調和映射的可積擬共形延拓

唐樹安,馮小高

(1.貴州師范大學數(shù)學科學學院,貴州貴陽 550001)

(2.西華師范大學數(shù)學與信息學院,四川南充 637002)

1 引言

用Δ={z:|z|＜1}表示全平面C上的單位圓盤,用S1={z∈C:|z|=1}表示單位圓周.如果單位圓Δ內一個復值函數(shù)f滿足

單位圓Δ內的調和映射f具有標準的分解f=h+,其中h和g在Δ內解析且g(0)=0.通過Lewy定理(見文獻[1,2]),知道f是局部單葉的當且僅當f的雅可比行列式Jf=|h′|2-|g′|2在單位圓Δ內不為零.因此,如果f在單位圓內是局部單葉的,則或者Jf＞0,或者Jf＜0.如果雅可比行列式Jf＞0,稱f是保向的;如果Jf＜0,則稱其是反向的.對于一個保向的局部單葉調和映射f,是單位圓內的一個解析函數(shù)且|ωf|＜1,稱之為f的第二復伸縮商.

設f是區(qū)域Ω上一個保向同胚,k是一個實數(shù)且0≤k＜1,如果f在Ω內的水平和垂直線上是絕對連續(xù)的,且滿足下列方程

則稱f是Ω內的一個k-擬共形映射,其中μ(z)被稱為f復伸縮商且‖μ‖∞≤k＜1.0-擬共形映射是共形映射.f的第二復伸縮商定義為注意到|ωf|=|μf|,所以f是擬共形映射當且僅當|ωf|≤k＜1(見文獻[3,4]).

設φ是Δ內的局部單葉解析函數(shù),它的pre-Schwarian導數(shù)Pφ和Schwarian導數(shù)Sφ定義為

Nehari在文獻[5]中證明如果Δ內的局部單葉解析函數(shù)φ滿足

則φ在Δ內單葉.后來,Ahlfors和Weil在文獻[6]中將這一結果推廣,他們證明如果局部單葉解析函數(shù)φ滿足

這里0≤t＜1,則φ在Δ內單葉且可以t-擬共形延拓至全平面C.

利用pre-Schwarzian導數(shù),Becker在文獻[7]中證明如果單位圓內的局部單葉解析函數(shù)φ滿足

那么φ在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C.Ahlfors在文獻[8]中具體構造這樣一個擬共形映射.

設f是單位圓Δ內一個局部單葉調和映射,具有標準分解f=h+,它的pre-Schwarzian導數(shù)定義為

這里ω是f的第二復伸縮商.它的Schwarzian導數(shù)定義為

見文獻[11].容易看出,如果f是解析函數(shù),則ω=0,所以的定義與(1.1)的定義是一致的(見文獻[11]).

定理 HM1(見文獻[9])設f=h+是單位圓內的一個保向局部單葉調和映射且‖ω‖∞＜1.如果對所有的z∈Δ,

其中k滿足

則f在Δ內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C.

借助于f的Schwarzian導數(shù),他們在文獻[10]中也得到如下結果.

定理HM2(見文獻[10])設f=h+是單位圓內的一個保向局部單葉調和映射且‖ω‖∞＜1.則存在常數(shù)δ0＞0,使得若對所有的z∈Δ,

則f是單葉的并且可以擬共形延拓至整個復平面C,這里0≤t＜1.

定理G(見文獻[12])設2≤p,φ是單位圓Δ到擬圓Ω的共形映射.則下列陳述等價

A3共形映射φ可以擬共形延拓至整個復平面C使得它的復伸縮商μ滿足

這里指出,當p=2時,所對應的Teichmüller空間由崔貴珍在文獻[13]中引進,這一空間被稱為Weil-Petersson Teichmüller空間,它在數(shù)學和物理中都有重要應用.關于可積Teichmüller空間的更多結果,請參見文獻[14–17].

自然的問題是,對于調和映射,是否也有對應于定理G的結果？在文獻[18]中,作者證明了以下定理.

定理TF設f=h+是單位圓內的一個保向局部單葉調和映射,滿足(1.7)式,其中k滿足(1.8)式,且

1.2.1檢查方法 使用GE Discover GSI 64排螺旋CT，掃描參數(shù)120kV，30mA，層厚5mm螺旋掃描，掃描時間5s左右，重建肺窗層厚為0.63mm、1.25mm。

如果

則調和映射f在單位圓內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C使得它的復伸縮商μ滿足

本文進一步研究這一問題,主要結果如下

定理1設2≤p,f=h+是單位圓內的一個保向局部單葉調和映射,滿足(1.7)式,其中k滿足(1.8)式,且

則下列陳述等價

此外,如果條件B1或者B2滿足,則調和映射f在單位圓內單葉且可以擬共形延拓至整個復平面C使得它的復伸縮商μ滿足

不知道定理1的第二個論斷的反向是否成立.由定理G知道,當f是共形映射時,反向是成立的.

2 定理1的證明

本節(jié)將證明定理1.

首先證明B1?B2.因為f=h+是單位圓內的一個保向局部單葉調和映射,滿足(1.7)式,其中k滿足(1.8)式,由文獻[9]中的定理2可知f可以單葉的延拓至={z∈C:|z|≤1},記其為f*,并且函數(shù)h是共形映射.所以由共形映射理論,有

(見文獻[2,19]).根據調和映射的Schwarzian導數(shù)的定義,有

因為f滿足(1.7)式,所以

其中k滿足(1.8)式.于是由(2.2)式和(2.3)式,推出

注意到ω是單位圓Δ到自身的解析映射,由文獻[20]中的結果可知存在常數(shù)C＞0,使得

由此可以推出

注意到‖ω‖∞＜1,由(2.3)式也可以推出

所以如果S 2成立,則由(1.1 2),(2.2),(2.4),(2.6)以及(2.7)式,可以推出

又因為h是共形映射,由定理G,知道(2.8)式等價于

根據pre-Schwarzian導數(shù)的定義可知

由(2.9)和(1.12)式,推出

反之,假定S1成立.由定義得到

由(1.12),(2.11)和(2.3)式,推出(2.9)式成立.又根據定理G,有(2.8)式成立.所以再次由f的Schwarzian導數(shù)的定義,得到

于是由(2.4),(2.6),(2.7)和(2.8)式,得到

因此完成了S1?S2的證明.

接下來證明定理1的第二部分.不妨假定S1成立.則由文獻[9]的定理2,知道f在Δ內單葉且可以由下列公式擬共形延拓至整個復平面

其中

現(xiàn)在證明擬共形映射F的復伸縮商μF滿足要求.事實上,如果|w|＜1,則有|μF(w)|=|ω(w)|.所以由條件(1.12),得到

現(xiàn)在假定|w|＞1,令.通過直接的計算,得到

所以有

通過直接的計算,也得到

注意到‖ω‖∞＜1,推出

定理1證畢.