基于應(yīng)力函數(shù)法的初始地應(yīng)力場反演研究綜述

王呈璋

(山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院,山東淄博 255000)

1 初始地應(yīng)力場反演

隨著調(diào)水工程輸水隧洞、深埋長距離交通隧道、深部礦產(chǎn)能源等大型地下工程的不斷開發(fā)建設(shè)[1-5]，越來越多的工程面臨較為復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造環(huán)境，而工程區(qū)域初始地應(yīng)力場的分布特征受區(qū)域地質(zhì)構(gòu)造的直接影響。如何能夠準(zhǔn)確地獲得工程所需的初始地應(yīng)力場量值與分布規(guī)律，一直都是地下工程研究的基本問題之一。在地下工程的設(shè)計與施工中，地應(yīng)力都被視為最基礎(chǔ)的荷載因素，工程設(shè)計是否有效可靠，施工過程是否合理安全，均受其直接的影響[6-8]。

可靠的地應(yīng)力實測數(shù)據(jù)可以為工程建設(shè)提供有效的參考[9]，但是由于工程區(qū)域復(fù)雜環(huán)境的限制，經(jīng)費的要求以及試驗技術(shù)的局限性，無法開展大量的地應(yīng)力實測工作，而有限離散的地應(yīng)力實測數(shù)據(jù)往往無法滿足實際工程的需要[10-11]。因此，在地應(yīng)力實測資料的基礎(chǔ)上，結(jié)合地質(zhì)構(gòu)造背景、地形地貌特征、巖性分布規(guī)律等地質(zhì)資料，以數(shù)學(xué)力學(xué)方法為數(shù)值計算的手段，反演出有效的工程區(qū)域初始地應(yīng)力場，是初始地應(yīng)力場反演的基本思路[12]。在眾多的初始地應(yīng)力場反演方法中，比較具有代表性的有應(yīng)力函數(shù)法、側(cè)壓系數(shù)法、邊界荷載法、邊界位移法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、遺傳算法、變差函數(shù)法、徑向基函數(shù)法等[13-17]，其中應(yīng)力函數(shù)法是較為經(jīng)典的初始地應(yīng)力場反演方法。應(yīng)力函數(shù)法在工程實踐過程中，被不斷的改進發(fā)展，最初的應(yīng)力函數(shù)法較為單一，僅僅為根據(jù)彈性理論設(shè)定的多項式，通過對多項式的系數(shù)求解，進而求解出應(yīng)力函數(shù)的具體形式。隨著地應(yīng)力反演計算相關(guān)理論的發(fā)展，以及計算條件和計算手段的進步，有關(guān)學(xué)者通過構(gòu)建更為復(fù)雜多樣的應(yīng)力函數(shù)，如三維正交多項式函數(shù)，應(yīng)力趨勢函數(shù)等，利用計算機高效的計算效率進行初始地應(yīng)力場的反演。近些年來，伴隨著大型通用計算軟件的發(fā)展，應(yīng)力函數(shù)的形式也變得多樣化，應(yīng)力函數(shù)從最初的反演目標(biāo)，逐漸轉(zhuǎn)變成為反演手段，將應(yīng)力函數(shù)與有限元聯(lián)合進行初始地應(yīng)力場反演，成為目前較為主流的反演方法之一。

基于相關(guān)學(xué)者在初始地應(yīng)力場反演過程中對于應(yīng)力函數(shù)法的研究成果，本文從基本思想、實現(xiàn)過程、工程應(yīng)用特點和優(yōu)缺點等方面，著重介紹了該方法在不同階段的重要特征。

2 應(yīng)力函數(shù)法的基本理論

初始地應(yīng)力場的應(yīng)力函數(shù)法回歸反演分析，即根據(jù)有限且離散的地應(yīng)力實測數(shù)據(jù)，結(jié)合工程區(qū)域的地質(zhì)計算模型，以數(shù)學(xué)力學(xué)方法為主要手段，構(gòu)建三維應(yīng)力場函數(shù)或應(yīng)力分量函數(shù)的表達式，利用數(shù)值計算方法，推導(dǎo)出工程區(qū)域的初始地應(yīng)力場[18]。在初始地應(yīng)力場反演分析的方法中，應(yīng)力函數(shù)法的基本概念提出的時間較早，經(jīng)過大量學(xué)者的豐富研究，現(xiàn)在已經(jīng)具有多樣的形式，如多元線性回歸分析法、應(yīng)力函數(shù)趨勢分析法、應(yīng)力函數(shù)數(shù)值分析法、邊界荷載分析法等，以上的方法均采用不同的應(yīng)力函數(shù)形式作為數(shù)值計算方法的核心。

2.1 多元線性回歸分析法

數(shù)值計算方法多種多樣，其中較為典型的應(yīng)力函數(shù)法最早是由郭懷志等[19]提出，他認(rèn)為巖體在彈性工作狀態(tài)下，初始應(yīng)力場可視為因變量，若干自變量共同作用形成應(yīng)力場這一復(fù)雜的因變量，這些自變量分別為彈性模量、泊松比、容重、地溫等物理因素，以及地質(zhì)構(gòu)造特征、地形地貌特征、構(gòu)造作用下巖體的三維坐標(biāo)等構(gòu)造因素，各種因素在地質(zhì)體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力視為基本初始應(yīng)力，而初始應(yīng)力場即為各基本初始應(yīng)力的線性疊加，其表達公式為

(1)

基于這種回歸反演分析理論，初始地應(yīng)力場的反演問題即轉(zhuǎn)變?yōu)閷貧w系數(shù)bi的求解。具體實現(xiàn)過程為，首先將各自變量因素作用于地質(zhì)計算模型，得到對應(yīng)狀態(tài)下的基本初始應(yīng)力計算值，根據(jù)線性疊加原理求得初始地應(yīng)力場的計算值，結(jié)合地應(yīng)力實測數(shù)據(jù)，將二者的差值利用最小二乘法原理使殘差的平方和最小，即可得到回歸系數(shù)bi的最優(yōu)解。

2.2 應(yīng)力函數(shù)趨勢分析法

張有天[20]等提出了一種根據(jù)趨勢對地應(yīng)力場進行分析的應(yīng)力函數(shù)法，即地應(yīng)力場的趨勢分析法。該方法的核心思想是假設(shè)高階的多項式應(yīng)力函數(shù)，結(jié)合有限的地應(yīng)力實測數(shù)據(jù)以及邊界約束條件，根據(jù)趨勢對地應(yīng)力場進行反演分析。該方法首要的任務(wù)是假定合理的四次多項式函數(shù)φ1、φ2、φ3，三個應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該滿足Beltrami-Michell方程，應(yīng)力分量由應(yīng)力函數(shù)表示的公式如下：

σx=?2φ3/?y2+?2φ2/?z2

σy=?2φ1/?z2+?2φ3/?x2

σz=?2φ2/?x2+?2φ1/?y2

τyz=-?2φ1/?z?y

τzx=-?2φ2/?z?x

τxy=-?2φ3/?x?y

(2)

由式(2)，六個應(yīng)力分量σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx均可表示為關(guān)于空間坐標(biāo)(x、y、z)的二次多項式。對于地應(yīng)力實測數(shù)據(jù)，每一個測點都包含六個應(yīng)力分量，當(dāng)實測點為n個時，可以建立6n個獨立的方程。作為邊界約束條件的地表點，由于其法向應(yīng)力與剪切應(yīng)力均為零，因此可以選取若干地表點建立方程組。當(dāng)六個應(yīng)力分量的多項式系數(shù)個數(shù)與所有方程的個數(shù)相同時，即可求得六個應(yīng)力分量的具體表達式。

2.3 應(yīng)力函數(shù)數(shù)值分析法

肖明等[21]在對錦屏二級水電站壩址處山體進行初始地應(yīng)力場反演回歸分析時，提出了三維應(yīng)力函數(shù)擬合方法。該方法主要分為兩個部分，首先根據(jù)工程區(qū)域范圍內(nèi)地勘資料所呈現(xiàn)的地質(zhì)體地表剝蝕風(fēng)化產(chǎn)生的地貌特征、時空變化下的構(gòu)造演化特征和巖土物理力學(xué)性質(zhì)，采用有限元反演出初始地應(yīng)力場。然后根據(jù)測點位置的反演計算值和實測值，運用三維有限元對計算后的地質(zhì)體模型進行插值運算，利用三維正交多項式構(gòu)建出能夠合理反映三維應(yīng)力場的應(yīng)力函數(shù)。假定一組多項式序列p0(x,y,z)，p1(x,y,z)，...，pm(x,y,z)滿足以下的正交條件：

(3)

式中：n為擬合區(qū)域離散點的個數(shù)；當(dāng)i=j時，p為常數(shù)；當(dāng)i≠j時，p為零。

由正交多項式的性質(zhì)構(gòu)造的正交多項式系列如式(4)所示：

p0=1

p1=(z-a1)p0

p2=(z-a2)p1+(x-b2)p0

?

pi+1=(z-ai+1)pi+(x-bi+1)pi-1+(y-ci+1)pi-2+di+1pi-3

(4)

式中：ai+1、bi+1、ci+1、di+1為待定系數(shù)。

由數(shù)學(xué)歸納法求得空間坐標(biāo)(x、y、z)表示的多項式系數(shù)和多項式pi的具體表達形式，從而擬合出三維應(yīng)力函數(shù)的具體表達式：

Qi=αi0p0+αi1p1+…+αimpm

(5)

式中：αi0，αi1，…，αim為待定的應(yīng)力系數(shù)。

通過建立以地應(yīng)力實測數(shù)據(jù)與擬合邊界的應(yīng)力值為極值條件的目標(biāo)函數(shù)，利用最小二乘法的原理對目標(biāo)函數(shù)求極值，即可得到式(5)中的應(yīng)力系數(shù)，進而得到三維應(yīng)力場的應(yīng)力函數(shù)表達式。

2.4 邊界荷載反分析法

邊界荷載反分析法的核心思想是地質(zhì)體模型的邊界荷載與初始地應(yīng)力狀態(tài)是相對應(yīng)的關(guān)系，如果已知地質(zhì)體模型的真實邊界荷載，則可得到初始地應(yīng)力場。因此，邊界荷載法的實現(xiàn)過程就是通過不斷地調(diào)整地質(zhì)體模型的邊界荷載，使得地應(yīng)力測點位置處的應(yīng)力回歸計算值與實測值之間的誤差達到最小。

劉允芳[22]等對于該方法的具體實現(xiàn)過程為，根據(jù)地質(zhì)勘測資料，選擇合理的工程區(qū)域范圍，構(gòu)建地質(zhì)力學(xué)計算模型。對時空變化下的構(gòu)造演化過程進行分析，確定可能對工程區(qū)域地應(yīng)力場的形成產(chǎn)生影響的主要地質(zhì)構(gòu)造因素，一般選擇自重應(yīng)力、兩個水平方向的構(gòu)造應(yīng)力和水平面內(nèi)的剪切應(yīng)力，將以上四種因素作為待定因素。對于每一種待定因素，將其作用于地質(zhì)計算模型，求得在已知測點位置處的地應(yīng)力值。將測點位置處所有計算求得的地應(yīng)力值與現(xiàn)場實測的地應(yīng)力值之間建立回歸方程：

(6)

利用最小二乘法原理使得地應(yīng)力測點的實測值與回歸計算值之間的殘差達到最小值，得到對應(yīng)于四個待定因素的回歸系數(shù)，即可得到應(yīng)力函數(shù)的回歸方程。

3 反演方法的工程實踐特征分析

3.1 初始地應(yīng)力場的區(qū)域特征

由于地應(yīng)力場具有時間性和空間性二重屬性，所以就整體而言，地應(yīng)力場是非線性且非穩(wěn)定的應(yīng)力場[23]。在復(fù)雜漫長的地質(zhì)歷史年代，地應(yīng)力場受多重因素的作用，如地殼的運動、地溫的不均勻變化、地幔的隨機對流、地表的風(fēng)化剝蝕和地形地貌的變化、巖體自重的影響、巖體內(nèi)孔隙水壓力以及節(jié)理結(jié)構(gòu)面的影響等[24-25]，如果在地應(yīng)力場反演工作中全面考慮這些因素的影響，理論上是可以以較高的精度反演出與實際情況相符合的地應(yīng)力場，但是在實際操作中可行性較低。一方面，地應(yīng)力場的非線性特征很難用單一的非線性函數(shù)或者非線性模型進行模擬表征。另一方面，地應(yīng)力場又是整體上的非穩(wěn)定場，無法準(zhǔn)確的表示出地質(zhì)歷史年代整個應(yīng)力場的變化過程。但是，在研究具體的工程問題時，需要考慮的地質(zhì)變化過程一般較短，而在所考慮的時間尺度和空間尺度的范圍內(nèi)，地質(zhì)體是相對穩(wěn)定的狀態(tài)。所以，在對具體的工程問題進行初始地應(yīng)力場反演時，完全可以對各種因素進行簡化處理，將工程地質(zhì)體視為相對穩(wěn)定的非線性模型。

3.2 反演方法的工程應(yīng)用特征及優(yōu)缺點

應(yīng)力函數(shù)法就是在這樣的背景下提出來的，不同形式的應(yīng)力函數(shù)均可以在一定程度上模擬地質(zhì)體的非線性特征。應(yīng)力函數(shù)趨勢分析法是最為直接的方法，該方法用四次的函數(shù)來模擬三維的應(yīng)力場，基于彈性力學(xué)的假定，根據(jù)平衡方程、物理方程、相容方程來確定應(yīng)力分量的具體表達式，對于地質(zhì)體模型中的任意一點，均可由其坐標(biāo)值得到對應(yīng)的應(yīng)力值，從而得到整個過程區(qū)域的初始地應(yīng)力場。該方法所需的計算工作量較小，簡便易行，具有較強的可操作性，表示的是連續(xù)空間的地應(yīng)力場。缺點在于將地質(zhì)體視為簡單的彈性模型，并未考慮巖體的塑性變形。而且地質(zhì)體內(nèi)部存在的斷層、褶皺等地質(zhì)構(gòu)造特征均無法充分的考慮，所以該方法的代表性不強，反演精度較低，適合在巖性比較均勻，斷層發(fā)育較少、褶皺等構(gòu)造地質(zhì)構(gòu)造作用不夠強烈的地殼深部工程使用，如王拉才[26]等在撫順龍鳳煤礦、孔廣亞[27]等在某黃金礦的的地應(yīng)力場反演中均采用該方法，取得了良好的效果。

應(yīng)力函數(shù)數(shù)值分析法從地應(yīng)力實測點出發(fā)，雖然離散且有限的應(yīng)力實測數(shù)據(jù)無法滿足三維有限元計算的要求，但是完全可以利用正交多項式的特性，根據(jù)實測數(shù)據(jù)構(gòu)建正交多項式序列，并且結(jié)合插值運算擬合出一個應(yīng)力函數(shù)。該方法在錦屏二級水電站地應(yīng)力場反演中首次運用，并且分別考慮了存在斷層影響和不存在斷層影響兩種情況。反演結(jié)果表明采用此方法反演回歸的初始地應(yīng)力場在兩種情況下的結(jié)果基本一致，僅僅在靠近斷層附近的主應(yīng)力值有所差別，說明改方法具有一定的精度，并且便于操作。但是，該方法的局限性在于建立三維地質(zhì)體模型的過程中對地質(zhì)特征進行了較多的簡化處理，對于地形地貌特征以及構(gòu)造演化特征較為復(fù)雜的地質(zhì)體，一個擬合的應(yīng)力函數(shù)無法準(zhǔn)確描述整個初始應(yīng)力場的真實狀態(tài)。趙辰[28]等以該方法為基礎(chǔ)，保留其核心的思想，即構(gòu)建正交多項式系列，通過正交多項式序列擬合出函數(shù)的具體形式，從而提出了考慮地層剝蝕作用的側(cè)壓力系數(shù)法這一地應(yīng)力場反演方法。該方法擬合的函數(shù)不再是應(yīng)力函數(shù)，而是側(cè)壓力系數(shù)函數(shù)。對于復(fù)雜的地質(zhì)構(gòu)造環(huán)境而言，初始地應(yīng)力場的變化可能比較復(fù)雜，但是在一個相對穩(wěn)定的區(qū)域內(nèi)，側(cè)壓力系數(shù)這一代表水平應(yīng)力與自重應(yīng)力比值的量值保持在穩(wěn)定的范圍內(nèi)，因此完全可以通過建立側(cè)壓力系數(shù)擬合函數(shù)來進行地應(yīng)力場的反演。利用有限元軟件通過逐次開挖來模擬地表風(fēng)化剝蝕的過程對初始地應(yīng)力場的影響，以應(yīng)力實測點的側(cè)壓力系數(shù)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用正交多項式序列構(gòu)造出三維空間的側(cè)壓力系數(shù)擬合函數(shù)，由水平應(yīng)力、自重應(yīng)力和側(cè)壓力系數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，即可得到整個地質(zhì)模型的初始地應(yīng)力場。該方法的顯著優(yōu)點就是可以充分考慮地形地貌特征、地質(zhì)構(gòu)造條件對初始地應(yīng)力場的影響，反演方法具有一般性，適用于各種復(fù)雜地質(zhì)體，反演結(jié)果具有較高的精度和合理性。

多元線性回歸分析初始地應(yīng)力場的方法，由于考慮多種影響地應(yīng)力場的因素，并且每一種因素都對應(yīng)著唯一的應(yīng)力狀態(tài)，將每一種應(yīng)力狀態(tài)視為一個應(yīng)力函數(shù)，因此通過線性疊加得到的對應(yīng)于三維空間初始地應(yīng)力場的應(yīng)力函數(shù)，具有唯一性[29]。邊界荷載反分析法不僅具備多元線性回歸分析法的優(yōu)點，而且其獨特的優(yōu)點就是僅考慮對初始地應(yīng)力場產(chǎn)生顯著影響的四個因素，包括自重應(yīng)力因素、水平方向兩個構(gòu)造應(yīng)力因素以及水平面內(nèi)的一個剪切構(gòu)造應(yīng)力因素，反演過程只需求得各因素作用于有限元地質(zhì)模型的最優(yōu)系數(shù)，即可獲得各因素共同作用下的唯一初始地應(yīng)力場。該方法最早應(yīng)用于水利水電行業(yè)，由于其采用有限元計算軟件建立逼真的工程地質(zhì)模型，能夠反映地形地貌特征、斷層和褶皺等地質(zhì)構(gòu)造特征，并且采用科學(xué)可靠的數(shù)理統(tǒng)計理論做計算支撐，因此從提出來之后便被行業(yè)廣泛認(rèn)可并普遍使用，如抽水蓄能電站[30]、引水隧洞工程[31]、水電站高邊坡[32]等大型水利水電工程的初始地應(yīng)力場反演均采用該方法。雖然在其他工程領(lǐng)域，利用多元線性回歸分析法和邊界荷載反分析法對工程區(qū)域初始地應(yīng)力場反演的研究工程相對較少，但是由于一些交通隧道工程正在面臨超長深埋等較為突出的地質(zhì)問題，利用上述方法進行地應(yīng)力場反演的優(yōu)勢也正在凸顯。汪波[33]、代聰[34]和尤哲敏[35]等分別在在蒼嶺特長公路隧道、藍家?guī)r深埋特長公路隧道和大坪山深埋公路隧道的初始地應(yīng)力場反演分析中運用多元回歸分析原理，獲得了較為合理可靠的隧道軸線處初始地應(yīng)力場分布規(guī)律。因此，多元線性回歸分析法，以及以此為基礎(chǔ)發(fā)展而來的邊界荷載法，由于能夠更為真實的反應(yīng)工程區(qū)域的地質(zhì)構(gòu)造特征，更為合理可靠的反演出初始地應(yīng)力場的分布規(guī)律，無論是規(guī)模較大的水利水電工程，還是深埋超長的交通隧道工程，都將其視為較為科學(xué)的方法并成功應(yīng)用于工程實踐。

4 結(jié)論與展望

4.1 結(jié)論

本文以應(yīng)力函數(shù)法為基礎(chǔ)，詳細介紹了該方法的提出背景，系統(tǒng)地總結(jié)了該方法在具體的工程實踐中發(fā)展而來的多元線性回歸分析法、應(yīng)力函數(shù)趨勢分析法、應(yīng)力函數(shù)數(shù)值分析法和邊界荷載反分析法，具體闡述了每一種方法的基本原理和數(shù)值計算方法，對比分析了各方法的工程應(yīng)用特點以及優(yōu)缺點，具體對比結(jié)果如表1所示。主要結(jié)論如下：

表1 各方法對比分析

(1)四種方法的力學(xué)假定均是彈性力學(xué)理論，即假定工程區(qū)域的巖體僅發(fā)生彈性變形，不考慮巖體的塑性狀態(tài)。

(2)應(yīng)力函數(shù)趨勢分析法是反演初始地應(yīng)力場的直接法，直接假定應(yīng)力函數(shù)進行求解。而另外三種方法均屬于間接法，多元線性回歸分析法和邊界荷載法通過線性疊加各種因素作用下的應(yīng)力場建立初始地應(yīng)力場的應(yīng)力方程，應(yīng)力函數(shù)數(shù)值分析法利用正交多項式的性質(zhì)構(gòu)建多項式應(yīng)力函數(shù)。

(3)多元線性回歸分析法和邊界荷載法的基本原理一致，邊界荷載法相比前者而言僅考慮四種因素，即自重因素、兩個水平構(gòu)造因素和一個剪切構(gòu)造因素。邊界荷載法的可操作性較強，更加科學(xué)合理。

(4)邊界荷載法相對于其他三種方法，具有較大的優(yōu)勢，也是目前最流行的方法。因為其考慮地表風(fēng)化剝蝕作用、斷層和褶皺等地質(zhì)構(gòu)造作用，更能反映工程區(qū)域的真實地質(zhì)狀態(tài)，適用于大型高陡邊坡工程、深埋超長隧道工程和水利水電工程區(qū)域的初始地應(yīng)力場反演工作。

4.2 展望

基于應(yīng)力函數(shù)法的發(fā)展過程和具體工程實踐過程，仍有部分問題有待進一步的發(fā)展完善，使其能夠更加滿足工程實際的需要。

(1)目前許多大型工程逐漸面向深地，越來越大的埋深伴隨著較高的地溫，而地溫對于巖體初始地應(yīng)力場的影響尚不明確。

(2)實際的工程地質(zhì)模型，邊界荷載不是簡單的線性荷載，如何采用非線性荷載模擬邊界條件值得進一步研究。

(3)由于地殼淺部中的巖體多處于彈塑性狀態(tài)，忽略巖體的塑性狀態(tài)，僅僅以彈性力學(xué)假定進行初始地應(yīng)力場的反演，反演結(jié)果與真實狀態(tài)相比仍有較大的誤差。因此，結(jié)合巖體的彈塑性狀態(tài)進行考慮，才能使反演結(jié)果更加合理。