讓新知自然生長
——以“二元一次方程（組）”單元教學起始課為例

■朱華慶

【教學目標】

1.理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。

2.會用已有知識探究二元一次方程及方程組的解法。

3.感知單元知識架構(gòu)，體會問題到數(shù)學再回到問題的建模思想。

4.培養(yǎng)探究問題的習慣、能力，體會重要的數(shù)學思想。

【難點】探究方程的解；會用數(shù)學方法來探究實際問題。

【重點】類比概念、單元知識結(jié)構(gòu)來探究問題。

【教學流程】

一、復習舊知，搭建框架

師：我們剛學完了一元一次方程，都學習了哪些知識？

生：學了什么是一元一次方程。

師：也就是一元一次方程的概念。

師：一元一次方程的概念是什么？（師生互動，點出元和次的意義。）

師：學習了一元一次方程的概念后還學習了哪些知識？

生：一元一次方程的解，一元一次方程的解法，一元一次方程的應用。

這個環(huán)節(jié)重在回顧一元一次方程單元結(jié)構(gòu)，對重點知識進行喚醒，為后續(xù)學習作鋪墊。

二、類比舊知，激活新知

師：下面請同學們用所學的知識來解決實際問題（PPT 呈現(xiàn)問題）：小明到商店買文具，若買 3 支鉛筆和 2 本筆記本，需花費 7 元；若買 2 支鉛筆和4 本筆記本，需花費10 元。求鉛筆和筆記本的單價分別是多少元？

（學生用一元一次方程解決問題，教師板書規(guī)范過程。）

師：用一元一次方程解決剛才的問題，難點在哪里？

師：能否找到合適的數(shù)學方法化解這個難點？

生：直接設筆記本的單價為y元。

師：為什么？

生：這樣表示筆記本的單價更加簡單，更容易想到。

師：你還能根據(jù)等量關系列出等式嗎？

（學生經(jīng)過嘗試后，列出兩個方程，教師板書。）

師：你們認為這兩個方程應該怎么命名？為什么？

生：二元一次方程，因為它含有兩個未知數(shù)，含有未知數(shù)的項的次數(shù)是一次。

師：這就是我們今天要學習的二元一次方程。這兩種方法你們選哪一種？為什么？

生1：選第二種，容易想到，而且列方程比較簡單。

生2：我選第一種，因為第一種可以算出來，第二種不會算。

（以此為切入點，引導學生探究二元一次方程。）

師：你認為什么是二元一次方程？

生1：含有兩個未知數(shù)，含有未知數(shù)的項的次數(shù)是一次的方程就是二元一次方程。

生2：還必須是整式方程。

師：xy=1是二元一次方程嗎？

生1：是的，符合上面3個條件。

生2：不是，xy是2次。

師：xx=1是什么方程？是一元一次方程嗎？

生：不是，因為 xx=1 就是 x2=1，未知數(shù) x 是 2次了。

師：那么xy=1是二元一次方程嗎？

生：不是。

師：怎么修改？

（幫助學生提煉、完善概念；PPT 呈現(xiàn)二元一次方程辨析題。）

師：了解了二元一次方程的概念，我們下一步研究什么內(nèi)容？

生：方程的解。

師：什么是二元一次方程的解？

生：使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值。

師：你能求出二元一次方程的解嗎？說一說你怎么求的？（PPT 呈現(xiàn)：用列表找二元一次方程2x+4y=10的解。）

師：兩種方程的解有何不同之處？（PPT 呈現(xiàn)表格：一元一次方程與二元一次方程解的對比。）

通過這個環(huán)節(jié)，學生初步感知探究方程的基本思路、方法，同時，新問題的出現(xiàn)為下面活動找到了探究的切入點。

三、探究新知，感知方法

師：為什么二元一次方程的解是無數(shù)組？

生：兩個未知數(shù)，一個變化了，另一個也會發(fā)生改變。

師：我們發(fā)現(xiàn)1 個二元一次方程是無法求出唯一解的，怎么辦？

生：要兩個二元一次方程。

師：這就是即將要學習的二元一次方程組。我們可以從哪些方面探究二元一次方程組？

生：概念、方程組的解、解方程組、應用。

師：什么是二元一次方程組？

生1:含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是一次的整式方程。

生2：兩個二元一次方程構(gòu)成方程組。

（教師引導學生完善二元一次方程組的概念，通過PPT對概念加強理解。）

師：在了解了二元一次方程組的概念后，接下來探究什么？

生：二元一次方程組的解。

師：什么是二元一次方程組的解？

生：使方程成立的未知數(shù)的值。

師：使哪個方程成立的未知數(shù)的值，為什么？

生：使兩個方程都成立的未知數(shù)的值。

師：這兩個方程中，x、y值是否相等？為什么？

生：相等。因為它們代表的含義相同，x 表示鉛筆的單價，y表示筆記本的單價。

師：所以，未知數(shù)的值必須同時滿足兩個方程才是方程組的解。為了表達這兩個方程之間的關聯(lián)性，我們必須在兩個方程前面加一個大括號，方程的解也必須有大括號，因為它們是有關聯(lián)的。（教師出示PPT，讓學生用列表法找方程組的解。）

這個環(huán)節(jié)主要是了解方程組的概念，會通過列表找到方程組的解，理解方程組解的關聯(lián)性。

四、探究解法，認知本質(zhì)

師：剛才是怎么找到方程組的解的？

生：找兩個方程相同的解，就是方程組的解。

師：這種求方程組的解的方法有什么缺陷？

生：如果數(shù)據(jù)較大，或者解是小數(shù)，通過列表找解就比較困難了。

師：是否可以從數(shù)學運算的角度來探究，把方程組的解算出來？

生：可以，買3 支鉛筆和2 本筆記本，需花費7元，那么買6支鉛筆和4本筆記本就是14元，而買2 支鉛筆和4 本筆記本，需花費10 元，所以4支鉛筆就是4 元，所以鉛筆每支1 元，然后筆記本就是2元一本。

師：能否用數(shù)學符號把等式表示出來。

生：可以，將3x+2y=7表示為①式，將6x+4y=14表示為③式，將2x+4y=10表示為②式。

師：剛才的等式對你解方程組有何啟發(fā)？

（通過對三個等式的對比分析，初步了解方程組解法的本質(zhì)；教師板書解方程組的規(guī)范過程，告知學生加減消元法的由來。）

師：還有其他方法嗎？剛才我們是怎么解的？關鍵的突破在哪里？

生：③-②的時候y沒有了。

師：這時變成了什么方程？

生：一元一次方程。

生：會。

師：與2x+4y=10 對比一下，解這個二元一次方程的困難是什么？

生：因為它有兩個未知數(shù)。

師：能否把兩個未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個未知數(shù)？

生：根據(jù)題目中的數(shù)量關系可以得到。

師：能否從數(shù)學運算的角度得到？例如二元一次方程3x+2y=7有什么用？

（師生共同板書解方程組的規(guī)范過程。）

師：這個解法叫代入消元法。所以解二元一次方程組的關鍵是什么？

生：把二元化為一元。

師：怎么轉(zhuǎn)化？（進一步引導學生感知解二元一次方程組的本質(zhì)——消元。）

這個環(huán)節(jié)主要是探究二元一次方程組的解法，讓學生理解解法的本質(zhì)。

五、課堂總結(jié)，感悟提升

師：這節(jié)課同學們有哪些收獲？（PPT 呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖。）

生：知道了研究二元一次方程組的一般過程——概念，方程的解，解法，應用。

師：本節(jié)課還有哪些是你印象最深刻的地方？

生1：研究問題的方法，類比思想、轉(zhuǎn)化思想，把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

生2：二元一次方程組的解法。

師：同學們說得都很好。本節(jié)課我們通過學習整章的內(nèi)容，了解了學習二元一次方程組的必要性，也知道了研究方程的一般思路，更學到了研究數(shù)學的方法：類比，轉(zhuǎn)化，方程思想等。如果到九年級學習一元二次方程呢？甚至是三元一次方程，你會研究嗎？

（對本節(jié)課的重要的內(nèi)容、思想方法予以總結(jié)，為以后學習埋下伏筆。）

【教學反思】

李尚志教授說過，一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力，就是能利用舊知識解決新問題的能力，層次更高一點，就是利用舊知識生長新知識的能力。

通過本節(jié)課的學習，學生體會從整體認知的角度來看待問題，從類比舊知識中感知新知，在探究解法的過程中運用轉(zhuǎn)化思想，感知數(shù)學問題的本質(zhì)，從而為探究問題積累方法、經(jīng)驗。

就本節(jié)單元課而言，應該處理好如下幾個問題：

學生層面：1.學二元一次方程組的必要性（為什么學）；2.探究方程的一般思路（怎么學）；3.感知數(shù)學與問題的建模思想（有什么用）。

教師層面：明暗兩條線路推進。

1.探究的方程思路（明線）。

問題的引入（學習的必要性、興趣點）→概念的形成、理解（類比舊知激活新知）→解法的探究（探究的切入點）→解法的選擇與總結(jié)→解決問題。

2.對單元課“整體感知”的設計（暗線）。

（1）了解研究實際問題的思路：實際問題→抽象為數(shù)學問題→提煉出數(shù)學方法→實際問題。感知數(shù)學知識生長的必要性。

（2）理解探究方程的思路：概念的發(fā)現(xiàn)→概念類比→概念的提出→概念的深化，解法的提出→解法的類比→解法的猜想→解法的提煉。感知數(shù)學概念、方法生長的合理性。

當然，一節(jié)好課的標準有很多，除了課堂的設計之外，首先要更多關注學生的成長，例如對于探究的興趣和習慣的培養(yǎng)，課堂上最后對三元一次方程的提問，會帶給學生很多遐想；其次要關注學生的學情，不同的學情在上單元起始課時有較大的出入，特別是在教師引導和學生互動方面以及學生能否真正感悟到本節(jié)課的真諦，大為不同