基于Lyapunov 穩(wěn)定性的風(fēng)機(jī)速度漸近跟蹤控制

于江波劉怡彤石啊蓮

(1.山東建筑大學(xué) 理學(xué)院，山東 濟(jì)南250101；2.齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南250200)

0 引言

穩(wěn)定性是現(xiàn)代系統(tǒng)與控制科學(xué)的重要概念。 早在2000 年前，古代中國的漢朝淮南王劉安所著的《淮南子·說山訓(xùn)》中就曾指出“下輕上重，則覆必易”，這是中國古代出現(xiàn)的對穩(wěn)定性概念的最初理解[1]。 1892 年，李雅普諾夫(Lyapunov)發(fā)表了著名的博士論文《運(yùn)動穩(wěn)定性一般問題》，利用柯西關(guān)于微積分極限描述的ε - δ語言，將常微分方程解對初值的連續(xù)依賴由有限時(shí)間拓展到無窮時(shí)間區(qū)間，給出了有關(guān)穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定的科學(xué)概念，開創(chuàng)了運(yùn)動穩(wěn)定性的一般理論。 自此，李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在系統(tǒng)理論與工程應(yīng)用中起著愈來愈重要的作用[2]。

眾所周知，非線性微分方程難以求得解析解[3-5]。 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的一個(gè)強(qiáng)大功能是在不必已知方程解的情況下，通過選取李雅普諾夫函數(shù)的方法，就可以判定解的某些性能，這為人們認(rèn)識更廣泛的非線性微分方程提供了重要工具。20 世紀(jì)90 年代發(fā)展起來的反步法(Backstepping)是非線性系統(tǒng)控制理論的一個(gè)突破[2]，其將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解為不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，為每個(gè)子系統(tǒng)選取李雅普諾夫函數(shù)和虛擬控制量，按照負(fù)反饋調(diào)節(jié)方式，一直后退到整個(gè)系統(tǒng)，最后完成整個(gè)控制律的設(shè)計(jì)。 應(yīng)用反步法可以解決一大類形如下三角形式的非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)與李雅普諾夫穩(wěn)定性問題[6-10]。

文章將應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論結(jié)合反步法研究風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)的速度控制問題。 風(fēng)機(jī)是一類依靠輸入的機(jī)械能提高氣體壓力并排送氣體的機(jī)械裝置，目前已廣泛應(yīng)用于礦井、礦山、礦井、隧道、船舶和建筑物的通風(fēng)、排塵、冷卻中。 風(fēng)機(jī)關(guān)系到系統(tǒng)的輸配能耗，是建筑節(jié)能非常關(guān)鍵的部分。 針對一類由直流電動機(jī)驅(qū)動的風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)，近年來已有大量的研究。 Freeman 等[11]研究了電流可測情況下的風(fēng)機(jī)速度控制；Jiang 等[12]隨后提出了電流不可測情況下的速度控制器；Wu 等[13]進(jìn)一步在電流不可測、電感系數(shù)未知的情況下，基于黎卡提微分方程的觀測器設(shè)計(jì)了速度控制器；Wu 等[14]利用時(shí)變卡爾曼濾波器實(shí)現(xiàn)了外部擾動情況下的風(fēng)機(jī)速度控制；Yu 等[15]通過擬符號函數(shù)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了風(fēng)機(jī)速度對于任意設(shè)定速度的實(shí)用跟蹤控制。 但是上述文獻(xiàn)中針對風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的研究，都是基于理想情況下轉(zhuǎn)動負(fù)載是風(fēng)機(jī)速度的線性函數(shù)的假設(shè)，然而直流電機(jī)本身是一個(gè)非線性系統(tǒng)，且多變量、非線性、強(qiáng)耦合的控制對象，從電機(jī)電流和勵(lì)磁的非線性變化來看，運(yùn)用非線性的控制方法更加合理、準(zhǔn)確[16]。Freeman 等[11]也指出，轉(zhuǎn)動負(fù)載實(shí)際上是與風(fēng)機(jī)速度成正向增長關(guān)系的非線性函數(shù)。

因此，文章針對轉(zhuǎn)動負(fù)載是不確定的非線性函數(shù)情況，探討了風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的速度跟蹤控制問題。 應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論進(jìn)行了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，基于矩陣相似變換的方法對風(fēng)機(jī)系統(tǒng)再建模，避免了現(xiàn)有文獻(xiàn)中需要在反饋設(shè)計(jì)前進(jìn)行一個(gè)預(yù)前反饋的假設(shè)。 引入動態(tài)輔助變量對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并應(yīng)用反步法設(shè)計(jì)了速度控制器，通過Matlab 仿真軟件驗(yàn)證能否實(shí)現(xiàn)風(fēng)機(jī)速度對于任意給定的設(shè)定速度的漸近跟蹤控制并保持穩(wěn)定。

1 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義及相關(guān)結(jié)論介紹

一階時(shí)變微分方程由式(1)表示為

式中:f為關(guān)于t分段連續(xù)和x滿足局部Lipschitz 條件的非線性函數(shù)，f: [0，∞)× D→Rn，其中D為包含原點(diǎn)x =0 的定義域，D?Rn。 如果滿足式(2):

則稱原點(diǎn)是一階時(shí)變微分方程式(1)的一個(gè)平衡點(diǎn)(或零解)。

假設(shè)可微函數(shù)x = φ(t) 是微分方程式(1)的一個(gè)非零解，可利用變換y =x - φ(t) 將式(1)轉(zhuǎn)化為(t，y) 其中g(shù)(t，y)=f(t，y +φ(t))-f(t，φ(t))且g(t，0)=0，因此式(1)的非零解可轉(zhuǎn)化為微分方程(t，y) 的零解，從而要研究式(1)的解x =φ(t) 的性態(tài)，只需研究其零解的性態(tài)即可。

微分方程(組)平衡點(diǎn)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定義和李雅普諾夫穩(wěn)定性判定定理有:

定義1[3]如果對任意給定的ε＞0，存在δ＞0，使得當(dāng)任一x0∈Rn滿足‖x0‖≤δ時(shí)，方程由初值條件x(t0)=x0確定的解x(t)，對一切t≥t0均有‖x(t)‖≤ε，此時(shí)方程的零解x=0 是穩(wěn)定的，如圖1 所示。

圖1 穩(wěn)定示意圖

定義2[3]如果方程的零解是穩(wěn)定的，并且存在δ0＞0 使得當(dāng)‖x0‖＜δ0時(shí)，滿足初值條件x(t0)=x0的解x(t) 均有則此時(shí)稱零解x =0 是漸近穩(wěn)定的，如圖2 所示。

圖2 漸近穩(wěn)定示意圖

定理1[3]如果式(1)可以找到一個(gè)正定函數(shù)V(x) ，其通過式(1)的全導(dǎo)數(shù)為常負(fù)函數(shù)或者等于零，則式(1)的零解是穩(wěn)定的；

如果正定函數(shù)V(x) 通過方程組的全導(dǎo)數(shù)為定負(fù)的，則式(1)的零解是漸近穩(wěn)定的；

如果存在函數(shù)V(x) 和某一非負(fù)常數(shù)μ，且通過式(1)的全導(dǎo)數(shù)可以由式(3)表示為

當(dāng)μ =0 時(shí)，W為正定函數(shù)；當(dāng)μ≠0 時(shí)，W為常正函數(shù)或者恒等于零，并且在x =0 的任意小鄰域內(nèi)至少存在某個(gè)，使得V()＞0，則式(1)的零解是不穩(wěn)定的。

2 風(fēng)機(jī)速度漸近跟蹤控制的設(shè)計(jì)與分析

2.1 風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)模型

文章將應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論研究風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)的速度漸近跟蹤控制問題。 一類由直流電動機(jī)驅(qū)動的風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型[11]由式(4)表示為

式中:v為風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速，rad/s；y = v為系統(tǒng)的輸出，rad/s；I為電樞電流，A；u0為輸入電壓，作為系統(tǒng)的控制輸入，V；τD(v) 為不確定的轉(zhuǎn)動負(fù)載，其依賴于風(fēng)機(jī)速度；J1為轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；J2為電感系數(shù)，H；R為電阻，Ω；k1、k2為已知比例常數(shù)。

在文獻(xiàn)[11-15]中，將轉(zhuǎn)動負(fù)載τD(v) 假定為風(fēng)機(jī)速度v的線性函數(shù)并通過設(shè)計(jì)控制律使得系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。 文章在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮在τD(v)= ωv3(ω為未知常數(shù)，ω＞0)為非線性函數(shù)情況下，將電機(jī)作為轉(zhuǎn)矩源，通過反步法設(shè)計(jì)速度控制器，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速v能夠?qū)崿F(xiàn)對任意給定速度vr的漸近跟蹤控制并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 風(fēng)機(jī)速度漸近跟蹤控制器設(shè)計(jì)

式(4)可轉(zhuǎn)化為一類非線性微分方程并由式(5)表示為

對于給定的任意速度設(shè)定值vr(t) ， 定義誤差變量z1= x1- vr，通過選取連續(xù)可微的Lyapunov 函數(shù)設(shè)計(jì)速度控制器u使得誤差z1在t→∞時(shí)趨于零。

步驟1: 針對式(7)，為應(yīng)用反步法，選取α1為虛擬控制律，令誤差為z2= x2- α1。 考慮李雅普諾夫函數(shù)根據(jù)式(7)，V1的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可由式(8)表示為

因?yàn)棣匚粗?，從而θ是未知常?shù)，因此難以判斷其負(fù)定性，采用自適應(yīng)變量估計(jì)對θ進(jìn)行補(bǔ)償。假設(shè)是未知常數(shù)θ的在線估計(jì)值，是估計(jì)誤差，則由式(8)得到的由式(9)表示為

選取虛擬控制律α1由式(10)表示為

對式(12)求導(dǎo)，得到式(13)為

將式(14)代入式(13)，可得到式(15)為

步驟2:選取的李雅普諾夫函數(shù)，由式(16)表示為

速度控制器u由式(19)表示為

從而式(17)可化為式(20)表示為

2.3 風(fēng)機(jī)速度漸近跟蹤控制的穩(wěn)定性分析

對于變換后的風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)(4)，應(yīng)用設(shè)計(jì)的自適應(yīng)速度跟蹤控制器(19)，得到閉環(huán)系統(tǒng)由式(21)表示為

式(21)即為非線性常微分方程組。 考慮到式(16)中選取的李雅普諾夫函數(shù)為正定連續(xù)可微函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)滿足式(20)，可知為常負(fù)函數(shù)，因此滿足漸進(jìn)穩(wěn)定的條件，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理1 可知非線性微分方程式(21)的解是穩(wěn)定的。

根據(jù)式(20)，對其兩邊積分得到式(22)為

即可由式(23)表示為

因此，z1、z2是平方可積的；考慮到有界且θ為(未知)常數(shù)，vr(t) 為已知有界函數(shù)，得到α1及有界，從而根據(jù)式(22)可知是有界的。 根據(jù)Barbalat 引理[17]，由式(24)表示為

考慮變換，變換矩陣由式(25)表示為

式中:*代表矩陣的某元素，顯然其大小不影響矩陣的可逆性。

根據(jù)式(25)，上述變換矩陣滿足條件由式(26)表示為

式(25)定義的變換是可逆的，因此設(shè)計(jì)的速度控制器能夠?qū)崿F(xiàn)風(fēng)機(jī)速度的漸近設(shè)定點(diǎn)跟蹤控制。

綜合上述分析，可以得到如下結(jié)論:

對于風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)動負(fù)載為不確定非線性函數(shù)的情況下，應(yīng)用文章中設(shè)計(jì)的速度控制器u，能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的解(x1，x2，θ＾1，θ＾

2) 全局有界，且能夠?qū)崿F(xiàn)風(fēng)機(jī)速度v(t) 對于任意給定的速度設(shè)定值vr(t) 的漸近跟蹤控制，即由式(27)表示為

3 風(fēng)機(jī)速度漸近跟蹤控制的仿真實(shí)驗(yàn)

對提出的控制方案進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，根據(jù)式(25)的逆變換，應(yīng)用速度控制器u，可以得到風(fēng)機(jī)速度控制閉環(huán)系統(tǒng)，由式(28)表示為

圖3 設(shè)定速度vr = 1 時(shí)，風(fēng)機(jī)系統(tǒng)及參數(shù)估計(jì)與時(shí)間的響應(yīng)圖

圖4 設(shè)定速度vr=sin(0.5πt)時(shí)，風(fēng)機(jī)系統(tǒng)及參數(shù)估計(jì)與時(shí)間的響應(yīng)圖

圖5 風(fēng)機(jī)系統(tǒng)在兩種不同設(shè)定速度下跟蹤誤差與時(shí)間的響應(yīng)圖

由圖3(a)、4(a)和5 仿真結(jié)果可知，在電機(jī)參數(shù)存在不確定性和轉(zhuǎn)動負(fù)載為非線性函數(shù)的情況下，對于給定的設(shè)定速度為常數(shù)和正弦類時(shí)變函數(shù)，通過設(shè)計(jì)的輸出電壓可以使得風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速達(dá)到設(shè)定速度并保持穩(wěn)定狀態(tài)。 由圖3(b)和(d)可知，在設(shè)定速度vr =1 時(shí)，穩(wěn)態(tài)電流和穩(wěn)態(tài)輸入電壓分別穩(wěn)定在常數(shù)I=1 和u=3。 由圖4(b)和(d)可知，在設(shè)定速度vr =sin(0.5πt) 時(shí)，如同給定的正弦類設(shè)定速度，電流和輸入電壓亦是波動的周期時(shí)變信號，這一現(xiàn)象與實(shí)際情形相符合。 考慮到系統(tǒng)參數(shù)為未知的常數(shù)，圖3(c)和4(c) 的仿真結(jié)果說明了估計(jì)值和穩(wěn)態(tài)亦為常數(shù)。

4 結(jié)論

根據(jù)上述研究結(jié)果可得出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1) 針對一類轉(zhuǎn)動負(fù)載為不確定非線性函數(shù)的風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)，文章引入動態(tài)輔助變量對未知常數(shù)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，應(yīng)用反步法設(shè)計(jì)風(fēng)機(jī)速度控制器，使得風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程組，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速能夠?qū)崿F(xiàn)對任意給定速度的漸近跟蹤控制并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

(2) 風(fēng)機(jī)速度漸近跟蹤控制的Matlab 仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制理論算法的有效性，并且提出的風(fēng)機(jī)速度控制器方案對風(fēng)機(jī)速度控制系統(tǒng)中存在的未知參數(shù)具有良好的穩(wěn)定性。