精心設計問題導學 促進數(shù)學深度學習

■湯忠芳

數(shù)學復習課是圍繞一個核心知識點，通過問題設計，將相近或關聯(lián)的知識進行類比和整合、拓展與延伸，以再現(xiàn)、整理、歸納等方式，將教學內容一步步地逐層深入，使之條理化、系統(tǒng)化，以便學生加深對知識的理解和應用。問題的選擇和優(yōu)化，是提升復習課教學效率的根本所在。為避免一些簡單知識的機械重復，問題的選擇應具有聚合性、深刻性和全面性；問題的優(yōu)化應注重知識和能力的提升。教師應精心設計問題導學，關注師生間的交流生成，通過師生促進和生生促進，促使學生深度學習，從根本上提高數(shù)學復習課的實效，提升學生的數(shù)學學習力。

一、課堂教學的基石——“數(shù)學模型”的選擇與構建

“數(shù)學模型”就是把數(shù)學問題抽絲剝繭，形成的一種能夠推而廣之的結構。數(shù)學建模就像搭建一座高樓，從學生的感受上講是一個心理過程，從形式上講是一個創(chuàng)造性的思維活動；數(shù)學建模不是做題，更不是題目的簡單堆積，而應該是“一種活動”的升華。

在“用一元二次方程解決問題”的教學中，有這么一道經(jīng)典例題（增長率問題）：某鋼鐵廠去年1 月某種鋼的產(chǎn)量為5000 噸，3 月上升到7200 噸，這兩個月平均每個月鋼產(chǎn)量增長的百分率是多少？這類問題可以總結為：若原來的量為a，平均增長率是x，增長后的量為b，則第1 次增長后的量是a（1+x）=b1，第 2 次增長后的量是 a（1+x）2=b2……第 n 次增長后的量是 a（1+x）n=b。增長率問題的模型就是 a（1±x）n=b（其中 a 是原來的量，b是現(xiàn)在的量，增長取+，降低取-，n表示次數(shù)）。結合復習課教學實際，尤其是解決幾何問題時，教師可引導學生適時采用以下方式：（1）有則組之——根據(jù)題目條件特征，看題中信息是否有關聯(lián)，若有，把它們組合聯(lián)系構成完整數(shù)學模型；（2）缺則補之——若題目中沒有現(xiàn)有模型，可以添補所缺元素構造完整數(shù)學模型（輔助線的構造）；（3）無則變之——若題中信息孤立，看不出與之相關的模型，則觀察題中是否存在某種變換關系，通過內在聯(lián)系構建數(shù)學模型，幫助學生實現(xiàn)知識的“再發(fā)現(xiàn)”“再探索”“再生成”和“再應用”。

二、教學深度的體現(xiàn)——習題選擇的變式與拓展

復習課的深度體現(xiàn)在習題的選擇上。習題既要發(fā)散變化，拓展聯(lián)系；又要能深入本質，整合歸一。復習課例題的選擇，應是最有代表性和最能說明問題的典型習題。教師要善于從例題這個單一知識點向多個知識點發(fā)散，發(fā)揮例題以點代面的作用，有意識地在例題基礎上進行系列的變式，通過挖掘問題的內涵與外延，達到在變化中尋找規(guī)律，在變式中內化知識的目的，實現(xiàn)復習的知識從量到質的轉變。

如在復習“相似三角形”時，可選例題如下：等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P為BC的中點，小明拿著含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點P上，且繞P旋轉。（1）如圖1，當三角板的兩邊分別與AB、AC交于E、F點時，試說明△BPE∽△CFP；（2）將三角板繞點P旋轉到圖2，∠P的兩邊分別交BA的延長線和邊AC于點E、F。探究1，△BPE與△CFP還相似嗎？探究2，連接EF，△BPE與△EFP是否相似？請說明理由。

變式：等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點，小明拿著含30°角的透明三角板，使 30°角的頂點落在點P上，且繞P旋轉。（1）如圖3，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，試說明△BPE∽△CFP；（2）操作，將三角板繞點P旋轉到圖4情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F。探究 1，連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；探究 2，設EF=m，△EPF的面積為S，試用含m的代數(shù)式表示S。

本例題通過對基本圖形的變換，加強學生讀圖能力的培養(yǎng)，讓學生深化對此類問題的理解。教師在復習課選擇習題時，要結合學生實際，豐富復習課習題訓練的形式，通過開放性的問題，選擇能夠適應和提升不同階段學生層次的數(shù)學練習，進行分類討論，發(fā)展思維能力，實現(xiàn)學生能力的整體提升。

三、知識生成的啟迪——“問題串”的設計與優(yōu)化

復習課的作用是將知識向縱深推進，通過“問題串”將各個知識點借助題目進行有機融合，從而將知識形成系統(tǒng)，織成一張知識結構網(wǎng)，遵循“逐步推進、螺旋上升、不斷深化”的認知規(guī)律，讓學生能站在更高的層次去重新領悟所學的知識。

以“一次函數(shù)”的基本知識復習課為例。已知函數(shù)y=（3-k）x-2k+9。問題1：若已知函數(shù)是一次函數(shù)，求k的取值范圍。問題2：若已知函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求k的取值范圍。問題3：若已知函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸上方，求k的取值范圍。問題 4：k為何值時，已知函數(shù)y隨x的增大而減小或已知函數(shù)圖像經(jīng)過一、二、四象限。問題 5：直線y1=（3-k）x-2k+9 與直線y2=3x+5 交于P（-1，a），求k的值；x為何值時，y1＜y2；求y1、y2的圖像與x軸圍成的三角形面積。通過上述5個問題，將一次函數(shù)的基本知識有機融合，學生學習的目標得以具體化，知識的構建有了層次；學生的知識面得到拓寬，思維的深刻性得到了強化；學生的自主探索能力也得到了培養(yǎng)和提高，他們充分感受到了數(shù)學之魅力。

復習課應是以問題為核心，以效率為目的的課堂?！斑m合每一個”是我們課堂追求的出發(fā)點；“發(fā)展每一個”是我們課堂生成的落腳點。如何使學生在“重基礎、會思考、強能力”的課堂教學中游刃有余，是數(shù)學復習課課堂優(yōu)化的最終目標。因此，每一位數(shù)學教師，都要結合日常的思考和平時的積累，以題帶點，以境串型，以變促能；通過有效引導，科學合理地展開教學，逐步培養(yǎng)學生自主學習和綜合探究能力，讓數(shù)學課堂煥發(fā)新的光彩