由“箏形”引發(fā)的探究之旅

文陳 建

暑假期間，小明用5根木棒制作了如圖1 所示的模型。其中，AD的長(zhǎng)與AB的長(zhǎng)相等，BC的長(zhǎng)與DC的長(zhǎng)相等，并分別用可旋轉(zhuǎn)的螺絲連接，木棒BC與DC的連接處C可在木棒AE上滑動(dòng)。小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)C在可滑動(dòng)范圍內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，∠B與∠D的度數(shù)始終相等。這是為什么呢？小明百思不得其解。開學(xué)后小明學(xué)習(xí)“全等三角形”，突然有了靈感：這不就是全等三角形問(wèn)題嗎？

這個(gè)問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：

已知，如圖2，AB=AD，CB=CD。求證：∠B=∠D。

小明想，∠B和∠D分別在△ABC和△ADC中，只需證明這兩個(gè)三角形全等即可。而AB=AD，CB=CD，AC又是公共邊，顯然可用“SSS”證明全等。

小明又琢磨，如果沒(méi)有AE這根木棒，∠B與∠D還相等嗎？他想到，要證角相等，還是要借助三角形。于是，他連接AC，居然和上面問(wèn)題完全一樣。此時(shí)，小明由此得到啟發(fā)：在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定要注意隱藏條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角，有時(shí)要學(xué)會(huì)構(gòu)造，如構(gòu)造公共邊，這是證明全等三角形時(shí)常用的一種輔助線。

這種兩組鄰邊分別相等的四邊形和風(fēng)箏的形狀相似，小明覺得這個(gè)模型非常神奇，于是他上網(wǎng)搜索。他發(fā)現(xiàn)，原來(lái)，人們把具備這種特征的四邊形稱為“箏形”?！肮~形”不僅簡(jiǎn)潔、美觀，而且還有許多性質(zhì)。

性質(zhì)1 “箏形”具有一組對(duì)角相等（∠B=∠D）。

性質(zhì)2 “箏形”的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（如圖3，∠BCA=∠DCA，∠BAC=∠DAC）。

性質(zhì)3 “箏形”的兩條對(duì)角線互相垂直，面積等于兩條對(duì)角線積的一半（如圖3，

小明發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)1、性質(zhì)2 可以通過(guò)△ABC≌△ADC得到，對(duì)于性質(zhì)3 的證明，可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)如下：

已知，如圖 3，AB=AD，CB=CD，對(duì)角線BD與AC交于點(diǎn)O，若AC=8，BD=6，求四邊形ABCD的面積。

小明想，“箏形”沒(méi)有面積計(jì)算公式，需要把“箏形”轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來(lái)求面積。對(duì)角線AC把“箏形”分割成△ABC和△ADC，那么我們便可以計(jì)算兩個(gè)三角形的面積，于是解題關(guān)鍵就是找出AC邊上的高。因?yàn)椤鰽BC≌△ADC，所以∠BCO=∠DCO。在 △BCO和△DCO中，可以利用“SAS”證明全等，所以∠BOC=∠DOC=90°，即AC⊥BD，所以

小明運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，將“箏形”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，從而得出“箏形”面積的計(jì)算方法。轉(zhuǎn)化是我們解題中常用的思想方法。其實(shí)，只要是對(duì)角線互相垂直的四邊形，其面積都等于對(duì)角線長(zhǎng)度的積的一半。

利用“箏形”的性質(zhì)，可以解決許多問(wèn)題，我們來(lái)看兩道例題。

例 1如圖 4，AB=AD，CB=CD，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE、DE，試說(shuō)明BE=DE。

【解析】只需證明△BCE與△DCE全等或證明△ABE與△ADE全等。因?yàn)椤鰽BC≌△ADC，所以∠BCE=∠DCE，所以在△BCE和△DCE中，可以利用“SAS”證明全等。

例 2如圖 5，AB=AD，CB=CD，∠BAD=100°，四邊形ABCD的外角平分線CF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求∠F。

【解析】由性質(zhì)2 可知CA平分∠BCD，又CF平分∠BCE，∠BCD和∠BCE互為鄰補(bǔ)角，所以易得∠ACF=90°，這是求∠F的關(guān)鍵。所以∠F=180°-∠ACF-∠BAC=40°。

我們?cè)诮鉀Q選擇題和填空題時(shí)，運(yùn)用“箏形”的性質(zhì)可以節(jié)省不少時(shí)間。當(dāng)然，這只能算是“小明定理”，在解答題中必須要給出證明步驟。