基于向量投影加權(quán)響應面法的邊坡可靠度分析

盛建龍 彭宗桓 葉祖洋

（武漢科技大學資源與環(huán)境工程學院，湖北 武漢 430081）

實際工程中的邊坡極限狀態(tài)方程（Limit State Function，LSF）常表現(xiàn)為隱式函數(shù)。為解決此類問題，Gupta等［1］提出了易于操作的響應面法（Response Surface Method，RSM），并得到了廣泛應用［2-6］。為提高響應面法計算效率，Bucher等［7］改進了擬合函數(shù)形式，Rajashekhar等［8］在此基礎(chǔ)上發(fā)展了響應面法的迭代求解方案。Kim等［9］以投影取樣代替?zhèn)鹘y(tǒng)取樣方式提出向量投影取樣點法（Vector Projection Re?sponse Surface Method，VPRSM），但未比較各取樣點在擬合中所占權(quán)重。

此后，為進一步提高計算精度，Kaymaz等［10］提出了加權(quán)響應面法（Weighted Response Surface Method，WRSM），趙威等［11］將偏最小二乘回歸運用于響應面擬合優(yōu)化了分析過程。但不合理的插值系數(shù)取值和取樣點的分布仍會使計算產(chǎn)生較大誤差或?qū)е洛e誤結(jié)果［12］。

為解決上述問題，在研究了取樣點權(quán)重對擬合精度影響后，基于VPRSM法提出基于向量投影加權(quán)響應面法。將取樣點向垂直驗算點梯度方向投影以獲得試驗點，并利用試驗點與極限狀態(tài)函數(shù)的偏離程度對各取樣點進行加權(quán)以擬合近似極限狀態(tài)方程。所提方法增大了靠近真實極限狀態(tài)面試驗點的權(quán)重，提高了近似精度，同時減弱了取樣點離散程度對計算結(jié)果的影響。采用本研究方法對2個工程邊坡進行可靠性分析，并通過真實工程算例給出相關(guān)參數(shù)的建議值。此外，通過對比其他可靠度分析方法證實了其可靠性。

1 基本理論

1.1 響應面構(gòu)造基本原理

含有q個變量的響應面函數(shù)模型為

式中，a、bi、ci、dij為待定系數(shù)，當給定一組數(shù)據(jù)及相應實驗響應后，式中待定系數(shù)通常由最小二乘法求得。

Galton等［13］通過研究發(fā)現(xiàn)不含交叉項的響應面函數(shù)較上式計算效率更高且精度相差不大。張明等［14］在此基礎(chǔ)上進一步忽略二次項影響，在VPRSM法中將一次線性響應面函數(shù)用于擬合真實極限狀態(tài)面。在保證計算精度的前提下，提高了計算效率并實現(xiàn)了在取樣點附近對目標函數(shù)較好的模擬。本研究依據(jù)以上分析采用式（2）進行響應面擬合。

1.2 取樣點梯度投影及響應面擬合

在邊坡可靠度計算中，取樣點的選擇策略對計算精度及計算效率有較大影響。在傳統(tǒng)響應面法的基礎(chǔ)上將取樣點向響應面梯度方向投影，并采用最小二乘法計算響應面函數(shù)，具體操作如下：

假設(shè)上次迭代得到的極限狀態(tài)函數(shù)為

式中，a，b=（b1，b2，…，bn）T為系數(shù)。響應面函數(shù)在x*處梯度單位向量ω可表示為

將第i個隨機變量xi投影到響應面函數(shù)上，得到投影向量為

式中，ei=（δ1i，δ2i，...，δni）T代表沿xi坐標軸的單位基向量，其中δji當j不等于i時為0，當j等于i時為1。圖1給出了含有2個隨機變量x1、x2的響應面在響應為零時的等值線圖。此時x1的投影向量為T1，由圖1可知，如果完全沿著T1方向投影，則x*所有的展開點均位于上次求解得到的近似極限狀態(tài)平面Z=0上。

由于上次求解得到的近似極限狀態(tài)函數(shù)平面并非真實極限狀態(tài)平面，將經(jīng)過投影后的取樣點向x*處梯度方向偏移得到分布于真實極限狀態(tài)平面的近旁投影。相應單位投影向量qi（i=1，2，…，n）為

式中，εq為控制投影方向的系數(shù)；η在0～1之間取值，η取0或1時分別對應于傳統(tǒng)中心復合設(shè)計取樣和全向量投影。

將傳統(tǒng)中心復合設(shè)計取樣點向式（6）規(guī)定的方向投影，相應投影點在xi軸上的坐標為：

式中，fσxiqiTei控制了取樣點分布的離散程度。

利用上述取樣方法一般可得到2n+1個取樣點，再通過數(shù)值分析或?qū)嶒灥玫较鄳南到y(tǒng)響應。將其代入（3）式可得到如下超定線性方程組：

式（9）中待定系數(shù)可依據(jù)最小二乘法由（11）式獲得。

1.3 加權(quán)系數(shù)的構(gòu)造

在利用向量投影取樣點擬合真實極限狀態(tài)面時，并未考慮各取樣點的作用大小。研究表明，取樣點與真實極限狀態(tài)面間的距離與各點在模擬中所起到的作用相關(guān)。若將各取樣點同等對待便忽略了各取樣點在擬合中的作用大小，如此將會對模擬精度和迭代效率造成影響。本項目通過對各取樣點進行加權(quán)處理，使靠近真實極限狀態(tài)面的取樣點獲得更大的權(quán)重，以實現(xiàn)對真實極限狀態(tài)面的快速準確模擬。權(quán)重系數(shù)構(gòu)造如式（12）和式（13）所示。

式中，|g(xi)|反映了各取樣點到極限狀態(tài)面的距離；ωi代表各取樣點被賦予的權(quán)重，距離極限狀態(tài)面越近的取值點將被賦予更大的權(quán)重；ξ為權(quán)重系數(shù)，一般在0～1之間取值，不同的權(quán)重系數(shù)取值將會對取樣點在模擬極限狀態(tài)面的離散性和模擬精度產(chǎn)生影響。

1.4 基于向量投影取樣的加權(quán)響應面法

將加權(quán)優(yōu)化思想與向量梯度投影法相結(jié)合選擇取樣點，能在獲取最優(yōu)試驗點的同時得到更高的計算效率。通過將中心復合設(shè)計的取樣點向上次迭代得到的極限狀態(tài)面上投影，能使取樣點合理分布于極限狀態(tài)面周圍。基于各取樣點在擬合時的重要程度而構(gòu)造的加權(quán)系數(shù)矩陣，對各取樣點所攜帶的信息進行進一步優(yōu)化分析。避免了劣質(zhì)實驗點對迭代效率的影響，同時提高了擬合精度。通過投影取樣和加權(quán)處理的實驗點將隨迭代逐步向真實極限狀態(tài)面逼近，并最終收斂。

在經(jīng)歷數(shù)次迭代獲得極限狀態(tài)函數(shù)表達式后，便可由此進行可靠度評價?；谙蛄考訖?quán)投影取樣點的響應面法的計算步驟歸納如下：

（1）以各變量的均值μx構(gòu)造初始迭代點x=（x1，x2，...，xn）T，利用經(jīng)典響應面法獲得初次迭代的響應面函數(shù)g（x）及設(shè)計驗算點x*。

（2）以上次迭代獲得的設(shè)計驗算點x*為取樣中心，選取適當?shù)牟介Lf值，并選用相應中心復合設(shè)計中的2n個軸向取樣點。各取樣點坐標可表示為xi=x*±fσxi。

（3）將取樣點通過式（3）～式（8）進行投影取樣，并將結(jié)果代入式（10）形成相應系數(shù)矩陣A（X）。依據(jù)取樣點進行數(shù)值分析或試驗并將得到的相應量gi（i=1，2，...，2n+1）構(gòu)成列向量y=（g1，g2，...，g2n+1）。

（4）按照式（12）式和式（13）構(gòu)造權(quán)重系數(shù)W，根據(jù)最小二乘法可得到取樣點加權(quán)后的相應響應面函數(shù)的待定系數(shù)矩陣為

B=(ATWA)-1ATWy.

（5）通過JC法計算所得極限狀態(tài)方程的設(shè)計驗算點x*及可靠度指標β。

（6）將求得的設(shè)計驗算點作為展開點利用式（3）～式（7），以代替f計算新的展開取樣點x*。

（7）重復步驟（3）～（6），直至前后2次‖x‖相差小于ε。

將上述計算流程繪于圖2所示。

2 算例分析

2.1 簡化土坡算例

以文獻［15］中的簡化土質(zhì)邊坡為例進行分析。邊坡示意圖如圖3所示。該邊坡高度H=10 m，坡腳和臨界滑動面與水平地面的夾角分別為θ=20°、ψ=26°。邊坡土體的天然重度采用γ=22 kN/m3。滑帶土體的黏聚力c及內(nèi)摩擦角?的統(tǒng)計參數(shù)如表1所示。

假設(shè)土坡沿臨界滑動面滑動破壞，表征該土坡穩(wěn)定性的功能函數(shù)可近似表示為

以蒙特卡洛法（107次）（Monte Carlo，MC）的計算結(jié)果為標準值，將經(jīng)典響應面法（RSM）、梯度投影響應面法（VPRSM）、加權(quán)響應面法（WRSM）和本研究方法的計算結(jié)果列于表2。表2中本研究方法的權(quán)重系數(shù)ξ綜合考慮了計算精度和計算結(jié)果的斂散性取1/2進行計算。

表2中第3、第4、第6列給出了通過各種計算方法得到的可靠度指標β和失效概率Pf及其與標準值的相對誤差，將各種方法求出的失效概率與MC法進行對比可知RSM和WRSM法的計算誤差較為接近，VPRSM法的誤差最大。本研究方法計算誤差約為RSM和WRSM法的1/138，VPRSM法的1/360，這證實了該方法的計算精度。

表2中第5列給出了各種計算方法的迭代次數(shù)，分別為RSM（1 000次）、WRSM&VPRSM（100）次、本研究方法（12次）。從中可以看出相較于其他方法本研究方法的迭代次數(shù)明顯減少，計算效率較高。

基于各種可靠度計算方法擬合得到的近似極限狀態(tài)函數(shù)如圖4所示。通過比較各種方法得到的功能函數(shù)在驗算點附近與真實極限狀態(tài)函數(shù)的位置關(guān)系可知，本研究方法具有較好的擬合效果。由于RSM方法擬合的功能函數(shù)與真實函數(shù)偏差較大，當前視圖沒有顯示出來。

2.2 卡基娃左岸邊坡算例

下面以文獻［16］卡基娃左岸邊坡為例討論本研究方法在分析功能函數(shù)為隱式函數(shù)時的邊坡可靠度求解過程，同時分析權(quán)重系數(shù)對計算精度的影響?？ɑ匏娬疚挥谒拇ㄊ錾街荩嗄纠锟h城178 km，距西昌約424 km。壩頂設(shè)計開挖高度180 m，開挖至海拔2 850 m時，2 855 m高程以上變形體前沿滑移剪出，后延沿沿開口線開裂，且隨工程進行變形速率逐漸加快。對大壩施工及邊坡支護工程的安全進行造成威脅。其滑坡典型剖面如圖5所示。

依據(jù)工程報告將其土性參數(shù)列于表3。通過Geostudio軟件slope/w模塊計算安全系數(shù)，以MCS（106）方法計算的失效概率標準值為16.45%。

依據(jù)Morgenstern-Price法安全系數(shù)計算結(jié)果，采用如式（2）所示的線性響應面函數(shù)模擬該邊坡極限狀態(tài)方程。利用向量投影取樣點技術(shù)并通過加權(quán)優(yōu)化獲得高質(zhì)量取樣點并以此擬合極限狀態(tài)方程，再通過迭代生成新的展開點和取樣點以求解新的極限狀態(tài)方程、可靠度指標及失效概率直至計算結(jié)果收斂。

根據(jù)自主編制的Matlab計算程序計算了該邊坡可靠度指標和失效概率隨不同權(quán)重取值的變化情況如圖6和表4所示。圖中失效概率計算值隨著權(quán)重系數(shù)增長逐步向標準值靠近。當權(quán)重系數(shù)增大至0.5左右時計算所得的失效概率與標準值最為接近，并在隨后逐漸偏離標準值。基于以上分析，在綜合考慮工程精度和計算效率的前提下本研究建議采用ξ=0.5進行邊坡可靠度計算。計算所得的可靠度指標和失效概率分別為β=0.976；pf=16.44%。

3 結(jié)論

基于向量投影響應面法，提出了一種加權(quán)取樣點的優(yōu)化抽樣方法，并依據(jù)其原理給出了計算流程圖。分別以1個簡化土坡算例和卡機娃水電站左岸邊坡實例研究了該方法的計算精度并提出了加權(quán)系數(shù)的建議值。主要結(jié)論如下：

（1）利用取樣點至極限狀態(tài)面的距離建立加權(quán)系數(shù)矩陣，優(yōu)化了取樣點的選擇策略，減少了迭代次數(shù)。較傳統(tǒng)響應面法提高了計算效率和精度，為隱式功能函數(shù)的工程問題提供了一種新擬合方法。

（2）為研究該方法的可靠性，本研究同時采用了多種傳統(tǒng)響應面法進行模擬比對。結(jié)果表明本研究方法的精度能夠滿足工程要求，且較其他方法具有更高的計算效率。

（3）探討了不同重要性系數(shù)ξ對響應面模擬的影響。通過對真實工程案例的模擬分析，提出了權(quán)重系數(shù)ξ的建議值，可方便推廣于其他工程，具有一定的發(fā)展前景。