù)，并與油藏開發(fā)動態(tài)很好地吻合。這說明非線性流動規(guī)律的正確性，且可為井網(wǎng)設計、注產(chǎn)優(yōu)化提供科學指導。