經(jīng)濟(jì)函數(shù)應(yīng)用歷史對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的啟示

楊杰

摘 ?要：改革開(kāi)放帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)奇跡促使中國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家必須承擔(dān)起創(chuàng)立新經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的歷史重任，而現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)理論離不開(kāi)使用各種數(shù)學(xué)函數(shù)。文章選擇了柯布—道格拉斯和里昂惕夫兩種實(shí)證應(yīng)用最為廣泛的經(jīng)濟(jì)函數(shù)，從它們的歷史背景和應(yīng)用情況等進(jìn)行分析和研究，以期加深人們對(duì)經(jīng)濟(jì)理論發(fā)展過(guò)程的認(rèn)識(shí)，并從認(rèn)清時(shí)代責(zé)任、改革數(shù)據(jù)管理、強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究、提倡系統(tǒng)化思維以及重視歷史邏輯等方面，為現(xiàn)階段發(fā)展具有中國(guó)特色的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論提供一些經(jīng)驗(yàn)和建議。

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟(jì)函數(shù);C—D函數(shù);里昂惕夫函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：F303 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：Following the Reform and Opening-up strategy， the miracle of economic growth urges Chinese economists to undertake the historical task of creating new economic theories. Modern economic theories often use various mathematical functions to describe economic activities. This paper chooses Cobb-Douglas and Leontief functions to analyze their historical background and application，and provide some experience and suggestions for the development of new Chinese economic theories from recognizing the responsibility，reforming data management， strengthening the Mathematics， advocating systematic thinking and attaching importance to history，etc.

Key words： Economic Function;Cobb-Douglas Function;Leontief Function

用抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表達(dá)和分析一些經(jīng)濟(jì)規(guī)律，已成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要特征。馬克思說(shuō)過(guò)：“分析經(jīng)濟(jì)形式，既不能用顯微鏡，也不能用化學(xué)試劑，兩者都必須用抽象力來(lái)代替?！盵11]不同于物理學(xué)等自然科學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)不能采用重復(fù)實(shí)驗(yàn)的方法，需要借助一些數(shù)學(xué)函數(shù)、邏輯推演和抽象模型來(lái)分析具體問(wèn)題。這些經(jīng)濟(jì)模型不僅可以對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)進(jìn)行精準(zhǔn)的歸納和刻畫(huà)，還可以通過(guò)進(jìn)一步的數(shù)學(xué)演繹發(fā)現(xiàn)先于社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的新理論，從而加深人們對(duì)客觀經(jīng)濟(jì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)。在眾多的實(shí)證研究模型中，柯布—道格拉斯函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)C—D函數(shù)）和里昂惕夫函數(shù)（也叫投入產(chǎn)出函數(shù)）應(yīng)用最為廣泛。筆者從歷史背景和應(yīng)用情況等角度對(duì)這兩種常用的函數(shù)進(jìn)行分析，希望能為發(fā)展具有中國(guó)特色的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論提供一些借鑒。

一、綜述

普遍認(rèn)為，古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家從17世紀(jì)中葉就開(kāi)始嘗試用數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。英國(guó)在1640年資產(chǎn)階級(jí)革命后，資本主義經(jīng)濟(jì)開(kāi)始快速發(fā)展，社會(huì)在生產(chǎn)模式和生產(chǎn)關(guān)系上的大變革帶來(lái)了很多新問(wèn)題。英國(guó)古典政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家配第在1672年出版的《政治算術(shù)》中，率先將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)分析中，并對(duì)歐洲主要發(fā)達(dá)國(guó)家進(jìn)行了經(jīng)濟(jì)實(shí)力的數(shù)量對(duì)比，是經(jīng)濟(jì)學(xué)利用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析的萌芽。隨著歐洲大陸啟蒙運(yùn)動(dòng)的興起和資本主義的發(fā)展，法國(guó)的重農(nóng)主義經(jīng)濟(jì)學(xué)家魁奈（當(dāng)過(guò)醫(yī)生）在1758年最早利用表格和圖式的形式構(gòu)建了經(jīng)濟(jì)學(xué)均衡理論的雛形，把整個(gè)經(jīng)濟(jì)社會(huì)作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行思考，可惜魁奈所使用的數(shù)據(jù)并非來(lái)自真實(shí)統(tǒng)計(jì)，僅借用虛擬數(shù)字說(shuō)明了一些供需均衡關(guān)系。1776年，英國(guó)亞當(dāng)·斯密在《國(guó)富論》中提到“看不見(jiàn)的手”[15]，由于斯密不擅長(zhǎng)用數(shù)學(xué)說(shuō)明他的思想，后世經(jīng)濟(jì)學(xué)家雖將它等價(jià)于市場(chǎng)自我調(diào)節(jié)背后的一般均衡理論，卻用了一個(gè)多世紀(jì)去證明和探索。

真正把先進(jìn)數(shù)學(xué)工具用于經(jīng)濟(jì)分析是19世紀(jì)中葉的事情。經(jīng)濟(jì)學(xué)家德布羅在諾貝爾獲獎(jiǎng)演說(shuō)中說(shuō)：“如果要對(duì)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生選擇一個(gè)象征性的日子，我們這一行會(huì)以罕見(jiàn)的一致意見(jiàn)選定1838年，古諾是作為第一個(gè)闡明經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的締造者而著稱(chēng)于世的?！盵14]古諾認(rèn)為斯密提到過(guò)的供需、價(jià)格和市場(chǎng)等經(jīng)濟(jì)關(guān)系都可以用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式來(lái)表現(xiàn)和解釋。古諾在《財(cái)富理論的數(shù)學(xué)原理研究》中，第一次真正意義上使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和具體函數(shù)來(lái)分析了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。古諾的思想很快得到了法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦爾拉斯的認(rèn)同和發(fā)展，瓦爾拉斯提出了真正意義上的一般均衡理論構(gòu)想，成功將供需關(guān)系納入抽象市場(chǎng)中進(jìn)行系統(tǒng)分析。一般經(jīng)濟(jì)均衡理論是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的高度簡(jiǎn)化，實(shí)際上是利用數(shù)學(xué)公式建立了經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本骨架。在此后的很長(zhǎng)一段時(shí)間，經(jīng)濟(jì)學(xué)上最大的問(wèn)題就是一般均衡的存在性證明[4]。直到20世紀(jì)50年代，才由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅與德布羅利用最新數(shù)學(xué)成果分別成功重建了一般均衡理論大廈[17]。其中，德布羅的《價(jià)值理論》是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)歷史上最簡(jiǎn)短的獲獎(jiǎng)學(xué)術(shù)著作，它精練地利用集合論、凸性分析技術(shù)和不動(dòng)點(diǎn)理論等完美地解決了一般均衡存在性問(wèn)題;還解釋了為什么建立在代數(shù)和方程理論基礎(chǔ)上的瓦爾拉斯一般均衡理論是不完備的[4]。很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家得以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行更具體的實(shí)證研究。

一般均衡存在的結(jié)果在后來(lái)的實(shí)證研究中變得相當(dāng)有用，由世界銀行團(tuán)隊(duì)在此基礎(chǔ)上完成了可計(jì)算一般均衡（CGE）模型。在CGE模型內(nèi)，任何一個(gè)細(xì)小的變化都會(huì)產(chǎn)生牽一發(fā)而動(dòng)全身的結(jié)果。為了量化這些變化，CGE模型將理論證明中的每個(gè)環(huán)節(jié)都選擇了對(duì)應(yīng)法則（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或函數(shù)形式），再由電腦通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出最優(yōu)解。不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù)形式可以根據(jù)具體情況用在CGE模型的不同地方。其中較為著名的有柯布—道格拉斯函數(shù)（C—D）、來(lái)昂惕夫函數(shù)（Leontief）、常替代彈性函數(shù)（CES）等[2]。盡管函數(shù)有各種各樣的形式，但本質(zhì)上都沒(méi)有超過(guò)一般均衡理論的范疇。以下將著重研究的柯布—道格拉斯函數(shù)和里昂惕夫函數(shù)在CGE模型中各自深刻的含義。

二、柯布—道格拉斯函數(shù)

柯布—道格拉斯函數(shù)（即C—D函數(shù)）是經(jīng)濟(jì)實(shí)證研究中應(yīng)用最廣泛的一個(gè)，由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家道格拉斯和數(shù)學(xué)家柯布兩人共同發(fā)明，兩人的合作方式和后來(lái)的廣泛應(yīng)用都具有一定的偶然性。

（一）C—D函數(shù)的產(chǎn)生

20世紀(jì)初，美國(guó)芝加哥大學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家道格拉斯在研究美國(guó)制造業(yè)1899—1922年度統(tǒng)計(jì)資料時(shí)，將有關(guān)雇傭勞動(dòng)、固定資本、實(shí)際生產(chǎn)等數(shù)據(jù)標(biāo)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上時(shí)，發(fā)現(xiàn)有關(guān)生產(chǎn)的散點(diǎn)被夾在勞動(dòng)和固定資本散點(diǎn)帶之間，而且在這兩條點(diǎn)帶間距的四分之一之處波動(dòng)[19]。根據(jù)道格拉斯的回憶，他一直沒(méi)有思路找到一種數(shù)學(xué)形式表達(dá)這種關(guān)系，直到他到阿默斯特學(xué)院短期訪問(wèn)教學(xué)時(shí)，由同一所學(xué)院的數(shù)學(xué)教授柯布輕易解決。這就是后來(lái)所看到的C—D函數(shù)雛形[18]，于1928年發(fā)表在《美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)評(píng)論》上，原始形式如下：

公式（1）中，P為工業(yè)產(chǎn)出（后多用Y代替），L為勞動(dòng)投入，C為資本（后多用K代替），b和k（后多用A和α代替）為兩個(gè)需要計(jì)算的參數(shù)。通過(guò)回歸計(jì)算得出，資本和勞動(dòng)這兩種生產(chǎn)要素對(duì)于美國(guó)工業(yè)總產(chǎn)出的貢獻(xiàn)（即所占份額）分別為0.25和0.75，即產(chǎn)出的主要部分（四分之三）都應(yīng)歸屬于勞動(dòng)。這個(gè)模型隱含的勞動(dòng)和資本報(bào)酬份額幾乎恒定這一規(guī)律，在成為“卡爾多特征事實(shí)” （是宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中能夠反映經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的真實(shí)和基本特征的具有代表性的關(guān)鍵性事實(shí)，共包括6條，其中第5條就是“各種生產(chǎn)要素的收入在國(guó)民收入中所占的分配份額大體上穩(wěn)定不變”）的一部分后，變得更為人所知。此外，在CGE模型中，C—D函數(shù)通常用于將勞動(dòng)力和資本兩種生產(chǎn)要素進(jìn)行組合，形成新的增加值項(xiàng)[2]。這是考慮到在實(shí)際生產(chǎn)中勞動(dòng)和資本有一定的替代效應(yīng)，即人工可以干的活一般可以由一定數(shù)量的機(jī)器代替，而且在宏觀上可以假設(shè)這個(gè)替代效應(yīng)是基本固定的。

（二）C—D函數(shù)的應(yīng)用歷史

因?yàn)镃—D函數(shù)恰好滿足了經(jīng)濟(jì)學(xué)家所關(guān)心一些性質(zhì)，無(wú)意間滿足了后續(xù)經(jīng)濟(jì)學(xué)家進(jìn)一步計(jì)算的需求，從它被發(fā)明開(kāi)始就一直被很多學(xué)者應(yīng)用。更是由于道格拉斯在芝加哥大學(xué)任教，后來(lái)他的C—D函數(shù)形式被他的同事、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者保羅·薩繆爾森和羅伯特·索洛分別采用，配合他們?cè)谖⒂^和宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論和教科書(shū)的傳播，C—D函數(shù)成了經(jīng)濟(jì)學(xué)教學(xué)和實(shí)證研究中最常用的基本形式。薩繆爾森在他的《經(jīng)濟(jì)學(xué)》中，將C—D函數(shù)作為生產(chǎn)函數(shù)的基本形式，讓全球的經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)生熟知。索洛以C—D函數(shù)為基礎(chǔ)模型，提出了一個(gè)新古典增長(zhǎng)模型（索洛—斯旺模型）[24]，這是一個(gè)外生技術(shù)增長(zhǎng)模型，由于資本收益遞減規(guī)律仍然存在，這就出現(xiàn)了所謂的索洛余值。由此衍生的全要素生產(chǎn)率和科技進(jìn)步貢獻(xiàn)率，是各國(guó)政府現(xiàn)如今都關(guān)心的重要指標(biāo)。

由于函數(shù)形式中關(guān)于勞動(dòng)和資本報(bào)酬份額幾乎恒定這一早期“卡爾多特征事實(shí)”在實(shí)際中已發(fā)生變化，如1971—2011年間勞動(dòng)份額出現(xiàn)全球下滑的趨勢(shì)[21]，很多學(xué)者開(kāi)始質(zhì)疑模型的準(zhǔn)確性，道格拉斯也曾多次出面回復(fù)[19]。但是，C—D函數(shù)以其簡(jiǎn)單的形式、恰到好處的復(fù)雜程度，在經(jīng)濟(jì)理論的分析和應(yīng)用中仍然具有很重要的基礎(chǔ)地位。值得一提的是，將C—D函數(shù)影響范圍擴(kuò)大的薩繆爾森和索洛有一位共同的老師——瓦西里·里昂惕夫。他還通過(guò)短期培訓(xùn)方式影響了德布羅等一大批經(jīng)濟(jì)學(xué)家，而他傳授的就是投入產(chǎn)出模型。

三、里昂惕夫函數(shù)

里昂惕夫函數(shù)（也叫投入產(chǎn)出函數(shù)）是一種形式更簡(jiǎn)單、應(yīng)用更廣泛的函數(shù)形式。這個(gè)函數(shù)簡(jiǎn)單到不用學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)就可以去運(yùn)用，但它同時(shí)蘊(yùn)含的“大而化簡(jiǎn)”的哲學(xué)思想又很難被復(fù)制。

（一）里昂惕夫函數(shù)產(chǎn)生的歷史

如果追溯投入產(chǎn)出思想的起源，里昂惕夫自認(rèn)法國(guó)的魁奈曾對(duì)他產(chǎn)生過(guò)較大影響[20]。但根據(jù)研究，他的思想跟蘇聯(lián)計(jì)劃經(jīng)濟(jì)有一定淵源，雖然他本人對(duì)此并不認(rèn)同[22]。首先，里昂惕夫的父親曾深度參與過(guò)蘇聯(lián)國(guó)民經(jīng)濟(jì)平衡表的編制工作，這種大規(guī)模系統(tǒng)計(jì)算方法對(duì)他多少有些啟發(fā);其二，里昂惕夫心中對(duì)蘇聯(lián)有一定的怨言，蘇聯(lián)因?yàn)檎卧蛟哆^(guò)他，這也許是他不愿多提蘇聯(lián)積極影響的原因[23]。也許正是蘇聯(lián)經(jīng)濟(jì)理論中的不足，引發(fā)了他對(duì)更加完備的投出產(chǎn)出方法的思考，成為他后來(lái)思想的萌芽。

里昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)的基本形式是：

由于公式（2）在數(shù)學(xué)上不是那么直觀，可以借助案例說(shuō)明。比如，飛機(jī)生產(chǎn)需要如發(fā)動(dòng)機(jī)、機(jī)翼、起落架等一系列的中間投入，而實(shí)際中間投入組合必須包括至少一個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)、兩個(gè)機(jī)翼和一個(gè)起落架等。如果想多生產(chǎn)一架飛機(jī)，就需要多增加一整套飛機(jī)的中間投入，僅僅多投入一個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)而不增加機(jī)翼等其他配件將不會(huì)增加飛機(jī)的產(chǎn)出數(shù)量，要素間不可替代。如果把勞動(dòng)和資本都看作僅有的中間投入，在里昂惕夫函數(shù)條件下，當(dāng)aK = bL，資本和勞動(dòng)力就可以達(dá)到最優(yōu)組合，可以全部被用于生產(chǎn)。否則，多余的生產(chǎn)要素就會(huì)出現(xiàn)剩余和閑置，資源將得不到充分利用，出現(xiàn)浪費(fèi)現(xiàn)象。

里昂惕夫函數(shù)所描述的不可替代生產(chǎn)關(guān)系其實(shí)是最直觀和最簡(jiǎn)單的，體現(xiàn)的這種固定投入比例關(guān)系不僅廣泛存在于微觀的生產(chǎn)，也存在于宏觀的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，在沒(méi)有明顯技術(shù)變革的情況下很少改變，因此，里昂惕夫函數(shù)也被稱(chēng)為固定比例生產(chǎn)函數(shù)[1]。通過(guò)對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)進(jìn)行收集，再利用矩陣進(jìn)行系統(tǒng)計(jì)算，可以將固定關(guān)系用系數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)。CGE建模者通常假定中間投入以固定的比例用于生產(chǎn)，這意味著對(duì)于任意給定的投入組合，生產(chǎn)者不能增加一種中間投入從而去替代另一種中間投入。

（二）里昂惕夫函數(shù)的應(yīng)用

投入產(chǎn)出方法得到重視是在第二次世界大戰(zhàn)期間，當(dāng)時(shí)美國(guó)軍方相信，高度精細(xì)化的德國(guó)工業(yè)體系中肯定存在某些關(guān)鍵點(diǎn)（不可替代的中間投入），只需要“打蛇打七寸”——轟炸少數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)，就可以使德國(guó)軍事工業(yè)癱瘓。軍方使用里昂惕夫方法繪制了德國(guó)軍工投入產(chǎn)出表，并發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵性的滾珠軸承工業(yè)，繼而發(fā)現(xiàn)了滾珠。滾珠雖小，但應(yīng)用面廣，損壞頻繁，生產(chǎn)集中，還不被軍方重視。事實(shí)證明，美軍摧毀了僅有的幾家滾珠工廠后，整個(gè)德國(guó)滾軸工業(yè)停轉(zhuǎn)，前方的飛機(jī)、大炮和機(jī)械化部隊(duì)很快癱瘓。里昂惕夫的方法讓一顆小小的滾珠發(fā)揮了巨大的威力，為二戰(zhàn)勝利做出了巨大貢獻(xiàn)。此后，里昂惕夫又長(zhǎng)期編制美國(guó)投入產(chǎn)出表，在各種預(yù)測(cè)方面都收到了良好的效果。

五、總結(jié)

總之，分析常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)的產(chǎn)生背景、原始內(nèi)涵和應(yīng)用歷史對(duì)中國(guó)總結(jié)改革開(kāi)放經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展具有中國(guó)特色經(jīng)濟(jì)學(xué)新理論具有重要的借鑒作用。從具體分析C—D函數(shù)和里昂惕夫函數(shù)的過(guò)程可以看出成功的經(jīng)濟(jì)建設(shè)經(jīng)驗(yàn)、完備的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究和系統(tǒng)的簡(jiǎn)化思想都對(duì)經(jīng)濟(jì)理論的創(chuàng)新具有重要意義。這就要求中國(guó)學(xué)術(shù)界勇于擔(dān)當(dāng)歷史責(zé)任，打好數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，開(kāi)拓思維，與其他學(xué)科或國(guó)外科學(xué)家們開(kāi)展實(shí)質(zhì)性的合作，共同努力創(chuàng)新。此外，數(shù)學(xué)語(yǔ)言雖然可用來(lái)幫助學(xué)者快速掌握經(jīng)濟(jì)基本變化規(guī)律，但數(shù)學(xué)不是經(jīng)濟(jì)學(xué)的全部，還要在研究中加上歷史分析。要讓經(jīng)濟(jì)學(xué)思想偉大的創(chuàng)造歷程激發(fā)青年學(xué)者的熱情，讓他們?cè)趯W(xué)術(shù)道路上迎難而上，繼續(xù)前行。希望在不久的將來(lái)，中國(guó)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家能夠在國(guó)際中取得更多的話語(yǔ)權(quán)，不僅僅是對(duì)中國(guó)的成功經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，更能為其他國(guó)家的發(fā)展提供理論上的支持。

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