圖形中的一元二次方程

何君青

方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中重要的一部分內(nèi)容，蘇科版九年級教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近幾年來，各地中考普遍從不同角度對一元二次方程的知識進行比較全面、系統(tǒng)的考查，大部分試題通過直接考查一元二次方程的意義與解法，突出對基礎(chǔ)知識與基本技能的考查;通過設(shè)置現(xiàn)實問題情境，考查同學(xué)們列一元二次方程解決實際問題的能力，突出對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查;通過設(shè)置綜合性問題，考查同學(xué)們對一元二次方程的靈活運用，突出對方程思想的考查。下面就以一元二次方程與圖形結(jié)合的問題為例進行剖析，以期對同學(xué)們一元二次方程的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、圖形構(gòu)成與一元二次方程

各地普遍采用設(shè)置符合同學(xué)們認知的實際問題情境的方式，考查列方程解決實際問題的能力。特別突出的是，部分試題注重利用方程的結(jié)果，對實際問題作出判斷與預(yù)測，或?qū)嶋H問題設(shè)計實施方案等方式，強化對數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查。

例1 用一條長20cm的繩子能否圍成一個面積為30cm²的矩形？如能，說明圍法;如果不能，說明理由。

解：設(shè)矩形的長為xcm，則寬為（10-x）cm。

根據(jù)題意，得x（10-x）=30，

即x²-10x+30=0。

因為Δ=b²-4ac=10²-4×30=-20<0，所以此一元二次方程無實數(shù)根。

答：用一條長20cm的繩子不能圍成一個面積為30cm²的矩形。

【點評】題目在考查列方程的同時，更關(guān)注對實際問題理解能力的考查。若所求幾何圖形能構(gòu)成，則能算出具體的值;若不能構(gòu)成，則找不到符合條件的值，或無實數(shù)根，或算出的根不在實際范圍內(nèi)。

二、動點問題與一元二次方程

由于動點問題是數(shù)學(xué)考試中重要的一類題型，所以一元二次方程還常常會與動點問題結(jié)合，考查同學(xué)們列方程解決問題的能力。特別需要注意的是，部分試題會和面積、長度等知識結(jié)合，考查同學(xué)們靈活運用方程的能力。

例2 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm。點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以1cm/s的速度移動，與此同時，點（）從點C出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動。當點Q到達點B時，點P停止移動。