基于前饋補(bǔ)償PID控制的輪式機(jī)器人軌跡跟蹤

任鵬飛，趙 楠，王永祥

(河南工程學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191)

輪式機(jī)器人在軍事、工業(yè)、民用等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，其軌跡跟蹤控制也是自動(dòng)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。輪式機(jī)器人屬于典型非線性系統(tǒng)，它的工作環(huán)境中存在大量無法預(yù)估的外部干擾[1]。由于這些干擾，建立輪式機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型有一定難度。

PID控制具有算法簡單、魯棒性高及可靠性高等特點(diǎn)[2]，在運(yùn)動(dòng)控制和過程控制等領(lǐng)域得到了非常廣泛的應(yīng)用，控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型越精確，控制效果越好。但實(shí)際生產(chǎn)過程中的控制對(duì)象往往不能建立精確的數(shù)學(xué)模型，控制過程一般具有非線性、不確定性等特點(diǎn)，所以傳統(tǒng)的PID控制效果并不理想[3]。另外，在控制過程中，傳統(tǒng)PID的參數(shù)整定較復(fù)雜、控制性能不佳、適應(yīng)性差。智能PID利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的邏輯計(jì)算能力使控制方式更加靈活，為解決上述問題提供了新的選擇[4]。采用基于前饋補(bǔ)償?shù)闹悄躊ID方法可以提高輪式機(jī)器人的跟蹤效果。在經(jīng)典控制理論中，設(shè)法使前饋補(bǔ)償與閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之積為1，就可以實(shí)現(xiàn)輸出量與輸入量相等。

1 建立輪式機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型

對(duì)輪式機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)和轉(zhuǎn)向控制有多種方式。本研究的控制對(duì)象是四輪式機(jī)器人，其轉(zhuǎn)向輪為兩前輪，可以控制機(jī)器人的行進(jìn)方向；其驅(qū)動(dòng)輪為兩后輪，可以驅(qū)動(dòng)機(jī)器人前進(jìn)、后退。驅(qū)動(dòng)輪可采用單電機(jī)配合機(jī)械差速機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)，還可以采用雙電機(jī)差速方式實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)。本研究的對(duì)象是驅(qū)動(dòng)輪雙電機(jī)差速方式，運(yùn)動(dòng)示意圖如圖1所示。輪式機(jī)器人的實(shí)時(shí)位置狀態(tài)可用兩驅(qū)動(dòng)輪軸中點(diǎn)M及其前進(jìn)方向角θ描述[5]。

從圖1中可以看出，若令P=[xyθ]T，q=[vω]T，可根據(jù)[xy]定位輪式機(jī)器人的坐標(biāo)，θ表示機(jī)器人的前進(jìn)方向與x軸的夾角，v和ω表示輪式機(jī)器人的線速度和角速度，這些參數(shù)可作為輪式機(jī)器人控制的輸入信號(hào)。

圖1 輪式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Motion diagram of wheeled robot

根據(jù)以上信息可構(gòu)建輪式機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程：

(1)

由方程(1)可得輪式機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型為

(2)

從方程(1)可以看出，該機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型為2自由度，輸出變量為3個(gè)，該模型是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)2個(gè)變量的跟蹤，剩余變量為狀態(tài)隨動(dòng)或鎮(zhèn)定狀態(tài)。本研究中，輪式機(jī)器人的軌跡跟蹤可通過設(shè)計(jì)q=[vω]T來實(shí)現(xiàn)對(duì)位置坐標(biāo)[xy]的跟蹤，并實(shí)現(xiàn)θ隨動(dòng)。

2 雙閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

構(gòu)建一個(gè)雙閉環(huán)的控制系統(tǒng)，包括外環(huán)位置子系統(tǒng)和內(nèi)環(huán)姿態(tài)子系統(tǒng)。外環(huán)位置子系統(tǒng)控制器的指令信號(hào)θd傳送給內(nèi)環(huán)姿態(tài)子系統(tǒng)控制器，內(nèi)環(huán)通過滑膜控制來實(shí)現(xiàn)對(duì)指令信號(hào)θd的跟蹤。該雙閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，控制工程中通常采用外環(huán)收斂速度小于內(nèi)環(huán)收斂速度的辦法，來增大控制器增益，用θ來跟蹤θd。

3 輪式機(jī)器人位置控制設(shè)計(jì)

通過對(duì)輪式機(jī)器人位置的確定，對(duì)其位置控制規(guī)律v進(jìn)行設(shè)計(jì)，用x跟蹤xd，用y跟蹤yd。設(shè)定其理想目標(biāo)軌跡是[xdyd]，其誤差跟蹤方程為

圖2 雙閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure diagram of double closed loop control system

(3)

式中：xe=x-xd；ye=y-yd。取

(4)

(5)

根據(jù)公式(6)前饋控制規(guī)律可得公式(7)：

(6)

(7)

式中：kp10。則t趨近于無窮時(shí)，xe趨近于0。

(8)

根據(jù)公式(9)前饋控制規(guī)律可得公式(10)：

(9)

(10)

式中：kp20。則t趨近于無窮時(shí)，ye趨近于0。

(11)

式中：θ為公式(6)和公式(9)所期望的角度。如果θ=θd，即可實(shí)現(xiàn)公式(6)等價(jià)于公式(9)。但在控制剛開始的階段，實(shí)際模型公式(2)中的θ不完全等于θd，這會(huì)直接造成公式(3)不穩(wěn)定。

若想解決以上問題，需要設(shè)定公式(11)中求得的θ為目標(biāo)值，可得

(12)

經(jīng)上述推導(dǎo)，得出輪式機(jī)器人位置控制規(guī)律為

(13)

4 輪式機(jī)器人姿態(tài)控制設(shè)計(jì)

對(duì)輪式機(jī)器人的姿態(tài)控制可通過對(duì)其姿態(tài)控制規(guī)律ω的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)，最終實(shí)現(xiàn)θ跟蹤θd的目的。

令θe=θ-θd，可得式(14)，根據(jù)式(15)前饋控制規(guī)律可得式(16)：

(14)

(15)

(16)

式中：kp30。則t趨近于無窮時(shí)，θe趨近于0，最終實(shí)現(xiàn)θ對(duì)θd的快速跟蹤。

5 仿真驗(yàn)證

圖3 系統(tǒng)仿真模型Fig.3 System simulation model

為了證實(shí)該控制方案的有效性，采用MATLAB仿真方式來驗(yàn)證。依照?qǐng)D2所示的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立系統(tǒng)仿真模型，如圖3所示。

控制器參數(shù)設(shè)定值見表1。按表1設(shè)定控制器各參數(shù)，在MATLAB中可得仿真結(jié)果，如圖4至圖6所示。

表1 控制器參數(shù)設(shè)定值Tab.1 Controller parameter settings

圖4 輪式機(jī)器人軌跡跟蹤Fig.4 Wheeled robot trajectory tracking

圖5 位置和角速度跟蹤Fig.5 Position and angular velocity tracking

圖6 微分器輸入與輸出Fig.6 The input and output of differentiator

圖4為輪式機(jī)器人位置軌跡跟蹤結(jié)果，可看出輪式機(jī)器人對(duì)外部擾動(dòng)不敏感，能達(dá)到并保持目標(biāo)位置。

圖5為輪式機(jī)器人位置和角速度跟蹤結(jié)果，可看出僅經(jīng)過5 s，輪式機(jī)器人即達(dá)到目標(biāo)位置并保持穩(wěn)定，仿真輸出結(jié)果小幅抖動(dòng)與外界干擾項(xiàng)有關(guān)。

6 結(jié)語

針對(duì)輪式機(jī)器人在其運(yùn)行過程中出現(xiàn)的不可控?cái)_動(dòng)問題，提出了前饋補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由仿真結(jié)果可知，該控制器可快速穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)輪式機(jī)器人的軌跡跟蹤控制，有效減少了擾動(dòng)不可控現(xiàn)象對(duì)跟蹤性能的影響。