MathCAD在HMCVT行星輪系參數(shù)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用

王 琦，倪向東，鮑明喜，徐國杰

（石河子大學(xué)機械電氣工程學(xué)院，新疆 石河子 832000）

1 引言

行星齒輪傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、質(zhì)量輕、承載能力大、傳動效率高，傳動平穩(wěn)、抗沖擊和振動能力強等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用在液壓機械無級變速器（Hydro-mechanical Continuously Variable Transmission，簡稱HMCVT）傳動系統(tǒng)中[1]，行星齒輪系作為HMCVT系統(tǒng)的核心部件，其結(jié)構(gòu)形式優(yōu)化對HMCVT各項性能指標(biāo)的提高有著關(guān)鍵影響。優(yōu)化的行星齒輪系參數(shù)設(shè)計不僅僅要滿足變速傳動速比匹配條件，更需要考慮到如何優(yōu)化齒輪系的結(jié)構(gòu)以減小變速器的外形尺寸和質(zhì)量。傳統(tǒng)的齒輪參數(shù)設(shè)計方法復(fù)雜、繁瑣、效率低，首先根據(jù)齒輪齒面接觸疲勞強度及初算公式計算中心輪的分度圓直徑d，然后根據(jù)齒根彎曲疲勞強度及初算公式得到齒輪模數(shù)，再通過圓整處理，確定齒輪的主要參數(shù)，然后進行嚙合參數(shù)計算，確定變位方式、變位系數(shù)和中心距，最后進行行星齒輪傳動的強度校核。傳統(tǒng)的設(shè)計準(zhǔn)則過于保守，材料使用的經(jīng)濟性不合理，空間尺寸過大[2-3]。

隨著計算機輔助設(shè)計的快速發(fā)展，機械優(yōu)化設(shè)計的方法越來越智能化，機械優(yōu)化設(shè)計也越來越廣泛得使用計算機輔助設(shè)計來提升效率、降低工作強度。采用MathCAD15軟件對HMCVT中行星輪系進行多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，該方法建模簡單、求解快速，在滿足行星輪系使用強度的前提下體積最小，從而使液壓機械無級變速箱結(jié)構(gòu)更加緊湊，空間尺寸縮小，對于節(jié)約制造材料、降低加工成本等具有現(xiàn)實意義[4]。

2 液壓機械無級變速傳動系設(shè)計

HMCVT的傳動原理是將發(fā)動機動力，經(jīng)定軸齒輪副進行轉(zhuǎn)速分配，然后通過差動齒輪副進行轉(zhuǎn)矩耦合。HMCVT其分、匯流結(jié)構(gòu)將功率分為液壓流和機械流雙流傳遞，由變量泵、定量馬達組成HMCVT液壓系統(tǒng)實現(xiàn)調(diào)速。具有可利用小功率液壓元件實現(xiàn)大功率動力傳遞的特性。HMCVT傳動效率高、傳動比連續(xù)可調(diào)、速比變化范圍大、傳遞動力平穩(wěn)、操縱方便。根據(jù)HMCVT動力輸出特性，設(shè)計一種采棉機等差兩區(qū)段HMCVT傳動方案，該傳動方案可滿足采棉機連續(xù)變速傳動系統(tǒng)的液壓與機械混合動力輸出需求的工作要求，可提高采收作業(yè)機械速度和質(zhì)量、減輕勞動強度、提高經(jīng)濟性[5]。

2.1 液壓機械無級變速總體傳動方案

設(shè)計的一種等差兩區(qū)段HMCVT方案，由純液壓H區(qū)段、液壓機械HM1、HM2區(qū)段組成。當(dāng)HMCVT處于H區(qū)段時，動力流經(jīng)泵-馬達系統(tǒng)傳遞到K2太陽輪，HMCVT其分、區(qū)段時，動力流經(jīng)泵-馬達系統(tǒng)傳遞到K2太陽輪，K2行星排齒圈由制動器鎖死處于鎖止?fàn)顟B(tài)，此時K2行星排齒圈轉(zhuǎn)速為0，動力匯流后經(jīng)K2行星排行星架向后輸出，變速器輸出轉(zhuǎn)速nbH等于K2行星排行星架轉(zhuǎn)速nj2。動力傳遞由液壓和機械兩部分構(gòu)成。輸入軸動力經(jīng)過定軸齒輪副i1分流分別向后輸出，液壓部分是動力流經(jīng)過變量泵-定量馬達系統(tǒng)傳遞到K1行星排太陽輪，機械部分經(jīng)過離合器C1和定軸齒輪副i3傳遞到K1行星排行星架，經(jīng)過K1行星排匯流將混流后的動力由K1行星排齒圈向后傳至K2行星排行星架進而輸出，此時液壓機械HM1區(qū)段變速器輸出速度nbHM1等于K1行星排齒圈轉(zhuǎn)速nq1。當(dāng)變速器處于液壓機械HM2區(qū)段時，同理經(jīng)過定軸軸齒輪副i1分流后，液壓部分經(jīng)變量泵-定量馬達調(diào)速系統(tǒng)傳遞到K2行星排的太陽輪，機械部分經(jīng)離合器C2和定軸齒輪副i2傳遞到K2行星排的齒圈，經(jīng)過K2行星排匯流將混流后的動力由K2行星排行星架向后輸出，此時變速器輸出轉(zhuǎn)速度nbHM2等于K2行星排行星架轉(zhuǎn)速nj2。HMCVT的結(jié)構(gòu)方案，如圖1所示。

根據(jù)HMCVT的無級變速傳動原理，計算出變速器純液壓H區(qū)段輸出速度nbH、低速液壓機械HM1區(qū)段輸出速度nbHM1、高速液壓機械HM2區(qū)段輸出速度nbHM2：

式中：nj1、nj2—K1、K2行星排的行星架轉(zhuǎn)速（r/min）；nq1、nq2—K1、K2行星排的齒圈轉(zhuǎn)速（r/min）；n0—發(fā)動機轉(zhuǎn)速（r/min）；i1、i2、i3—齒輪副傳動比；k1、k2—K1、K2行星排特性參數(shù)；ε—液壓泵和液壓馬達排量比。

2.2 HMCVT等差傳動條件

本方案設(shè)計的HMCVT的傳動方案，要實現(xiàn)HMCVT的等差連續(xù)傳動液壓機械區(qū)段輸出轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足：

式中：nbHM1max、nbHM1min—液壓機械HM1段的最大的轉(zhuǎn)速和最小的轉(zhuǎn)速（r/min）；nbHM2max、nbHM2min—液壓機械 HM2 段的最大的轉(zhuǎn)速和最小的轉(zhuǎn)速（r/min）。

由式（1）、式（2）可得出等差傳動條件：

2.3 HMCVT連續(xù)性條件

要實現(xiàn)多段式HMCVT變速傳動轉(zhuǎn)速的連續(xù)變化HMCVT各區(qū)段輸出轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足換段時前一段輸出轉(zhuǎn)速的最大值等于后一段輸出轉(zhuǎn)速的最小值，即換段時相鄰的兩個區(qū)段應(yīng)擁有相同的傳動比；且換段時相鄰的兩個區(qū)段變量泵的排量比應(yīng)相等[6]。即HMCVT各區(qū)段輸出轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足：

根據(jù)換段條件，聯(lián)立H區(qū)段輸出速度nbH、HM1區(qū)段輸出速度nbHM1，可確定液壓H區(qū)段與液壓機械HM1區(qū)段連續(xù)條件；同理，可確定液壓機械HM1區(qū)段與液壓機械HM2區(qū)段連續(xù)條件。

由上述HMCVT各區(qū)段等差傳動且連續(xù)換段條件，可得到各個齒輪副的傳動比分別為：i1=1.70，i2=3.95，i3=1.10。HMCVT各段位傳動比隨泵-馬達系統(tǒng)排量比的調(diào)節(jié)而連續(xù)變化，當(dāng)HMCVT處于純液壓段時，HMCVT傳動比隨排量比的增加而增加。當(dāng)HMCVT處于HM1區(qū)段時，HMCVT傳動比隨泵-馬達系統(tǒng)的排量比減少而增加。當(dāng)HMCVT處于HM2區(qū)段時，HMCVT傳動比隨泵-馬達系統(tǒng)的排量比增加而增加?？蛇_到采棉機在不同工況作業(yè)時變速器速度連續(xù)變化的要求。HMCVT各區(qū)段傳動比隨排量比的變化規(guī)律，如圖2所示。

圖2 HMCVT各段位傳動比隨排量比的變化規(guī)律Fig.2 The Curve of Transmission Ratio of Each Section of Transmission with Displacement Ratio

2.4 HMCVT液壓功率分流比

由于HMCVT是液壓傳動和機械傳動混合輸出，液壓傳動的傳動效率較低，因此HMCVT在傳動系統(tǒng)中功率分流不同是影響液壓機械無級變速器傳動效率的重要因素。液壓功率分流比ρ是指分流后液壓路的輸出功率占變速器輸出總功率的比例，即：

式中：Pm—液壓馬達輸出功率；Pb—變速器輸出功率。

當(dāng)|ε|趨近于0時，液壓傳動分流比越小，則液壓路傳遞功率越少，機械路的功率越多，其變速器的傳動效率就越高。液壓機械無級變速器HM1區(qū)段、HM2區(qū)段分流比隨排量比的變化特性，如圖3所示。

圖3 HMCVT各段位液壓路功率分流比Fig.3 Power Distribution Ratio of Hydraulic Road of HMCVT

3 參數(shù)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的建立

對行星輪系進行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，本質(zhì)是將對行星輪系實際工程制造問題轉(zhuǎn)化為一個計算機輔助設(shè)計最優(yōu)化求解問題，求解時必須解決一下三個問題，即目標(biāo)函數(shù)的確定、設(shè)計變量的選取和約束條件的確定。以上三個問題的解決質(zhì)量，直接影響到最終得到的優(yōu)化設(shè)計的優(yōu)劣。

3.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

行星齒輪系建立目標(biāo)函數(shù)可選取不同的的優(yōu)化目標(biāo)，例如使傳動系外廓尺寸最小、結(jié)構(gòu)體積最小、質(zhì)量最輕、制造難度最低等。對于HMCVT優(yōu)化設(shè)計，應(yīng)首先考慮設(shè)定結(jié)構(gòu)體積最小為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)構(gòu)體積縮小不僅可減少變速器的空間尺寸降低配套動力機械空間尺寸，還意味著加工材料的節(jié)約、生產(chǎn)成本的降低[7]。本方案HMCVT行星排結(jié)構(gòu)中齒圈的體積取決于太陽輪和全部行星輪體積之和，太陽輪和行星輪的結(jié)構(gòu)尺寸決定了內(nèi)齒圈的大小，即整個行星排的體積由最大的齒圈決定。太陽輪和行星輪的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，精確計算其體積，過程繁瑣，計算量較大，為了簡化問題的處理，我們可以適當(dāng)假設(shè)[8]：即簡化行星排太陽輪、行星輪，將其直徑等視為各自分度圓直徑；忽略制造加工誤差，并假設(shè)N個行星輪的體積相等。簡化后可得到行星排參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)：

式中：Va、Da、za—行星排太陽輪的體積、分度圓直徑、齒數(shù)；Vg、Dg、zg—行星排為行星輪的體積、分度圓直徑、齒數(shù)；N—行星輪數(shù)目；m—齒輪模數(shù)；B—齒輪名義寬度。

由行星輪系中齒數(shù)條件中同心條件，對目標(biāo)函數(shù)進行限定，可得目標(biāo)函數(shù)表達式為：

3.2 設(shè)計變量的確定

行星齒輪排的體積與模數(shù)m，齒輪名義寬度b，太陽輪齒數(shù)za，行星輪個數(shù)N的取值有關(guān)，則四個獨立參數(shù)，可以作為設(shè)計變量，即：

通常情況下，行星輪個數(shù)可以根據(jù)工作要求和機構(gòu)類型確定，一般液壓機械無級變速器中行星輪數(shù)目為N=3，則設(shè)計變量簡化為：

3.3 約束條件的確定

機械優(yōu)化設(shè)計約束條件可分為邊界約束和性能約束。對于行星齒輪系來說，可由傳遞功率和轉(zhuǎn)速確定邊界約束條件，估計齒輪模數(shù)的取值、齒寬的大小、保證齒輪不發(fā)生根切的最小齒數(shù)；由鄰接條件、齒輪齒面接觸疲勞強度、齒輪齒根彎曲疲勞強度條件等確定性能約束條件。齒輪參數(shù)優(yōu)化設(shè)計應(yīng)考慮的約束條件分別為：齒輪模數(shù)的約束；小齒輪不根切最小齒數(shù)約束；齒寬系數(shù)的選擇；行星輪鄰接條件約束；齒面接觸疲勞強度約束；齒根彎曲疲勞強度約束。

對約束條件分別進行求解如下式：

式中：Dac—行星輪齒頂圓直徑；Aac—太陽輪與行星輪的中心距；ZH—區(qū)域系數(shù)；ZE—彈性影響系數(shù)；Zε—齒輪齒面接觸疲勞強度計算的重合度系數(shù)；KH—接觸疲勞強度載荷系數(shù)；Φd—齒寬系數(shù)；u—計算齒輪副的齒數(shù)比；KF—彎曲疲勞強度載荷系數(shù)；YFa1—齒形系數(shù)；Ysa1—載荷作用于齒輪齒頂時的應(yīng)力修正系數(shù)；Yε—齒輪彎曲疲勞強度計算的重合度系數(shù)。代入已知條件、查閱設(shè)計資料可得齒根彎曲疲勞強度約束條件。

在實際使用中應(yīng)考慮到冷卻和齒輪傳動中潤滑油攪動損失，對于間隙值一般應(yīng)取為Δc＆gt;=0.5*m（m為齒輪模數(shù)）。

對于行星齒輪的內(nèi)嚙合齒輪副（行星輪與齒圈）其承載能力高于外嚙合齒輪副（太陽輪與行星輪）承載能力，其強度約束條件并沒有列出。

4 基于MathCAD的優(yōu)化設(shè)計

4.1 利于MathCAD軟件進行優(yōu)化設(shè)計的一般步驟

MathCAD軟件提供了maximize、minimize兩個函數(shù)來調(diào)用，分別求解最大值問題和最小值問題。MathCAD軟件優(yōu)化設(shè)計一般的步驟[9]：

（1）先確定設(shè)計變量，然后賦予設(shè)計變量初始值，再編寫目標(biāo)函數(shù)；

（2）利用關(guān)鍵字“Given”建立約束條件；

（3）調(diào)用maximize、minimize函數(shù)，求解目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值。

4.2 求解過程及結(jié)果

根據(jù)液壓機械無級變速器工作要求，進行行星齒輪排的參數(shù)計算，確定行星齒輪排特性參數(shù)K=2.56。

以 x1：=25，x2：=55，x3：=3 對設(shè)計變量賦予初值，建立目標(biāo)函數(shù):

經(jīng)過圓整處理得za=23，齒寬系數(shù)Φd=0.97，模數(shù)m=2.5。優(yōu)化前后的太陽輪齒數(shù)、齒寬系數(shù)、模數(shù)、體積對比，如表1所示。

表1 優(yōu)化前后的太陽輪齒數(shù)、齒寬系數(shù)、模數(shù)、體積對比表Tab.1 Sun Gear Tooth Number，Tooth Width Coefficient，Modulus，Volume Comparison Table Before and After Optimization

5 結(jié)論

（1）運用MathCAD進行優(yōu)化設(shè)計，行星齒輪排的體積有原設(shè)計方案的541700mm3變化為409200mm3，目標(biāo)函數(shù)值下降了24%，行星輪系結(jié)構(gòu)更加緊湊，節(jié)省材料，減輕了質(zhì)量和降低了成本。

（2）利用MathCAD進行機械優(yōu)化設(shè)計問題求解，方法簡單，操作易行，計算結(jié)果切合實際，準(zhǔn)確可靠，可以推廣到其它機械優(yōu)化設(shè)計方面。