“工程數(shù)學(xué)”之“數(shù)值分析”課堂教學(xué)改革的實踐與探討

高翠俠

（江蘇大學(xué)理學(xué)院 江蘇·鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

隨著2017 年新工科建設(shè)的提出，“工程數(shù)學(xué)”的地位進一步加深，使得對這門課的教學(xué)要求也提高了?！肮こ虜?shù)學(xué)”是針對工科學(xué)生開設(shè)的運用數(shù)學(xué)理論處理實際工程問題的專門課程，此課程普遍由多門數(shù)學(xué)子課程組成，比如矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析、復(fù)變函數(shù)等。數(shù)值分析（Numerical Analysis）不同于其他子課程，其應(yīng)用性更強，重在教授學(xué)生如何運用數(shù)值計算方法解決實際問題，強調(diào)學(xué)生的自主性、探索性、合作性和研究性。同時，不同于本科教學(xué)，研究生的數(shù)值分析教學(xué)更注重于學(xué)生能力的培養(yǎng)。

數(shù)值分析教學(xué)的目的在于計算理論方法的掌握和解決問題的實踐能力的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)計算與工程的結(jié)合、理論性與實踐性的結(jié)合，為學(xué)生各自領(lǐng)域的科研，甚至是以后的工作打下必要的基礎(chǔ)。而對于“工程數(shù)學(xué)”中數(shù)值分析的教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容多、課時少、難度大是普遍存在的問題，[1,2]加之學(xué)生前期所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，致使教學(xué)效果欠佳。因此，應(yīng)該如何運用有效的課時對教學(xué)內(nèi)容進行優(yōu)化，使得教學(xué)效果達到最高，是每一位任課教師需要思考的問題。

1 學(xué)情分析

江蘇大學(xué)（以下簡稱“我?！保┑难芯可肮こ虜?shù)學(xué)”課程是依托車輛工程、動力工程、材料工程、機械工程、光學(xué)工程、儀表儀器工程、建筑與土木工程等工科專業(yè)碩士研究生的學(xué)位課。學(xué)習(xí)群體涉及多個專業(yè)，同一專業(yè)也會涉及眾多的研究方向，這就對課堂上應(yīng)用案例的選擇和講授提出了一定的挑戰(zhàn)。而首要的問題是對歷屆選課學(xué)生的專業(yè)背景、學(xué)術(shù)研究中所涉及數(shù)值計算方法等情況進行統(tǒng)計分析?！肮こ虜?shù)學(xué)”在各行各業(yè)的實際應(yīng)用很多，通過對近幾年本人所授工科研究生學(xué)生的畢業(yè)論文進行統(tǒng)計，涉及2018-2019 屆300 多篇論文，聚焦得到的核心詞匯見表1。

表1 所研究樣本中涉及數(shù)值計算知識點的統(tǒng)計分析

2 教學(xué)存在的一些問題與改革措施

2.1 對教師工科背景知識理解的要求

對學(xué)生學(xué)情的掌握是首要問題，而接下來的問題就是教師如何實施自己的教學(xué)。教學(xué)的進一步實施離不開教師對工科背景知識的了解，即教師自身專業(yè)素養(yǎng)的提高。而工科背景缺乏是數(shù)學(xué)教師普遍存在的問題之一。教師自身專業(yè)素養(yǎng)的提高包括：將自己的科研與工科教學(xué)相結(jié)合、更新教學(xué)素材、關(guān)注學(xué)科前沿等等。通過教學(xué)，不僅能使學(xué)生掌握基本理論，還能縮短基礎(chǔ)知識與學(xué)科前沿的距離，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

作為數(shù)學(xué)教師，不能局限于數(shù)學(xué)學(xué)科的精通，還需要對工科背景或者基礎(chǔ)理論知識有一定的掌握和思考，把各學(xué)科之間的聯(lián)系融入到你的課程中來。以如下一個具有突起的開槽里流體流動的伯努利方程[3]為例，

問題就轉(zhuǎn)化為利用迭代法求解非線性方程 的根

。首先繪制 函數(shù)圖像以確定根的大致區(qū)間，要求精度（絕對誤差） ，最大迭代次數(shù) 。此時，可以分別使用二分法、牛頓法和弦截法對方程組進行求解并進行對比。以上所講的都是數(shù)值計算的問題，而作為教師，還要明確關(guān)于伯努利方程的背景、方程中各參數(shù)的含義以及彼此之間的作用關(guān)系等等。了解“伯努利原理”是1726 年由丹尼爾伯努利提出的，是在流體力學(xué)的連續(xù)介質(zhì)理論方程建立之前，水力學(xué)所采用的基本原理；了解其實質(zhì)是流體的機械能守恒：動能+重力勢能+壓力勢能=常數(shù)；了解實際應(yīng)用案例有噴霧器、汽油發(fā)動機的化油器、兵乓球的旋轉(zhuǎn)等等。

2.2 明確實踐能力培養(yǎng)的教學(xué)目標

我校研究生“工程數(shù)學(xué)”課程由矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析三門子課程組成，共36 課時。數(shù)值分析占“工程數(shù)學(xué)”總課時的三分之一，共12 課時，具有典型的內(nèi)容多、課時少特征。從而對數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)模式、考核方式等都提出了挑戰(zhàn)。

（1）教學(xué)內(nèi)容選擇。內(nèi)容的選擇依賴于教學(xué)的目標，“數(shù)值分析”作為理工科專門開設(shè)的一門課程，涉及內(nèi)容廣，通常包括函數(shù)插值與數(shù)值逼近、線性與非線性方程（組）求解的數(shù)值方法、常微分方程求解等，具有理論證明或推導(dǎo)繁雜、難度大、缺乏應(yīng)用案例分析的特點。而“工程數(shù)學(xué)”中的數(shù)值分析不同，其致力于學(xué)生解決工程問題能力、實踐能力的培養(yǎng)。因此，在教學(xué)內(nèi)容選擇時，需擺脫“重理論、輕實踐”的傳統(tǒng)教學(xué)模式，即“重原理分析、輕證明推導(dǎo)”“重案例式教學(xué)、輕課堂講授”“重交互實驗、輕理論灌輸”。

（2）“理論講授-案例教學(xué)-小組研討”的教學(xué)模式。傳統(tǒng)的教學(xué)模式主要以理論知識講授為主，缺乏與實際問題的聯(lián)系，缺乏因?qū)嶋H問題解決而產(chǎn)生的生-生、師-生之間的互動，這不利于學(xué)生分析和解決問題能力的培養(yǎng)，更不利于新工科人才的培養(yǎng)。既然“工程數(shù)學(xué)”課程以實踐能力培養(yǎng)為教學(xué)目標，那么就在一定程度上決定了教學(xué)的方式。工程教學(xué)案例的引入，能夠讓學(xué)生更加清楚所學(xué)的數(shù)值計算方法在自己的領(lǐng)域中如何用、用在何處，真正做到從實際中來再應(yīng)用到實際中去。教學(xué)實踐表明：案例教學(xué)以及小組專題研討，有利于提高研究生對本課程的學(xué)習(xí)興趣，有利于提高研究生的工程應(yīng)用能力、創(chuàng)新實踐能力和學(xué)術(shù)研究動力。

（3）綜合的評價與考核機制。數(shù)值分析內(nèi)容涵蓋較廣、綜合性較大，期末試卷上不能涵蓋所有知識點。既然教學(xué)內(nèi)容和方式在逐步地改變，那么課程的考核方式也應(yīng)隨之而變化。本課程的定位是培養(yǎng)新工科建設(shè)人才，而學(xué)生的成績評價是一個重要的環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)的閉卷考核方式已不能完全符合新工科人才培養(yǎng)的需求。[4]在通過卷面考試評價學(xué)生基礎(chǔ)理論知識學(xué)習(xí)掌握程度的基礎(chǔ)下，還需創(chuàng)新考試方式，注重考核學(xué)生的實際編程能力和應(yīng)用能力，比如可以將參加數(shù)學(xué)建模競賽的成績作為期末成績的參考標準之一。另一方面，充分利用課堂上所采用的教學(xué)案例，教學(xué)案例的講解一般是伴隨著程序的編寫，此時，可以讓學(xué)生通過調(diào)節(jié)部分參數(shù)得到新的設(shè)定的結(jié)果，以培養(yǎng)學(xué)生的實際操作能力，這也可以作為期末成績的考核標準之一。

3 打通不同課程之間的壁壘

數(shù)值分析部分的教學(xué)要注意與不同課程間的壁壘。首先，是與已有相關(guān)數(shù)學(xué)或非數(shù)學(xué)專業(yè)知識的銜接。作為工科課程，需要修高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和數(shù)學(xué)軟件等課程。為了幫助學(xué)生加深對知識點的理解和掌握，需幫助學(xué)生將重要的相關(guān)知識點進行整合，厘清彼此之間的關(guān)系，形成一個整體的知識結(jié)構(gòu)框架。例如，在線性方程組求解常用的直接法和迭代法的講解之前，先回憶以前學(xué)過的求解方程組的方法有十字相乘法、Gramer法則等，其中Gramer 法則線性代數(shù)中的一種重要的方程組求解判定法則，具有收斂、穩(wěn)定、結(jié)論可靠的有點，但是其缺點是計算量大。此外，還要注重教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生正在學(xué)習(xí)的專業(yè)課程的相互呼應(yīng)。

此外，要注重與理工科“數(shù)值分析”課程教學(xué)側(cè)重點的區(qū)別。除了“工程數(shù)學(xué)”中的數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容外，我校還開設(shè)了專門的針對理工科研究生的“數(shù)值分析”課程，并且數(shù)值分析是很多高等院校理工科專業(yè)的必修課程。[5]理工科的“數(shù)值分析”課程涉及數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、微分方程等眾多數(shù)學(xué)學(xué)科，要求學(xué)生修過數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等基本學(xué)科，即具備扎實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。對于“工程數(shù)學(xué)”中的數(shù)值分析課程而言，同樣需要學(xué)生具有以上多個數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)，但是不乏有學(xué)生同時選修“工程數(shù)學(xué)”和“數(shù)值分析”兩門課程，此時就要注意區(qū)分教學(xué)側(cè)重點。比如，理工科“數(shù)值分析”課程較多地注重定理的證明、計算公式的推導(dǎo)，容易與應(yīng)用脫節(jié)。本課程的教學(xué)則要更加注重對案例的講解、借助信息化技術(shù)提高學(xué)生的體驗感、設(shè)計交互實驗增加學(xué)生的實踐能力，同時，對于有些理論推導(dǎo)證明可以省略，留給學(xué)生課后去閱讀。

最后，還要明確與矩陣論和概率統(tǒng)計課程之間的地位與作用。傳統(tǒng)的“工程數(shù)學(xué)”課程體系不系統(tǒng)，多是分別對不同模塊內(nèi)容進行講解。[2]

4“線上教學(xué)”下本課程的機遇

為了落實教育部和學(xué)校關(guān)于“停課不停教、停課不停學(xué)”的政策，高校教師紛紛將教學(xué)搬到線上進行，數(shù)學(xué)類課程也不例外。數(shù)值分析本身就是面向計算機、強調(diào)實踐性的課程。在線下教學(xué)時就采用應(yīng)用案例教學(xué)設(shè)計與信息技術(shù)相融合的教學(xué)方式，但是總未充分發(fā)揮學(xué)生參與實驗的作用，比如教室投影設(shè)備中沒有數(shù)學(xué)類軟件等?！肮こ虜?shù)學(xué)”課程所涉及的常用數(shù)學(xué)軟件有MATLAB,Python,Lingo,Mathematica 等。教學(xué)軟件的模擬仿真、動畫展示能夠讓學(xué)生產(chǎn)生直觀的體驗，特別是面對復(fù)雜的定理和推導(dǎo)公式時。

圖1 不同插值方法和擬合圖形的繪制

線上教學(xué)無疑給案例教學(xué)、交互實驗等課堂活動帶來機遇。在疫情下，應(yīng)積極構(gòu)建信息化的、立體化的教學(xué)手段和教學(xué)資源，增加學(xué)生在課堂中對工程案例實現(xiàn)過程的體驗，打破時間和空間限制。

實驗1 不同插值曲線的繪制以及與曲線擬合的比較。

在講授插值法和曲線擬合內(nèi)容時，可以借助MATLAB 軟件，讓學(xué)生參與運行和修改程序，體驗不同插值方法結(jié)果的差異性。程序1 實現(xiàn)了不同插值方法下插值曲線的繪制，以及同一實驗數(shù)據(jù)下擬合曲線的繪制。圖1 給出了實驗結(jié)果。觀察實驗結(jié)果，學(xué)生不僅可以清楚地了解插值與擬合的區(qū)別，還能對分段線性插值、三次樣條插值等不同差值方法、外插風(fēng)險、誤差等概念有直觀和深入的理解。當然，這就要求學(xué)生在掌握算法的同時，還要熟練掌握和運用計算機編程語言。此外，基于這樣一個簡單的實驗，可以隨堂給學(xué)生布置小組任務(wù)，每一個小組要求提供出一組研究領(lǐng)域相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)，擬合出一條曲線，使得這個曲線與原始數(shù)據(jù)間的誤差最小。

程序1 不同插值及擬合曲線的多子圖繪制

clc;clear all;

x=1:1:10;y=[15 12 17.5 17 22 16 15.5 14 12 13];

subplot(1,2,1)

xx=1:.25:10;yy=interp1(x,y,xx);plot(x,y,'kd',xx,yy)

hold on;yy=interp1(x,y,xx,'nearest');plot(xx,yy)

hold on;yy=interp1(x,y,xx,'spline');plot(xx,yy)

subplot(1,2,2)

plot(x,y,'kd')

hold on;polyfit(x,y,4)

5 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)研究生“工程數(shù)學(xué)”中“數(shù)值分析”教學(xué)模式中存在的課時少、內(nèi)容量大、缺少交互實驗等弊端，本文從學(xué)生層面、教師層面進行分析，并從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、評價機制三個方面做出改革建議，打破傳統(tǒng)的以基本理論為主而忽略學(xué)生實踐能力、分析和解決實際問題能力培養(yǎng)的教學(xué)模式，更好地發(fā)揮出“工程數(shù)學(xué)”這門課程的重要作用。此外，在新冠疫情下，線上教學(xué)給學(xué)生帶來了全新的體驗。本課程應(yīng)充分發(fā)揮其面向計算機這一特點，積極提升信息化、多元化、立體化的教學(xué)模式與資料，促進學(xué)生的學(xué)習(xí)動力和樂趣，有助于應(yīng)用型人才、復(fù)合型人才的培養(yǎng)。