分類例說(shuō)，突破“重圍”

文 吳 凡

一元二次方程的學(xué)習(xí)是同學(xué)們繼學(xué)習(xí)了一元一次方程、二（三）元一次方程（組）、可化為一元一次方程的分式方程等知識(shí)之后，對(duì)方程的繼續(xù)探究學(xué)習(xí)，所以在入手時(shí)較為簡(jiǎn)單。在方程求解過(guò)程中，借助轉(zhuǎn)化的思想，我們可將一元二次方程降次為一元一次方程來(lái)解決，因此前面所學(xué)的解方程的知識(shí)對(duì)本章的學(xué)習(xí)有著很好的鋪墊作用。同時(shí)，一元二次方程的學(xué)習(xí)與一元二次不等式、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)也有著極大的關(guān)聯(lián)。我們還能發(fā)現(xiàn)本章的學(xué)習(xí)來(lái)自生活實(shí)際，最終又回到了生活實(shí)際，體現(xiàn)了方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的有效模型。

學(xué)習(xí)中，我們首先要明確本章的具體學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解并會(huì)運(yùn)用配方法、公式法、因式分解法解含數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

2.會(huì)用一元二次方程根的判別式判別該方程是否有實(shí)數(shù)根以及兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等；

3.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；

4.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，解決實(shí)際問(wèn)題。

下面我們結(jié)合具體例題，一起來(lái)看看一元二次方程這一章中的主要知識(shí)點(diǎn)及常見(jiàn)考題。

知識(shí)點(diǎn)1 解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程

這類題主要考查一元二次方程的解法。一元二次方程的解法主要包括：配方法、公式法和因式分解法等。解決此類問(wèn)題的基本策略就是降次，即通過(guò)配方、因式分解等，將一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。具體地，通過(guò)配方，可將一元二次方程轉(zhuǎn)化為x2=n或（x+m）2=n（n≥0）的形式再求解；一元二次方程的求根公式x=也是對(duì)方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方后得出的。

例1（2020·江蘇南京）解方程：x2-2x-3=0。

【分析】先觀察這個(gè)方程的結(jié)構(gòu)，這是一元二次方程，且a=1，b=-2，c=-3，我們可以選擇配方法或者因式分解法來(lái)解。

解法一（配方法）：

移項(xiàng)，得x2-2x=3，

配方，得x2-2x+12=3+12，

即（x-1）2=4，

由此可得x-1=±2，

所以x1=-1，x2=3。

解法二（因式分解法）：

原方程可變形為（x+1）（x-3）=0，

x+1=0或x-3=0，

所以x1=-1，x2=3。

例2（2019·江蘇揚(yáng)州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是________。

【分析】先觀察這個(gè)方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)等號(hào)兩邊都有x-2，我們可以移項(xiàng)為x（x-2）-（x-2）=0，因此可以選擇因式分解法（提取公因式）來(lái)求解，或者將這個(gè)方程化成一般式x2-3x+2=0，選擇公式法或配方法來(lái)解。

【答案】x1=2，x2=1。

知識(shí)點(diǎn)2 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

此類知識(shí)點(diǎn)主要有兩類考查形式：（1）判斷該方程有幾個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等；（2）一元二次方程的實(shí)數(shù)根與系數(shù)間有怎樣的關(guān)系。這類題型可通過(guò)b2-4ac的符號(hào)來(lái)判斷ax2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根或者有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，具體方法如下。

當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

對(duì)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也可在了解以下知識(shí)的基礎(chǔ)上來(lái)解題。

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1、x2，那么有

例3（2019·江蘇淮安）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）。

A.k＜-1 B.k＞-1

C.k＜1 D.k＞1

【分析】由信息“方程x2+2x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”可知：當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。因此b2-4ac=22-4×1×（-k）=4+4k＞0，即k＞-1，故選B。

【答案】B。

例4（2019·江蘇鹽城）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2=0（k為實(shí)數(shù)）的根的情況是（ ）。

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.不確定

【分析】在此題中，b2-4ac=k2-4×1×（-2）=k2+8＞0，因此該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選A。

【答案】A。

知識(shí)點(diǎn)3 用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題

一般情況下，我們?cè)谡J(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，可以借助表格、圖表等多種手段來(lái)厘清題目中的等量關(guān)系，從而建立關(guān)于x的一元二次方程，再通過(guò)解此方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

例5在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？

【分析】對(duì)于此類實(shí)際問(wèn)題，我們先要認(rèn)真審題，嘗試找出題目中的等量關(guān)系，再用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示它們，最后寫(xiě)出關(guān)于所設(shè)未知數(shù)的方程，解方程，從而解決問(wèn)題。在此題中，我們不妨設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm2，然后結(jié)合面積關(guān)系，得到數(shù)量關(guān)系：矩形ABCD的面積-△DAP的面積-△QPB的面積-△QCD的面積=28，從而列出方程。

解：設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm2，則△DAP，△QPB，△QCD的面積分別

根據(jù)題意，得

即x2-6x+8=0，

解這個(gè)方程，得x1=2，x2=4。

答：2s或4s后△DPQ的面積等于28cm2。