典例探究 觸類旁通

文 陳 緩

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界有效的數(shù)學(xué)模型。作為“方程家族”中的一員，一元二次方程更是延伸和深化了以前所學(xué)過的方程知識(shí)。它在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，也是中考數(shù)學(xué)熱衷考查的對(duì)象，主要是從一元二次方程的概念、解法、根的判別、根與系數(shù)的關(guān)系和應(yīng)用等方面入手考查，同時(shí)還會(huì)與三角形、面積求算、函數(shù)等知識(shí)綜合應(yīng)用。在學(xué)習(xí)的過程中，我們不妨從中考的典型例題出發(fā)，將相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，以不變應(yīng)萬(wàn)變，從而順利解決問題。下面就開始我們的探究之旅吧！

一、根與系數(shù)的關(guān)系

例1（2019·江蘇鹽城）設(shè)x1、x2是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，則x1+x2-x1·x2=________。

【分析】方法不一，既可以利用配方法、公式法或因式分解法等先求出x1、x2的具體值x1=2、x2=1，再代入x1+x2-x1·x2進(jìn)行求解，也可將x1+x2、x1·x2分別看成整體，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到x1+

解：因?yàn)閍=1，b=-3，c=2，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的常見解法：配方法、公式法、因式分解法等，以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于含參數(shù)的一元二次方程，依然如此。同學(xué)們?cè)谑煊浌降幕A(chǔ)上，不妨大膽嘗試新方法，選用較簡(jiǎn)單的方法即可。

二、根的判別式

例2（2019·江蘇連云港）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值等于________。

【分析】關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式=22-4a（2-c）=0，通過化簡(jiǎn)即可得出的值。

解：由題意，可知a≠0，

因?yàn)橐辉畏匠蘟x2+2x+2-c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以根的判別式=22-4a（2-c）=0，

即1=a（2-c），

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。另外，同學(xué)們要注意：一元二次方程中，二次項(xiàng)的系數(shù)a≠0哦！

三、實(shí)際問題中的一元二次方程

例3（2017·江蘇無(wú)錫）某商店今年1月份的銷售額是2萬(wàn)元，3月份的銷售額是4.5萬(wàn)元。從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率是（ ）。

A.20% B.25%

C.50% D.62.5%

【分析】設(shè)該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“原銷售額+增長(zhǎng)的銷售額=后來的銷售額”和“增長(zhǎng)的銷售額=原銷售額×增長(zhǎng)率”，可將2月份和3月份的銷售額分別表示為2（1+x）萬(wàn)元、2（1+x）2萬(wàn)元，從而列出一元二次方程2（1+x）2=4.5，求解即可。

解：設(shè)該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率為x。

由題意，可得2（1+x）2=4.5。

解這個(gè)方程，得x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合題意，舍去）。

答：該店銷售額平均每月的增長(zhǎng)率為50%。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，涉及的平均變化率問題是中考的“?？汀?，解題的關(guān)鍵在于理解題目的意思，能根據(jù)條件找出等量關(guān)系。對(duì)于本題，若你能根據(jù)等量關(guān)系表示出2月、3月銷售額的代數(shù)式，那么恭喜你，離成功不遠(yuǎn)了！

例4（2019·江蘇南京）某地計(jì)劃對(duì)矩形廣場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)建改造。如圖1，原廣場(chǎng)長(zhǎng)50m，寬40m，要求擴(kuò)充后的矩形廣場(chǎng)長(zhǎng)與寬的比為3∶2。擴(kuò)充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用每平方米30元。擴(kuò)建后在原廣場(chǎng)和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚，鋪設(shè)地磚費(fèi)用每平方米100元。如果計(jì)劃總費(fèi)用642000元，擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別是多少米？

【分析】設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm，寬為2xm，根據(jù)“矩形的面積=長(zhǎng)×寬”和“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”的數(shù)量關(guān)系列出方程并解答。

解：設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm，寬為2xm。

根據(jù)題意，得3x·2x·100+30（3x·2x-50×40）=642000，

解這個(gè)方程，得x1=30，x2=-30（不合題意，舍去）。

所以3x=90，2x=60。

答：擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為90m，寬為60m。

【點(diǎn)評(píng)】本題重在考查一元二次方程的應(yīng)用，對(duì)于此類問題，同學(xué)們一定要擦亮眼睛，認(rèn)真審題，找準(zhǔn)題目中的數(shù)量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程。此外，對(duì)于所求的一元二次方程的解，要記得根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行取舍哦！

四、一元二次方程的綜合拓展

例5（2017·貴州六盤水）三角形的兩邊a、b的夾角為60°且滿足方程x2-3+4=0，則第三邊的長(zhǎng)是（ ）。

【分析】先解一元二次方程x2-3+4=0，得x1=2，x2=。由題意可知，a、b是方程的解，則a=2，b=，或a=，b=2。結(jié)合條件“三角形的兩邊a、b的夾角為60°”，畫出符合條件的三角形，再解三角形，即可得出第三邊的長(zhǎng)。

過點(diǎn)A作AD⊥CB于點(diǎn)D，垂足為D，

在Rt△ACD中，

由勾股定理，得

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于一元二次方程的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有解一元二次方程、直角三角形、勾股定理等，同時(shí)蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合的思想。需要注意的是，一元二次方程能夠與三角形、函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，構(gòu)建綜合性問題，是中考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)。因此，同學(xué)們需要學(xué)會(huì)觸類旁通，逐步攻破。