基于協(xié)調(diào)翹曲場的開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉(zhuǎn)一維有限元分析

文 穎，陳澤林

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410075；2. 重載鐵路工程結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室 (中南大學(xué))，長沙 410075)

橋梁工程中廣泛應(yīng)用的箱形梁屬于開閉口混合薄壁截面桿件，封閉箱體能提供顯著雙向彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度，適應(yīng)縱、橫向偏載作用，開口懸臂板則為橋面結(jié)構(gòu)提供良好支撐，滿足橋梁功能要求。箱梁設(shè)計必須解決好空間彎扭分析問題。開口及全封閉薄壁截面桿件約束扭轉(zhuǎn)分析分別由基于Vlasov 假定的Timoshenko 理論和基于Umanskii假定的Benscoter 理論解決[1?3]。研究發(fā)現(xiàn)開、閉口斷面翹曲剛度差異明顯。因此，箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析必須考慮開口懸臂板和閉口周邊翹曲能力的區(qū)別[4]。

具有任意截面形狀的薄壁桿件扭轉(zhuǎn)翹曲位移一般可寫成截面翹曲函數(shù)和翹曲參數(shù)的乘積形式。現(xiàn)有文獻(xiàn)認(rèn)為截面扇性坐標(biāo)和廣義扇性坐標(biāo)分別適用于開口和閉口周邊的翹曲函數(shù)，反映二者翹曲能力的差異，而描述翹曲沿桿件縱向變化的翹曲參數(shù)卻是一致的。徐勛等[4]、郭金瓊等[5]、周履[6]、張元海和林麗霞[7]、馬俊軍和藺鵬臻[8]、聶國雋和錢若軍[9]、Dikaros 等[10]和Qiao 等[11]采用Umanskii 第二理論，即開、閉口部分采用相同的待定翹曲參數(shù)，進(jìn)行薄壁構(gòu)件約束扭轉(zhuǎn)分析。但是，關(guān)于翹曲剪流沿開、閉口部分如何分布仍存在分歧，例如文獻(xiàn)[5, 7 ? 8, 12]認(rèn)為開口部分參與閉口周邊翹曲剪流重分配，導(dǎo)致懸臂板產(chǎn)生附加剪流，而文獻(xiàn)[4, 6]則從懸臂板自由端剪應(yīng)力為零的條件出發(fā)，認(rèn)為閉口周邊將產(chǎn)生平衡懸臂板翹曲正應(yīng)力的附加翹曲剪流。胡啟平等[13]和王曉峰和楊慶山[14]認(rèn)為開口截面翹曲剪流將引起附加翹曲。產(chǎn)生分歧的原因在于采用Umanskii 假定后，懸臂板翹曲剪流究竟由剪應(yīng)變還是根據(jù)與翹曲正應(yīng)力間的平衡條件來決定?？紤]到閉口截面自由扭轉(zhuǎn)剛度遠(yuǎn)大于約束扭轉(zhuǎn)剛度，Sapountzakis和Mokos[15]、Günay 和Timarci[16]及Cambronero-Barrientos 等[12]采用Umanskii 第一理論，假定開、閉口部分約束扭轉(zhuǎn)翹曲參數(shù)取為截面扭轉(zhuǎn)角變化率。然而，它卻無法反映翹曲剪應(yīng)力引起附加翹曲，將產(chǎn)生不可允許的誤差[5]。綜上所述，現(xiàn)有文獻(xiàn)在開、閉口部分約束扭轉(zhuǎn)翹曲參數(shù)如何確定的問題上并未達(dá)成一致，勢必影響約束扭轉(zhuǎn)分析可靠性。

考慮到薄壁箱梁懸臂板寬度有限，且在閉口周邊面內(nèi)彎翹連續(xù)性條件影響下，板件中面內(nèi)形成附加翹曲剪流，本文假定截面開口部分翹曲參數(shù)等于扭轉(zhuǎn)角變化率(考慮懸臂板面內(nèi)彎翹，忽略剪翹)，而閉口部分翹曲參數(shù)則滿足Umanskii 假定。考慮開、閉口截面公共節(jié)點翹曲連續(xù)性條件，建立包含待定翹曲參數(shù)的協(xié)調(diào)翹曲模型。基于截面內(nèi)外力平衡條件，建立閉口部分待定翹曲參數(shù)與剛性扭轉(zhuǎn)角導(dǎo)數(shù)間的顯式關(guān)系。依據(jù)勢能不變值原理，建立開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉(zhuǎn)分析的一維有限元列式。通過數(shù)值算例分析并與Umanskii 第二理論、Shell-63 單元、基于Vlasov假定的Beam-189 單元結(jié)果進(jìn)行比較，論證本文方法計算翹曲位移和應(yīng)力具有良好的精度。通過變化懸臂板寬及梁高，揭示不同約束扭轉(zhuǎn)分析模型計算開、閉口截面翹曲剛度變化條件下桿件翹曲應(yīng)力變化規(guī)律。

1 開閉口混合薄壁截面桿件位移場

開閉口混合薄壁截面桿件位移場的建立基于如下假定：

1) 截面發(fā)生整體軸向位移和雙向彎曲轉(zhuǎn)動后仍然保持為平面；

2) 截面面內(nèi)位移滿足剛性周邊假定，即忽略畸變和橫向彎曲的影響；

3) 截面閉口周邊約束扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)采用以剪心為極點的廣義主扇性坐標(biāo)，翹曲參數(shù)取為待定函數(shù)η(x)；

4) 截面開口部分約束扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)采用以剪心為極點的主扇性坐標(biāo)，翹曲參數(shù)取為扭轉(zhuǎn)角φ的變化率dφ/dx。

首先建立描述截面空間位移的笛卡兒坐標(biāo)系Oxyz(如圖1 所示)，它以截面形心O為坐標(biāo)原點。由于箱梁截面一般關(guān)于Oy軸左右對稱，則Oy和Oz為截面慣性主軸。取S點(αy, 0)為截面剪心。由假定2 可知，截面上任意點P(y,z)的面內(nèi)位移(vp,wp)可用S點沿y和z方向的位移分量(vs,ws)以及截面繞S點剛性轉(zhuǎn)角φ來表示，故有：

圖1 開閉口混合截面布置Fig. 1 Cross sectional layout for open-closed profile

假設(shè)P點沿截面中線切線方向(稱為s軸)位移為vsp，并令s軸對z軸的傾角為α(以自z軸按右手法則轉(zhuǎn)到s軸為正)，則有：

圖2 開閉口混合截面主扇性坐標(biāo)Fig. 2 Principal sectorial coordinates for open-closed profile

當(dāng)開閉口混合截面發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)時，由假定3 可知，閉口周邊任意點翹曲位移為：

不難發(fā)現(xiàn)，由式(14)和式(16)表示的開閉口混合截面翹曲場是連續(xù)的。

2 約束扭轉(zhuǎn)翹曲參數(shù)

由式(14)和式(16)可知，開閉口混合截面任意點翹曲應(yīng)力的表達(dá)式為：

對于閉口部分：

式(19)和式(20)中，只有翹曲參數(shù)η 缺乏明確物理概念。為了建立η 與φ的關(guān)系，考慮桿件截面受力平衡關(guān)系如下：

式中，A表示全截面積。將式(19)和式(20)代入式(21)，并考慮圖2 所示的主扇性坐標(biāo)分布，可知式(21)前兩項積分恒為零。由第3 項積分可得：

由于約束扭轉(zhuǎn)條件下，截面閉口部分剪應(yīng)力包含沿壁厚線性分布的圣維南剪應(yīng)力τs、沿壁厚均勻分布的Bredt 剪應(yīng)力τB及沿壁厚均勻分布的翹曲剪應(yīng)力τω。τs相比τB對截面扭矩的貢獻(xiàn)很小，忽略τs對截面內(nèi)外扭矩平衡的影響。沿壁厚均勻分布的τB及τω可根據(jù)剪應(yīng)變及材料彈性本構(gòu)關(guān)系得到，故有：

3 開閉口混合截面桿件一維有限元

由前兩節(jié)討論可知，式(1)、式(14)和式(16)所描述的開閉口混合截面任意點空間位移依賴于截面平均翹曲位移、剪心線位移(vs,ws)和繞剪心扭轉(zhuǎn)角φ?？紤]如圖3 所示開閉口混合薄壁截面桿件單元ij，假定桿件截面平均軸向位移沿桿件長度方向線性變化，桿件剪心軸線撓曲及扭轉(zhuǎn)角沿桿長方向按Hermitian 三次多項式變化。因此，桿件任意截面獨立位移參數(shù)u與節(jié)點自由度d關(guān)系如下：

圖3 開閉口混合薄壁截面桿件單元Fig.3 Thin-walled element with open-closed cross section

4 數(shù)值算例

為了驗證本文提出的開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉(zhuǎn)分析方法和一維有限元剛度矩陣正確性，本節(jié)通過典型算例分析，并與ANSYS Beam-189 單元、Shell-63 單元及文獻(xiàn)結(jié)果(基于Umanskii第二理論[5,18])進(jìn)行對比。要確保Shell-63 單元結(jié)果為準(zhǔn)確解，通過施加剛性扭轉(zhuǎn)荷載及沿箱梁縱向增設(shè)橫隔板，排除箱梁截面畸變、橫向彎曲對應(yīng)力分布的影響。

4.1 偏心軸向線荷載作用下懸臂箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析

表1 懸臂箱梁約束扭轉(zhuǎn)位移和正應(yīng)力Table 1 Displacements and normal stresses for warping torsion of a cantilever box girder

4.2 均布扭矩作用下簡支箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析

文獻(xiàn)[8]分析了均布扭矩(mT=23.5 kN·m/m)作用下30 m 簡支箱梁的約束扭轉(zhuǎn)問題。箱梁基本幾何、材料參數(shù)及截面主扇性坐標(biāo)見文獻(xiàn)[5]。截面形心和剪心位置參數(shù)為yo=0.955 m，αy=?0.296 m。與抗扭特性相關(guān)的截面常數(shù)包括：Iω=2.37 m6，Ipc=9.85 m4，Iωc=1.56 m6，Iωω=?0.18 m6，J=8.07 m4，JB=8.05 m4。本文方法采用2 個薄壁梁單元離散箱梁，分別采用60 個Beam-189 單元和11340 個Shell-63 單元建立簡支箱梁有限元模型。通過施加剛性扭轉(zhuǎn)荷載并沿梁長均勻布置11 道橫隔板(t=0.25 m)，最大限度地減小箱梁截面畸變對約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力和剪應(yīng)力的影響。本文方法、Beam-189 單元模型、Shell-63 單元模型及文獻(xiàn)[8]的結(jié)果列于表2。Beam-189 單元模型因忽略閉口周邊剪切變形，導(dǎo)致扭轉(zhuǎn)角、約束扭轉(zhuǎn)正應(yīng)力及翹曲剪應(yīng)力偏小，而增大截面開口部分剪應(yīng)力。本文方法和Shell-63 單元模型與文獻(xiàn)[8]的正應(yīng)力結(jié)果較接近，但剪應(yīng)力差異較大。例如，Umanskii 第二理論計算出位于箱梁閉口周邊⑦號點剪應(yīng)力的相對誤差為4%，而開口部分⑧號點剪應(yīng)力的相對誤差則達(dá)到70%。原因是懸臂板產(chǎn)生的附加剪流引起懸臂板自由端出現(xiàn)剪應(yīng)力(由Umanskii 第二理論算得⑥號點剪應(yīng)力為?3.87 kPa)，這顯然與物理事實不符，勢必改變懸臂板剪應(yīng)力分布。同時懸臂板根部剪力流變化將改變閉口周邊剪力流分布。

表2 均布扭矩作用下簡支箱梁約束扭轉(zhuǎn)位移和應(yīng)力Table 2 Displacements and stresses for warping torsion of a simply-supported box girder under the action of uniformly distributed torques

4.3 橫向集中偏載作用下簡支箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析

表3 跨中集中偏載作用下簡支箱梁正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角Table 3 Normal stresses and angle of twist of a simplysupported box girder subjected to an eccentric transverse load applied at mid-span

5 參數(shù)分析

第4 節(jié)所給數(shù)值算例僅考慮特定截面下不同計算模型/方法的分析精度，本節(jié)將揭示箱梁懸臂板寬及梁高變化對采用不同計算模型/方法得到的箱梁開、閉口截面應(yīng)力影響規(guī)律。以算例4.2 的簡支箱梁為研究對象，假定箱梁仍然承受均布扭矩(mT=23.5 kN·m/m)的作用。

首先考慮箱梁懸臂板寬變化對應(yīng)力的影響。當(dāng)箱梁頂板寬度保持不變時，為改善箱梁頂板及懸臂板橫向受力，懸臂板與頂板寬度之比通常不超過0.5。因此，假定箱梁懸臂板寬從0 m 變化到3.5 m。圖4 給出簡支箱梁跨中截面④、⑤和⑥點(如圖1 所示)正應(yīng)力隨懸臂板寬的變化規(guī)律。

圖5 給出簡支箱梁端部截面(x=30)頂板正中⑦號點和懸臂板中部⑧號點剪應(yīng)力隨懸臂板寬的變化曲線。

從圖4 可知，無論箱梁懸臂板寬度如何變化，本文一維梁元和Umanskii 第二理論都能準(zhǔn)確計算跨中截面翹曲正應(yīng)力，得到和Shell-63 單元模型一致的結(jié)果，這是因為它們均能適用于描述箱梁板件翹曲變形。然而，當(dāng)箱梁懸臂板寬較小時，Beam-189 單元模型無法描述箱梁閉口周邊對板件翹曲的約束效應(yīng)，如圖4(a)和圖4(b)所示，閉口周邊④和⑤號點正應(yīng)力的計算誤差較大。隨著懸臂板寬度增大，截面閉口周邊約束效應(yīng)逐漸減小，Beam-189 單元結(jié)果趨向于準(zhǔn)確解(當(dāng)懸臂板寬b2=3.5 m 時，與Shell-63 單元結(jié)果完全重合)。此外，Beam-189 單元模型能較好地模擬懸臂板翹曲，如圖4(c)所示，懸臂板自由端⑥號點正應(yīng)力結(jié)果具有較高精度，說明閉口約束效應(yīng)對開口部分翹曲的影響可以忽略，這也進(jìn)一步證明本文針對箱梁截面開、閉口部分采取不同翹曲參數(shù)是可行的。

圖4 簡支箱梁跨中截面翹曲正應(yīng)力隨懸臂板寬度變化曲線Fig. 4 Correlations between the warping normal stresses at mid-span and the width of the cantilever slab of a simply- supported box girder

Umanskii 第二理論既能運用平衡關(guān)系(簡稱為U-I 類方法)，也可由剪應(yīng)變及彈性本構(gòu)關(guān)系(簡稱為U-II 類方法)計算剪應(yīng)力。如圖5(a)所示采用U-I 類方法計算箱梁頂板⑦號點剪應(yīng)力是依據(jù)文獻(xiàn)[5, 8, 18]給出的公式。從圖5(a)中可以看出，U-I 類方法由于忽略箱梁懸臂板翹曲而產(chǎn)生的閉口周邊附加剪流，將影響閉口周邊翹曲剪流精度，導(dǎo)致⑦號點剪應(yīng)力隨著懸臂板寬的增加偏離準(zhǔn)確解。U-II 類方法的精度有所改善，原因是并未考慮懸臂板剪流對閉口剪流分布的影響，其實質(zhì)是計算箱梁板件平均剪應(yīng)力。一維梁元及Beam-189 單元模型計算⑦號點剪應(yīng)力則考慮閉口周邊受力平衡和開、閉口公共節(jié)點(⑤號點)剪流連續(xù)性條件。Beam-189 單元模型因忽略閉口約束效應(yīng)產(chǎn)生的附加剪流，算得的剪應(yīng)力均減小30%。一維梁元與Shell-63 單元模型結(jié)果吻合良好。此外，閉口周邊⑦號點剪應(yīng)力對箱梁懸臂板寬度變化不敏感，這是因為決定截面抗扭剛度的閉口周邊扭轉(zhuǎn)與翹曲特征未發(fā)生變化。

圖5 簡支箱梁端截面(x=30)剪應(yīng)力隨懸臂板寬度變化曲線Fig. 5 Correlations between the shear stresses at the right end and the width of the cantilever slab of a simply-supported box girder

由于本文提出的一維梁元及Beam-189 單元模型均基于懸臂板中面剪應(yīng)變?yōu)榱愕募俣ㄓ嬎懵N曲變形，故懸臂板約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力只能通過平衡關(guān)系而求得。如圖5(b)所示，一維梁元與Shell-63單元模型結(jié)果基本吻合，U-II 類方法由于受懸臂板附加剪流影響(算得的懸臂板自由端剪應(yīng)力不為零)，剪應(yīng)力結(jié)果已偏離準(zhǔn)確解，只有當(dāng)懸臂板寬較大時(附加剪流影響減小)，才能靠近準(zhǔn)確解。采用U-I 類方法，剪應(yīng)力精度有了明顯提升，但當(dāng)懸臂板寬增大時，附加剪流引起的附加翹曲導(dǎo)致剪應(yīng)力結(jié)果偏離準(zhǔn)確解。Beam-189 單元模型算得的⑧號點剪應(yīng)力在不同懸臂板寬條件下均大于Shell-63 單元模型結(jié)果，這是因為其忽略閉口周邊附加剪切變形，降低截面自由扭轉(zhuǎn)力矩，從而增大約束扭轉(zhuǎn)力矩，導(dǎo)致約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力結(jié)果偏大。

接下來考慮箱梁高度變化對應(yīng)力的影響。假定箱梁懸臂板及頂板寬度與算例4.2 一致。為了避免閉口周邊寬高比過大或過小帶來畸變效應(yīng)，影響Shell-63 單元模型約束扭轉(zhuǎn)分析精度?在板殼元模型內(nèi)部等間距設(shè)置橫隔板。圖6 給出箱梁跨中截面典型節(jié)點(④、⑤和⑥點)翹曲正應(yīng)力隨梁高的變化曲線?？梢钥闯龈髂Ｐ?方法計算的截面正應(yīng)力在不同梁高條件下均吻合良好，說明本文一維梁元和Umanskii 第二理論能準(zhǔn)確地描述不同梁高條件下箱梁板件翹曲特征。前文已指出，當(dāng)箱梁懸臂板較寬(b2>2.4 m)時，閉口周邊約束效應(yīng)已減弱，即便梁高增加后(扭轉(zhuǎn)和抗翹剛度增加)，由于箱梁腹板難以產(chǎn)生彎翹(板件面內(nèi)剛度增加)，閉口周邊約束效應(yīng)無法顯現(xiàn)，Beam-189 單元模型結(jié)果充分接近準(zhǔn)確解。同時，這也解釋了梁高增加后，閉口周邊翹曲位移及正應(yīng)力可以忽略(如圖6(a)和圖6(b)所示)。

圖6 簡支箱梁跨中截面翹曲正應(yīng)力隨梁高變化曲線Fig. 6 Correlations between the warping normal stresses at mid-span and the height of a simply-supported box girder

箱梁頂板⑦號點剪應(yīng)力隨梁高變化規(guī)律如圖7(a)所示。與變化箱梁懸臂板寬度的情形類似，Beam-189 單元模型結(jié)果因忽略閉口約束效應(yīng)產(chǎn)生的附加剪流，算得的剪應(yīng)力偏小。當(dāng)梁高增加后，由于閉口周邊約束效應(yīng)減弱，剪應(yīng)力計算精度明顯提高。對于U-I 類方法，當(dāng)梁高較小時，附加剪流將引起剪應(yīng)力計算誤差。隨著梁高增加，因封閉周邊抗翹能力顯著增強，剪應(yīng)力結(jié)果趨近準(zhǔn)確解。U-II 類方法因未考慮懸臂板剪流對閉口周邊剪流分布的影響，相比U-I 類方法精度有所改善。

圖7 簡支箱梁端截面(x=30)剪應(yīng)力隨梁高變化曲線Fig. 7 Correlations between the shear stresses at the right end and the height of a simply-supported box girder

箱梁懸臂板⑧號點剪應(yīng)力隨梁高變化曲線如圖7(b)所示。本文一維梁元與Shell-63 單元模型結(jié)果在梁高h(yuǎn)<2.5 m 時吻合良好。隨著梁高增加，因閉口周邊翹曲迅速減小，懸臂板受力趨向平面應(yīng)力狀態(tài)，一維梁元精度有所降低。U-I 類方法因受懸臂板附加剪流的影響，在梁高較小時偏離準(zhǔn)確解，隨著梁高增大，附加剪流的影響不斷減弱，又趨向準(zhǔn)確解。U-II 類方法因無法反映剪應(yīng)力沿懸臂板寬變化，與準(zhǔn)確解存在明顯差別。Beam-189 單元模型計算的翹曲剪應(yīng)力顯著偏大，因其忽略閉口周邊附加剪切變形，從而增大約束扭轉(zhuǎn)力矩。當(dāng)梁高增大后，由于閉口周邊抗扭和抗翹剛度顯著增加，附加剪切變形減小，剪應(yīng)力與準(zhǔn)確解的差距隨之減小。

6 結(jié)論

本文針對開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉(zhuǎn)分析問題，假定開、閉口截面采用不同翹曲參數(shù)?？紤]開、閉口部分翹曲連續(xù)性條件和截面受力平衡，提出協(xié)調(diào)翹曲模型。依據(jù)勢能不變值原理，建立開閉口混合薄壁截面桿件約束扭轉(zhuǎn)分析的一維有限元列式。通過算例分析，論證本文提出的一維梁元具有較高精度。隨后開展了不同懸臂板寬和梁高條件下薄壁箱梁截面應(yīng)力精度分析，對一維梁元、Umanskii 第二理論、Beam-189 單元模型和Shell-63 單元模型性能進(jìn)行了比較。本文提出的基于協(xié)調(diào)翹曲場一維梁元具有如下特點：

(1) 與Beam-189 單元模型相比，可以考慮閉口周邊對截面翹曲的約束效應(yīng)，提高箱梁截面正應(yīng)力與剪應(yīng)力計算精度。

(2) 與Umanskii 第二理論相比，可以滿足開口部分自由端剪應(yīng)力為零的條件，消除懸臂板和閉口周邊“虛擬”附加剪流的影響，提高截面剪應(yīng)力計算精度。