力電濕多物理場耦合Cell-Based光滑有限元法研究

李 明， 劉銘瑞， 周立明

(吉林大學(xué) 機械與航空航天工程學(xué)院， 吉林 長春 130025)

壓電復(fù)合材料是一種應(yīng)用較廣的智能材料，具有應(yīng)力場與電場耦合的效應(yīng)[1-4].在電子設(shè)備、生物醫(yī)療及航空航天等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[5-7].壓電復(fù)合材料在制備及應(yīng)用時常處于潮濕的環(huán)境中，材料的吸濕效應(yīng)對結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性具有重要影響.研究壓電材料在潮濕環(huán)境中的力學(xué)性能對壓電智能結(jié)構(gòu)的設(shè)計應(yīng)用至關(guān)重要.

應(yīng)用最廣泛的有限元法(finite element method, FEM)由于其依賴單元插值的特點具有很大的局限性，如精度較低、體積鎖定、對網(wǎng)格精度要求高等.光滑有限元法(smoothed finite element method, SFEM)是近年來被劉桂榮提出的一種新型數(shù)值計算方法，其將光滑應(yīng)變技術(shù)引入到傳統(tǒng)有限元法中.由于采用線性點插值來建立形函數(shù)，省略了計算形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程，極大地改善了FEM的不足，使得光滑有限元在處理不規(guī)則網(wǎng)格時具有較高的穩(wěn)定性、收斂性和精度[8].隨后SFEM得到了極大的發(fā)展，一系列SFEM被提出并應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析、電磁學(xué)、傳熱學(xué)等領(lǐng)域.Zhou等[9]采用Cell-based SFEM對復(fù)合材料梁進行了靜力學(xué)分析.Nguyen-Xuan等[10]利用Edge-based SFEM對二維壓電結(jié)構(gòu)進行了自由振動分析.Feng等[11]將Face-based SFEM用于計算復(fù)合結(jié)構(gòu)的非線性導(dǎo)熱問題.Cell-based光滑有限元(CS-FEM)處理復(fù)合材料多物理場耦合問題具有一定的優(yōu)勢.

從空氣中吸收水分的特性被稱作吸濕效應(yīng).文獻[12-13]研究了在原子尺度下外部環(huán)境對壓電復(fù)合材料性能的影響.近年來，壓電復(fù)合材料的力學(xué)特性研究取得了眾多成果.Allik等[14]應(yīng)用有限元法研究了三維壓電結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)問題.Wang[15]利用FEM對壓電雙晶片的靜態(tài)和動態(tài)性能進行了分析.Wang等[16]研究了機械及電負載下壓電材料的裂紋擴展問題.Weaver等[17]研究了高濕度環(huán)境下電極材料對壓電陶瓷導(dǎo)電率的影響.Gu等[18]研究了壓電傳感器對濕度變化的響應(yīng).

光滑有限元法在處理多物理場耦合問題時具有優(yōu)勢，且未發(fā)現(xiàn)有相關(guān)文獻采用SFEM，研究壓電材料的吸濕效應(yīng).基于此，本文提出力電濕多物理場耦合CS-FEM,研究濕度對壓電材料靜力學(xué)性能的影響.給出了壓電復(fù)合材料的本構(gòu)方程、幾何方程和平衡方程；推導(dǎo)了力電濕耦合CS-FEM靜力學(xué)控制方程；構(gòu)建了一種新型壓電俘能器模型，求解該結(jié)構(gòu)在不同濕度條件下的靜力學(xué)行為.將數(shù)值計算結(jié)果與FEM進行了對比，驗證了提出的力電濕多物理場耦合Cell-based光滑有限元法的正確性.

1 壓電復(fù)合結(jié)構(gòu)力電濕耦合Cell-based光滑有限元模型

1.1 本構(gòu)方程

壓電復(fù)合材料的本構(gòu)方程為

σ=Cζ-eE-λΔm,

(1)

D=eTζ+εE+PΔm.

(2)

式中：σ和D為應(yīng)力和電位移矩陣；ζ和E為應(yīng)變和電場強度矩陣；C，e和ε分別為彈性常數(shù)、壓電系數(shù)、介電常數(shù)矩陣；λ和P表示水分膨脹系數(shù)和濕電系數(shù)矩陣；λ=Cβ，β為濕膨脹系數(shù)矩陣；m表示濕度，即單位介質(zhì)中水蒸氣的質(zhì)量分數(shù)，Δm表示濕度變化矩陣.

幾何方程為

ζ=Luu,

(3)

E=-Φ.

(4)

式中:Lu和為微分算子矩陣;Φ為電勢矩陣.

平衡方程為

(5)

TD=0

(6)

機械場、電場和濕度場的本質(zhì)邊界條件和自然邊界條件如下所示：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Γ=Γu∪ΓT=ΓΦ∪Γq=Γm∪Γv

(13)

1.2 力電濕耦合Cell-based光滑有限元法

(14)

(15)

式中：Nu和NФ為CS-FEM形函數(shù)；ne為單元總數(shù).

光滑域內(nèi)一點xk處的應(yīng)變和電場強度為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：ΓC為光滑域ΩC的邊界；nu和nΦ為積分域的外法向向量.

(21)

(22)

(23)

(24)

其中na為單個光滑子域的邊界總數(shù).

Cell-based光滑有限元力場、電場和濕度場耦合多物理場的控制方程為

Kuuu+KuΦΦ-KumΔm=0

(25)

KuΦTu-KΦΦΦ+KΦmΔm=0

(26)

由于濕度場與力場和電場不完全耦合，故可將濕度場以載荷的形式施加，則式(25)和式(26)可改寫為

Kuuu+KuΦΦ=Fum

(27)

KuΦTu-KΦΦΦ=-FΦm

(28)

式中：Kuu，KuΦ和KΦΦ為彈性、力電耦合和介電剛度矩陣；Fum和FΦm為濕應(yīng)力和濕電載荷矩陣.

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

式中,nc為光滑子單元的總個數(shù).

2 數(shù)值實驗

2.1 壓電懸臂梁

懸臂梁由PZT-4構(gòu)成，幾何尺寸如圖1所示，沿y軸方向極化.材料參數(shù)在表1中給出.邊界條件設(shè)定為x=-15 mm處ux=0,uy=0,Φ=0，濕度變化為Δm=0.4%.結(jié)構(gòu)處于平面應(yīng)變狀態(tài)，將CS-FEM和FEM計算的x和y方向位移及電勢(廣義位移)結(jié)果進行對比.

表1 PZT-4材料參數(shù)Table 1 Piezoelectric-4 material parameters

圖2給出了懸臂梁上邊采用兩種計算方法在網(wǎng)格劃分為30×4，60×8和120×16時的廣義位移解.CS-FEM的解與傳統(tǒng)FEM的解吻合良好，由此看出該方法的正確性和有效性；隨著網(wǎng)格數(shù)量增加計算結(jié)果基本相同，由此驗證該方法的收斂性.表2給出了不同網(wǎng)格下兩種方法的計算時間，在采用相同網(wǎng)格數(shù)時兩種方法的計算時間大致相同，但隨著網(wǎng)格數(shù)的增加，CS-FEM的計算時間逐漸小于FEM，由此驗證了算法的高效性.

表2 不同單元數(shù)的FEM和CS-FEM計算時間對比Table 2 Computation time of FEM and CS-FEM in different element numbers

2.2 壓電俘能器吸濕效應(yīng)

壓電俘能器由PZT-4和鋼材組成，簡化模型見圖3.鋼的彈性模量E=2.1 GPa,泊松比υ=0.3，在x=0處ux=0，uy=0，Φ=0,網(wǎng)格大小為0.001 mm×0.001 mm,比較廣義位移在不同的水分濃度下的變化情況.圖4和圖5給出了由CS-FEM和FEM計算，濕度變化為Δm=0.4%，0.5%和0.7%的俘能器AB和BC邊的廣義位移結(jié)果圖.CS-FEM的解與FEM的解吻合良好，隨著Δm的升高廣義位移的相對變化也隨之增大，并且在結(jié)構(gòu)的自由端獲得了廣義位移的最大相對變化量.濕度變化Δm=0.7%時獲得了結(jié)構(gòu)整體的最大廣義位移值.

圖6給出了由CS-FEM計算的廣義位移云圖.從廣義位移云圖可見濕度的輕微變化引起了結(jié)構(gòu)廣義位移較大的變化，空氣中濕度的變化對智能結(jié)構(gòu)具有重要影響.

2.3 含孔壓電俘能器吸濕效應(yīng)

含孔壓電俘能器由PZT-4和鋼材組成，其幾何尺寸、材料參數(shù)及邊界條件與算例2.2相同，在PZT-4壓電材料的中心開方孔(30 mm×2 mm)，其簡化模型如圖7所示.同樣采用大小為0.001 mm×0.001 mm的網(wǎng)格.給出了廣義位移在濕度變化Δm=0.7%下的變化情況.

圖8給出了由CS-FEM和FEM計算的濕度變化為Δm=0.7%的俘能器BC邊的廣義位移.圖9給出了由CS-FEM計算，Δm=0.7%的廣義位移云圖.從圖8中可以得出與2.2節(jié)類似的結(jié)論.將圖8與圖5比較可以看出，在只受潮濕環(huán)境影響時俘能器結(jié)構(gòu)的變化對廣義位移幾乎不產(chǎn)生影響.從圖9中看出，采用濕度變化Δm=0.7%時獲得的結(jié)構(gòu)整體的最大位移及電勢與2.2節(jié)不含孔的壓電俘能器幾乎完全一致.

3 結(jié) 論

1) CS-FEM較好地解決了壓電材料受潮濕環(huán)境影響下的靜力學(xué)問題.將數(shù)值模擬結(jié)果與傳統(tǒng)FEM作對比，驗證了方法的正確性與有效性.

2) 廣義位移的最大相對變化量在結(jié)構(gòu)的自由端附近獲取.在只受潮濕環(huán)境影響時，結(jié)構(gòu)變化對廣義位移幾乎不產(chǎn)生影響.

3) 濕度變化對位移和電勢的影響較大，較小的濕度變化就會對廣義位移產(chǎn)生較大的影響.