無限滯后脈沖測度微分方程解對參數(shù)的連續(xù)依賴性

李寶麟,王轉紅

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 蘭州 730070)

1 引言

Kurzweil[1]于1957年提出的廣義常微分方程理論在處理常微分方程、脈沖微分方程、滯后型泛函微分方程及拓撲動力系統(tǒng)等問題時有重要作用,已被許多作者進行深入廣泛的研究,并取得了一些新的成果[2-4].以下區(qū)別于文獻[5],沒有利用常數(shù)變易公式而利用Kurzweil-Stieltjes積分理論和正則函數(shù)的性質,討論了無限滯后脈沖測度泛函微分方程

解對參數(shù)的連續(xù)依賴性,所得結果是對文獻[5–6]已有結果的推廣.

方程(1)等價于積分方程

其中G:O×[t0,t0+σ]→Rn關于第一個變量是線性的,f:[t0,t0+σ]→Rn.符號yt:(-∞,0]→Rn,yt(τ)=y(t+φ),φ∈(-∞,0]表示滯后的長度,λ0∈R,ρ＞0,Λ ={λ0∈R:‖λ-λ0‖＜ρ}.為了證明主要的結果,先引入相關的定義和引理及一些符號的說明.

2 預備知識

L(Rn)表示由所有n×n階實矩陣構成的集合,J?R是一個有限或無限的區(qū)間,‖·‖表示L(Rn)上的算子范數(shù).對區(qū)間[a,b]的任何精細分劃P,使得a=s0＜s1＜···＜si+1=b,若則函數(shù) A(t)在 [a,b]上是有界變差的,BV([a,b],L(Rn))表示所有有界變差函數(shù)構成的全體.G*([a,b],L(Rn))表示所有正則函數(shù)A(t):[a,b]→L(Rn)的全體.

設O?G*((-∞,t0+σ],Rn)是一個開集且具有以下性質(延拓性質):如果y=y(t),t∈[t0,t0+σ]及∈[t0,t0+σ],那么(t)∈O且

顯然,當y∈O?G*((-∞,t0+σ],Rn)時,對任意的t∈[t0,t0+σ]都有xt∈G*([-r,0],Rn).

定義2.1設G:Ω→Rn,Ω?O×[t0,t0+σ].稱函數(shù)x:[α,β]→Rn為Kurzweil廣義常微分方程

在區(qū)間 [α,β]上的一個解是指對所有的t∈[α,β],(x(t),t)∈G,有

成立,其中右端積分是函數(shù)U(τ,t)=G(x(τ),t)在[s1,s2]上的Kurzweil積分.當(3)式中的G(x,t)=A(t)x+g(t)時,稱為Kurzweil廣義線性常微分

引理2.2[2]設A∈BV([a,b],L(Rn)),g∈G*([a,b],Rn),稱x:[a,b]→Rn為廣義線性微分方程

滿足初始條件x(t0)=x0∈X在區(qū)間[a,b]上的解,是指對任意的t∈[a,b],有

且x∈G*([a,b],Rn).

引理2.3[5]若g,gn∈G*([a,b],Rn),A,Ak∈BV([a,b],L(Rn)),對每個k∈N且

3 解對參數(shù)的連續(xù)依賴性

即y0為方程(17)的解,從而定理得證.

注定理3.1主要是對無限滯后脈沖測度微分方程解對參數(shù)的連續(xù)依賴性結果的證明,其結果是文[5–6]中相應結果的推廣.當然,我們也可借助Φ-有界變差函數(shù)理論與Kurzweil方程理論建立方程(2)的Φ-有界變差解對參數(shù)的連續(xù)依賴性定理.