內(nèi)潮致拉格朗日余流的數(shù)值研究*

陳香伊，毛新燕，江文勝

(中國海洋大學(xué) 1.海洋與大氣學(xué)院；2.海洋環(huán)境與生態(tài)教育部重點實驗室，山東 青島 266100)

內(nèi)潮是發(fā)生在分層流體中的具有潮汐頻率的波動，是內(nèi)波的一種。當(dāng)層化的海水在正壓潮的驅(qū)動下流過劇烈變化的地形時，由于流動與地形的相互作用在海水中產(chǎn)生持續(xù)的周期性擾動，該擾動向外傳播最終形成內(nèi)潮[1-3]。對內(nèi)潮的研究大多集中于其生成、傳播、破碎、能量轉(zhuǎn)化和混合等方面[4-6]，但也有少數(shù)研究是針對內(nèi)潮產(chǎn)生的非周期性流動即余流開展的，以此研究它所產(chǎn)生的物質(zhì)輸運。

在海洋中人們很早就注意到，從非線性波動中得到平均流動不是一個簡單的事情。在水體及物質(zhì)的凈輸運研究中，Longuet-Higgins[7]定義了非線性波動的物質(zhì)輸運速度，即對水微團(tuán)追蹤一個周期得到凈位移后再除以周期，這是一種非常自然的處理方式，稱為拉格朗日時均方法。但是在研究淺海潮致余流時，還有另一種濾掉周期信號的方法，即在定點處對一個周期內(nèi)的潮流流速取平均[8]，稱為歐拉時均。用這兩種時均方法得到的平均流動分別被稱為拉格朗日余流和歐拉余流。Zimmerman[9]試圖闡明潮致拉格朗日余流和歐拉余流之間的關(guān)系，而Feng[10]及其以后的系列研究不僅證明了在對流弱非線性下，物質(zhì)輸運速度是潮致拉格朗日余流的低階近似，可以用歐拉余流與斯托克斯漂流速度的和表示，也證明了拉格朗日余流比歐拉余流更適合描述淺海環(huán)流及物質(zhì)輸運。但是由于歐拉余流在計算時的便利性，直至目前在淺海輸運研究中仍有較普遍的應(yīng)用。

在研究內(nèi)波致余流時，也有類似的認(rèn)識過程。Bretherton[11]研究內(nèi)波導(dǎo)致的平均流時，使用的是歐拉時均。Grimshaw[12]則推導(dǎo)出內(nèi)波致拉格朗日余流的控制方程組，并給出了斯托克斯漂流的計算方法，進(jìn)而可以得到歐拉余流，但人們并不清楚這兩者物理意義上的不同。其后，就像在潮致余流的研究中一樣，這兩個概念也是并行使用的。比如，Bordes等[13]通過水槽實驗發(fā)現(xiàn)內(nèi)重力波能造成強的水平余流，他們使用的就是對定點流速時間序列進(jìn)行濾波的方法。Grisouard和Bühler[14]則在一個模型海域研究了內(nèi)潮致拉格朗日余流的特征。Fan等[15]使用歐拉余流的概念研究了重力-慣性內(nèi)波導(dǎo)致的平均流，并與實驗室的結(jié)果進(jìn)行了比較。

內(nèi)潮余流是內(nèi)波致余流在內(nèi)潮情況下的一種特殊表現(xiàn)。Pindea[16]發(fā)現(xiàn)內(nèi)潮涌可以引起物質(zhì)輸運；Maas和Zimmerman[17]發(fā)現(xiàn)內(nèi)潮之間或內(nèi)潮與正壓潮之間的相互作用會產(chǎn)生余流，并給出小振幅地形下的余流結(jié)構(gòu)；Chen和Beardsley[18]運用數(shù)值計算的方法將其拓展到了有限振幅條件下，也可以得到相似的余流結(jié)構(gòu)；Lahaye等[19]在研究北大西洋洋中脊裂谷處深層流時發(fā)現(xiàn)內(nèi)潮對平均流結(jié)構(gòu)有著重要影響。

研究內(nèi)潮余流有助于加深人們對內(nèi)潮物質(zhì)輸運作用的理解，上述研究證明了內(nèi)潮會導(dǎo)致余流的產(chǎn)生，且不同條件下的余流結(jié)構(gòu)會有所不同。但使用不同的定義來研究內(nèi)潮致余流，究竟會有何不同的結(jié)果，此前并沒有人進(jìn)行過對比研究，這是本文研究的主題。本文運用MITgcm數(shù)值模式，在包含單海脊地形的模式海域，計算了內(nèi)潮致拉格朗日余流，與得到的歐拉余流進(jìn)行比較，分析兩者的差異，并給出不同地形、正壓潮條件下的內(nèi)潮致拉格朗日余流特征。

1 研究方法

1.1 內(nèi)潮致拉格朗日余流及歐拉余流的定義

本文在計算內(nèi)潮致余流時采用兩種時均方式進(jìn)行濾潮，分別得到了內(nèi)潮致拉格朗日余流和歐拉余流。

拉格朗日余流uLR是指流體微團(tuán)的流速在n個潮周期后的隨體平均，即n個潮周期后流體微團(tuán)的凈位移除以所用的時間[9]：

(1)

歐拉余流uE是指定點處的瞬時流速在n個潮周期內(nèi)的平均值[8]：

(2)

盡管歐拉余流在計算時有其便利性，但已有研究表明，拉格朗日余流在一階近似下是物質(zhì)輸運速度[20]，而歐拉余流則與物質(zhì)輸運速度之間則相差一個斯托克斯漂流速度[21]。因此本文將以拉格朗日余流為主要研究對象，同時也對拉格朗日余流與歐拉余流進(jìn)行比較分析。

1.2 計算方法介紹

本文使用的模式是MIT General Circulation Model(MITgcm)[22]，它是一個大氣海洋通用模式，利用有限體積法求解流體力學(xué)方程，具有非靜力近似計算的能力，因此可以模擬多種尺度的運動[23-25]。模式在底地形處采用“半網(wǎng)格”技術(shù)，能夠準(zhǔn)確刻畫地形，適合用于內(nèi)潮的模擬[26-28]。

在模式計算得到瞬時流場后，首先利用定點時均得到歐拉余流，其次利用軌跡追蹤方法[29]計算拉格朗日余流，即追蹤質(zhì)點在運動n個潮周期后的凈位移，然后除以運動時間nT。具體步驟如下：

水質(zhì)點的軌跡方程為：

(3)

在Cartesian坐標(biāo)系下，ξ=ξ(x,y,z)代表質(zhì)點位移；u=u(x,y,z)=(u,v,w)代表質(zhì)點的瞬時速度；t代表時間。

可以分別從x、y和z方向計算，下面以x方向為例追蹤：

(4)

設(shè)某一網(wǎng)格中，東、西兩側(cè)面上的流速分別為uw、ue，則此網(wǎng)格中的某點流速u(x,y,z,t)通過線性插值得到：

u(x,y,z,t)=uw+x?u/?x。

(5)

(6)

將式(5)代入并化簡得到

(7)

因此，水質(zhì)點在經(jīng)過一個時間步長Δt后的位移為Δx=x2-x1。若在時間Δt內(nèi)水質(zhì)點碰到網(wǎng)格的邊界，則此追蹤過程將分成多步完成：水質(zhì)點在遇到網(wǎng)格邊界時進(jìn)入下一個網(wǎng)格，并在剩余時間Δtrest內(nèi)在新網(wǎng)格內(nèi)繼續(xù)運動。設(shè)水質(zhì)點運動到網(wǎng)格邊界所用的時間為Δt1，則Δtrest=Δt-Δt1，Δx1為質(zhì)點碰到網(wǎng)格邊界之前的運動距離，則

(8)

如果運動再次碰到網(wǎng)格邊界，則重復(fù)上面的步驟，直到Δtrest=0。

在計算拉格朗日余流時，取t0和t0+nT時刻的水質(zhì)點位置數(shù)據(jù)，就可求得質(zhì)點在運動n個潮周期后的凈位移，進(jìn)而計算出該方向的余流分量，其余方向的余流分量可采用相同的方法得到。

1.3 模式配置

模擬區(qū)域設(shè)置為二維x-z區(qū)域，選用Arakawa C網(wǎng)格，水平分辨率為500 m，垂向均勻分層，分辨率為10 m，網(wǎng)格數(shù)為600×450，水平尺度為300 km，最大水深為4 500 m。時間步長取為12 s，采用靜力近似計算?？剖蠀⒘縡=5.131 1×10-5rad/s，不考慮底摩擦。水平和垂向湍黏性系數(shù)分別為1和0.1 m2/s，取值與Legg和Huijts[30]相同，較大的湍黏性系數(shù)用于消除網(wǎng)格尺度噪音信號。取鹽度為常數(shù)，僅讓溫度隨深度線性變化，浮力頻率為常數(shù)N=8×10-4rad/s。溫鹽擴(kuò)散系數(shù)為0，確保在沒有流動的情況下，背景層結(jié)穩(wěn)定。

假設(shè)x軸為靜止海面，z軸為西邊界處，兩者交點為坐標(biāo)原點。海脊地形采用高斯分布：

其中:d(x)為x處的水深，H=4 500 m，為最大水深；h0表示海脊高度；L表示其寬度；x0=150 km，為海脊頂部的x坐標(biāo)，即海脊在模擬區(qū)域的中間位置。東西兩側(cè)均為開邊界。在東邊界施加M2分潮流速強迫，頻率為ωM2=1.405×10-4rad/s，振幅依據(jù)不同算例而設(shè)置，具體內(nèi)容見下節(jié)。西邊界采用海綿邊界條件，寬度為40 km。模式在運行2天左右就可達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在計算第7天后開始追蹤，追蹤時間長度為一個M2潮周期，時間步長為216 s，得到拉格朗日余流，并在該時間段中進(jìn)行定點時均得到歐拉余流。

1.4 算例設(shè)置

為分析內(nèi)潮致余流隨地形及外強迫變化的規(guī)律，在基準(zhǔn)算例(Control run)之外，另設(shè)置了四組算例，分別為海脊寬度(Width)、高度(Hight)、正壓潮流速(Velocity)和高度-正壓潮流速組合(Hight3-Velocity)，每組包含3個算例(見表1)。算例中各參數(shù)的選擇參照鄔麗丹[27]在研究南海內(nèi)潮時統(tǒng)計得到的數(shù)據(jù)。Height3_Velocity組是在高窄海脊地形Height3算例的基礎(chǔ)上將正壓潮流速變大的一組算例，目的是觀察較強非線性下余流結(jié)構(gòu)的變化。

表1 算例參數(shù)設(shè)置Table 1 The configuration of parametersin different cases

2 結(jié)果

2.1 內(nèi)潮結(jié)果

以基準(zhǔn)算例為例驗證內(nèi)潮結(jié)果，圖1(a)為區(qū)域中x= 100 km處的溫度垂向分布時間序列，將1 700～2 000 m深度放大(見圖1(b))，從模式啟動到計算至第7天，可以看到計算2天后溫度起伏穩(wěn)定，振動幅度約為十幾米，溫度變化周期與M2分潮相同。圖2為模擬第7天的水平斜壓流速場，呈現(xiàn)出高模態(tài)內(nèi)潮結(jié)構(gòu)，存在波射線，從海脊附近激發(fā)產(chǎn)生向東、西兩方向傳播，遇到海面和海底時，波射線反射。斜壓流場是潮流去掉垂向平均的正壓潮后得到的，其量值相對較小，平均值為1.02 cm/s，最大值為2.61 cm/s，集中于波射線處。由于強迫施加于東邊界處，正壓潮自東向西流經(jīng)變化的地形時，在海脊東側(cè)為爬坡過程，海脊西側(cè)為下坡過程，下坡時深度逐漸加深，產(chǎn)生的內(nèi)潮更強，因此海脊兩側(cè)內(nèi)潮強度有所不同。

圖1 基準(zhǔn)算例溫度垂向分布時間序列Fig.1 Time series of temperature profile for the control run

圖2 基準(zhǔn)算例瞬時水平斜壓流速分布(第7天)Fig.2 Distributionof horizontal component of baroclinic velocityin the 7th day from the control run

2.2 內(nèi)潮致拉格朗日余流

內(nèi)潮致拉格朗日余流結(jié)果如圖3(a)所示，拉格朗日余流與內(nèi)潮結(jié)構(gòu)(見圖2)相對應(yīng)，主要沿波射線分布。余流從海脊頂部附近產(chǎn)生向東、西兩個方向流動，余流的水平分量平均值為2.97× 10-3cm/s，垂向分量平均值為3.08× 10-4cm/s，余流以水平分量為主?？紤]到垂向分量在內(nèi)潮運動中的重要性，本文將垂向分量同地形水深一起擴(kuò)大了30倍，故圖3(a)所示流場體現(xiàn)沿波射線運動的特征。對于余流量值而言，可發(fā)現(xiàn)波射線位置處的余流較大，遠(yuǎn)離波射線的區(qū)域余流值很小。Lamb[33]在討論內(nèi)波引起的物質(zhì)輸運時曾指出輸運與海洋分層和垂向位置有關(guān)，上述內(nèi)潮致余流的沿波射線分布也會產(chǎn)生類似的輸運效果。

此外，在海脊附近余流量值的波射線結(jié)構(gòu)十分清晰，開邊界附近余流減弱，且水平分量在垂向上發(fā)生多次東西轉(zhuǎn)向。

為患者提供顯微手術(shù)的時候,應(yīng)該要對患者的腦組織進(jìn)行保護(hù),使用電凝的功率要盡量小,防止患者的周圍神經(jīng)組織被灼傷。并且對瘤體切割的時候,要進(jìn)行止血操作,使用沖水的方式來進(jìn)行降溫,降低腦組織附近受到的影響,避免對患者的生活帶來影響。

內(nèi)潮致拉格朗日余流與斜壓流相比，平均值之比為0.003，但是余流最大值為2.76× 10-2cm/s，比平均值大一個量級，其與最大斜壓流的比值為0.011，在實際海洋中，以南海為例，若斜壓流速為0.1 m/s的量級[34]，則余流較大處可達(dá)1 mm/s，一個周期內(nèi)質(zhì)點的凈位移也有十幾至幾十米，對于物質(zhì)輸運的作用不可小覷。

(背景顏色代表余流的水平分量，紅色箭頭表示余流的方向。The background color represents the horizontal component of the residual velocity;The red arrow indicates the direction.)圖3 拉格朗日余流場Fig.3 Lagarangian residual velocity (LRV) field

計算相同條件下的正壓潮致拉格朗日余流(見圖3(b))，發(fā)現(xiàn)除了在海脊附近的一些流動外，整場的拉格朗日余流非常小，內(nèi)潮致拉格朗日余流與正壓潮致余流水平分量的平均值之比為23.70，因此模擬所得拉格朗日余流確實是由內(nèi)潮非線性效應(yīng)產(chǎn)生的。殷鵬等[35]在正壓潮和內(nèi)潮情況下分別進(jìn)行了粒子追蹤，也發(fā)現(xiàn)內(nèi)潮會引起更強的輸運效應(yīng)。

3 討論

3.1 兩種內(nèi)潮致余流的對比

內(nèi)潮致歐拉余流結(jié)果如圖4所示，也以水平流動為主，余流較大值出現(xiàn)在海脊附近和海面與海底層波射線的位置，其平均值為2.43× 10-3cm/s，最大值為5.75× 10-2cm/s，與拉格朗日余流量值相當(dāng)。兩種余流的最大區(qū)別在于海脊附近的流動方向相反，歐拉余流為向海脊輻聚，而拉格朗日余流為輻散。Lucas等[36]的研究表明，南加州灣陸架海域初級生產(chǎn)力的提高與內(nèi)潮驅(qū)動的營養(yǎng)物質(zhì)自深海向岸的水平輸運有關(guān)，Moore和Lien[37]發(fā)現(xiàn)鯨群會隨著內(nèi)波傳播的方向游動以尋找食物，這都表現(xiàn)出了內(nèi)潮導(dǎo)致的從生成區(qū)向岸輸運的特性。模擬所得內(nèi)潮致拉格朗日余流自海脊附近向兩側(cè)輻散的特征，有利于營養(yǎng)物質(zhì)的向岸輸運。

圖4 同圖3(a)，內(nèi)潮致歐拉余流分布Fig.4 Same as Fig.3(a),but the Eulerian residual velocity induced by internal tide

Feng[10]通過推導(dǎo)得到拉格朗日余流滿足物質(zhì)面守恒這一結(jié)論，并且可以將物質(zhì)面看作流場中的任一守恒量的等值面。內(nèi)潮發(fā)生時流體內(nèi)部有密度分層，等密面(本文中則為等溫面)可被視為一種物質(zhì)面。在拉格朗日余流的定義下，任取一水質(zhì)點，其在一個周期內(nèi)的溫度隨時間變化很小(見圖5)，可理解為在拉格朗日余流計算中，追蹤的水質(zhì)點不離開物質(zhì)面，即內(nèi)潮致拉格朗日余流滿足物質(zhì)面守恒原理。而以歐拉余流的定義，即固定點的溫度，則呈現(xiàn)出很強的周期性變化，顯然通過該空間點的水質(zhì)點不在一個等溫面上，即在一個周期內(nèi)不能保證在同一個物質(zhì)面上，因此歐拉余流不滿足物質(zhì)面守恒。

圖5 初始位置x=145 km，z=-1 150 m的水質(zhì)點溫度的隨體時間變化(藍(lán)線)和定點時間變化(紅線)Fig.5 Time series of temperaturealong with the water parcelof initial position x=145 km,z=-1 150 m (blue lines) and at the fixed point of the same position(red lines)

3.2 不同條件下內(nèi)潮致拉格朗日余流的特征

下文將利用幾組敏感性實驗，討論地形及正壓潮流速對余流結(jié)構(gòu)的影響。

3.2.1 海脊寬度對內(nèi)潮余流的影響 當(dāng)海脊高度和正壓潮流速不變，寬度逐漸增加時(算例Width1～Width3)，ε變小，導(dǎo)致內(nèi)潮結(jié)構(gòu)由高模態(tài)向低模態(tài)轉(zhuǎn)變(見圖6)：波射線消失，變?yōu)榱魉偕舷路聪虻牡谝荒B(tài)結(jié)構(gòu)，斜壓流速也逐漸變小。這些變化與鄔麗丹[27]所得結(jié)論相同，且下文中內(nèi)潮結(jié)構(gòu)隨各參數(shù)的變化均與前人一致。圖7為相應(yīng)的拉格朗日余流結(jié)果，同樣地，隨著海脊寬度增加，射線結(jié)構(gòu)消失，余流結(jié)構(gòu)混亂，余流值逐漸減小。海脊頂附近余流明顯減弱，而開邊界附近的余流較強，水平分量在垂向上發(fā)生多次轉(zhuǎn)向。可見，余流沿波射線分布的結(jié)構(gòu)特征主要與高模態(tài)內(nèi)潮有關(guān)。

圖6 隨海脊寬度變化的斜壓流水平分量場Fig.6 Horizontal component of baroclinic velocity field

(背景顏色代表余流的水平分量，紅色箭頭表示余流的方向。The background color represents the horizontal component and the red arrow indicates the direction.)圖7 同圖6，內(nèi)潮致拉格朗日余流Fig.7 Same as Fig.6,but the LRV induced by internal tide

3.2.2 海脊高度 當(dāng)海脊高度逐漸增加時(算例Height1-Height3)，內(nèi)潮結(jié)果變化不大，保持為波射線結(jié)構(gòu)(圖略)。拉格朗日余流流速逐漸變大，依然有從海脊頂部附近向東、西兩方向的流動(見圖8)。由于波射線斜率s僅與內(nèi)潮頻率ω和分層強弱N有關(guān)，因此當(dāng)?shù)匦胃叨茸兏邥r，波射線角度不變。但在海脊附近產(chǎn)生的余流逐漸變?yōu)橄蛩膫€方向的流動(Height3)，除了向海面方向的兩支流動外，還產(chǎn)生向海底方向緊貼著海脊斜坡的流動，這可能是由于海脊高度變高使得向海底方向的流動有了發(fā)展空間，最終在海脊附近可見兩支平行的余流射線。余流在海脊附近的流動較強，在向東、西兩側(cè)流動過程中，余流減弱變快，因此只在海脊附近可見清晰的沿波射線分布特征。

圖8 同圖7，隨海脊高度變化的內(nèi)潮致拉格朗日余流Fig.8 Same as Fig.7.but the LRV induced by internal tide with variation of ridge height

圖9 同圖7，隨正壓潮流速變化的內(nèi)潮致拉格朗日余流Fig.9 Same as Fig.7.but the LRV induced by internal tide with variation of barotropic velocity

在高窄地形-正壓潮流算例(Height3-velocity)中，觀察正壓潮流速變化的影響，發(fā)現(xiàn)正壓潮流速變大會使非線性效應(yīng)加強，α增大，波射線結(jié)構(gòu)出現(xiàn)混亂(見圖10)。但從余流結(jié)果(見圖11)上來看，余流依然保持原有的特征，即海脊附近余流沿波射線分布明顯，在向外流動過程中余流減弱。海脊附近平行的余流射線間的距離隨著正壓潮流速的增加而減小，最終合為一支從海脊頂部產(chǎn)生的流動(Height3_Velocity3)。

(背景顏色代表余流的水平分量，紅色箭頭表示余流的方向。The background color represents the horizontal component and the red arrow indicates the direction.)圖11 同圖10，內(nèi)潮致拉格朗日余流Fig.11 Same as Fig.10,but the LRV induced by internal tide

4 結(jié)語

本文利用MITgcm模式，計算單海脊地形下的內(nèi)潮致拉格朗日余流和歐拉余流，比較二者之間的差異，并討論了地形、正壓潮流速等參數(shù)對余流結(jié)構(gòu)的影響。

內(nèi)潮致拉格朗日余流與內(nèi)潮結(jié)構(gòu)相對應(yīng)，主要沿內(nèi)潮波射線分布。余流從海脊附近，向東、西兩方向流動，余流較大值集中于波射線位置處。正壓潮致拉格朗日余流比內(nèi)潮致余流小至少1個量級，證明了余流是由內(nèi)潮作用產(chǎn)生的。

與歐拉余流相比，拉格朗日余流在海脊附近呈現(xiàn)輻散的特征，而歐拉余流表現(xiàn)為輻聚特征。拉格朗日余流的輻散特性可以更好的解釋內(nèi)潮引起的物質(zhì)向岸輸運，并且拉格朗日余流可以證明其滿足物質(zhì)面守恒條件。

地形、正壓潮流速等參數(shù)的改變會引起拉格朗日余流結(jié)構(gòu)的變化。當(dāng)海脊變寬時，余流隨內(nèi)潮波射線結(jié)構(gòu)的消失而變得很小且混亂；當(dāng)海脊變高時，海脊附近逐漸產(chǎn)生向海底方向的流動，與海面反射的余流形成平行的射線，余流整體增強，海脊附近的余流在向外流動過程中增幅減??；當(dāng)正壓潮流速增大時，余流結(jié)構(gòu)基本不變，但在高窄海脊地形下海脊附近的平行射線會逐漸合為一支從海脊頂部產(chǎn)生的流動。

總之，內(nèi)潮致拉格朗日余流結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性，且與內(nèi)潮流速結(jié)構(gòu)有很好的對應(yīng)關(guān)系，因此內(nèi)潮致物質(zhì)凈輸運，對于海洋內(nèi)部的水文、生態(tài)要素等分布會產(chǎn)生一定的影響。本文研究只是一個初步探討，對于內(nèi)潮致物質(zhì)輸運作用在實際海洋中的應(yīng)用仍需更多深入的研究。