構(gòu)建知識結(jié)構(gòu) 指向深度學(xué)習

陳丹娜

摘要：乘法公式是初中極為重要的一個公式，教材中首先研究了平方差公式，其研究過程具有很好的育人價值，從一般到特殊的研究方法，從具體到抽象的研究過程，數(shù)形結(jié)合的研究視角，為后續(xù)繼續(xù)研究其他公式提供研究思路和方法.本文以《乘方公式（第一課時）》為例，具體來談?wù)劷虒W(xué)中如何設(shè)計問題串，真正做到深度學(xué)習。

關(guān)鍵詞：平方差公式;公式教學(xué)

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

1.內(nèi)容解讀

某些特殊形式的多項式相乘，可以寫成公式的形式，當遇到相同形式的多項式相乘時，就可以運用公式寫出結(jié)果，以簡化運算。平方差公式是多項式的乘法公式的一種特殊情況，其本質(zhì)特征是一項對應(yīng)相等，一項對應(yīng)相反的兩個二項式相乘，等于相同項的平方減去相反項的平方。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式。平方差公式的得出，以多項式乘法與合并同類項的知識為基礎(chǔ)，從一般形式的整式乘法運算到對特殊形式的乘法運算概括出乘法公式，體現(xiàn)了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的過程，從具體的具有特殊形式的幾組多項式乘法的運算結(jié)果中，通過觀察、比較，抽象概括出一般的形式，并通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，體現(xiàn)了從具體到抽象地研究問題方法

二、目標與教學(xué)重難點

1.目標

（1）理解平方差公式;

（2）在探索平方差公式的過程中，感悟從一般到特殊，以及從具有到抽象地研問題的方法，在驗證平方差公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合思想。

2.教學(xué)重難點

重點：平方差公式

難點：平方差公式的發(fā)現(xiàn);平方差公式的變式運用.

三、教學(xué)過程設(shè)計

1.復(fù)習引入，獲得研究對象

問題1? 前面我們學(xué)習了多項式的乘法，你能說說運算法則嗎？這些運算的依據(jù)是什么？

設(shè)計意圖：回顧運算法則，強化“用運算律計算”的意識。

（引言：數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對問題的進一步認識，例如在兩條直線的位置關(guān)系中，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的結(jié)論。類似的，在多項式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。）

問題2 如前一節(jié)課練習中（x+b）（x+d）就是一種特殊的多項式相乘，它是（a+b）（c+d）在a=c=x時的特例。對這些特殊形式的多項式相乘，可以寫成公式的形式，當遇到相同形式的多項式相乘時，就可以運用公式寫出結(jié)果，以簡化運算。在（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，你認為還有哪些特殊情形？

通過“先行組織者”，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認識數(shù)學(xué)對象的方法，體會多項式乘法與本屆內(nèi)容的關(guān)系——“一般——特殊”;

[預(yù)設(shè)：學(xué)生會提出c=a，d=b時即（a+b）（a+b），對平方差這種特殊關(guān)系不一定能想到，需要老師引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生“特殊關(guān)系”有哪些，因為字母表示數(shù)，所以項與項之間的特殊關(guān)系和數(shù)的特殊關(guān)系相同，相等或相反是特殊關(guān)系。]

2、從具體到抽象，探究公式

問題3 你能舉出幾個具有以上述特殊情形的具體算式嗎？

問題4? 計算你列出的多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

追問1 觀察積的各項，相乘的兩個多項式的各項與它們的積中的各項有什么關(guān)系？

追問2 你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用式子表示出來嗎？

追問3 你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行驗證嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷具體——抽象的過程，即經(jīng)歷觀察（每個具體的算式及其結(jié)果的特點）、比較（不同算式及其結(jié)果間的異同）、抽象（不同算式及其結(jié)果的共同特征）、概括（可能具有的規(guī)律）、推理（論證概括的結(jié)果）的過程，從中體會研究數(shù)學(xué)問題的基本思想方法——“具體——抽象”。

3、本質(zhì)特征概括，歸納公式

問題5 前面探索所得的式子稱為乘法的平方差公式，你能將平方差公式用文字語言表述嗎？

追問1 你能總結(jié)性平方差公式的結(jié)構(gòu)特征嗎？

追問2平方差公式與多項式乘法有何關(guān)系？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生將符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力;學(xué)生在用語言表述公式內(nèi)容時，可以加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。

4、數(shù)形結(jié)合，理解公式

問題6將圖甲中陰影部分的小長方形變換到乙圖位置，你能根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系直觀地說明平方差公式嗎？

設(shè)計意圖：通過探究活動，讓學(xué)生認識平方差公式的幾何意義，使學(xué)生更好得理解這一公式，并此過程中體會數(shù)形結(jié)合思想。

5、例題講解，辨析公式

例1? 用平方差公式計算：

練習1? 下列兩個多項式相乘，可以用平方差公式計算嗎？若可以，請寫出相應(yīng)的相同項（a）和相反項（b），并計算結(jié)果。

問題7 通過例1和練習1中，你認為運用公式解決問題時應(yīng)該注意點什么？

[師生活動：學(xué)生進行小結(jié)歸納，教師進行補充]

（1）再運用平方差公式之前，一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特征;

（2）一定要找準那個數(shù)或那個式相當于公式中的a，那個數(shù)或式相當于公式中的b;

總結(jié)規(guī)律：一般地，“第一個數(shù)”a的符號相同，“第二個數(shù)”b的符號相反;

（3）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示數(shù)的單項式、多項式即整式

（4）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當?shù)淖冃?，實質(zhì)上能應(yīng)用公式。

例2? 計算：

（1）103×97? ? （2）59.8×60.2? ? （3）5678×5680-56792

拓展? 運用平方差公式計算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

設(shè)計意圖：通過練習讓學(xué)生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，并引導(dǎo)學(xué)生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征明確a，b的意義。并在數(shù)的乘法用應(yīng)用，使得學(xué)生將平方差公式的知識遷移到新的問題情境中，及鞏固新知，又培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力。

6、歸納小結(jié)，形成研究套路

（1）請你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本過程。

（2）你能說說公式的結(jié)構(gòu)特點嗎？應(yīng)用時應(yīng)注意哪些問題？

（3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？

設(shè)計意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心——平方差公式，進一步認識公式的結(jié)構(gòu)特征，為運用公式積累經(jīng)驗。

小結(jié)

本節(jié)課主要的亮點有，亮點1：注重研究方法的滲透.通過從一般到特殊的研究方法，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究對象，從一般形式（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd出發(fā)，類比數(shù)具有的數(shù)量關(guān)系，找到c=a，d=b和c=a，d=-b，兩種特殊形式.再次讓學(xué)生聚焦今天的研究內(nèi)容是c=a，d=-b，通過學(xué)生自己舉例，從具體到抽象，概括出平方差公式;亮點2：挖掘公式本質(zhì).平方差公式其本質(zhì)特征是一項對應(yīng)相等，一項對應(yīng)相反的兩個二項式相乘，等于相同項的平方減去相反項的平方，在教學(xué)時從發(fā)現(xiàn)問題開始就直指本質(zhì)，學(xué)生遇到平方差公式變形類問題時，如（-x+2y）（-x-2y）時，學(xué)生不需要進行符號轉(zhuǎn)化抓住相同項是-x，相反項是2y，然后直接應(yīng)用求解即可，突破難點;亮點3：多角度進行公式結(jié)構(gòu)的分析.通過發(fā)現(xiàn)研究對象，得到公式后讓學(xué)生用符號語言表示第一次體會公式結(jié)構(gòu)，再通過用圖形揭示平方差公式第二次體會公式結(jié)構(gòu)，最后通過利用公式進行計算，在處理類似于（a+b+c）（a+b-c）的問題中，體會公式中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項式、多項式、分式乃至任何代數(shù)式，真正掌握平方差的公式結(jié)構(gòu)。