激發(fā)極化中的賽格爾近似及飽和效應(yīng)

莊嚴(yán),李桐林

吉林大學(xué) 地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長春 130026

0 引言

式中:ρs為視電阻率；ρi為地下第i塊的真電阻率；ηs為視極化率；ηi為地下第i塊的真極化率。

視極化率與極化率之間是線性關(guān)系，只要計(jì)算出了視電阻率對(duì)電阻率模型的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，就可以計(jì)算視極化率，或者用已知的視極化率反演極化率。目前，根據(jù)賽格爾體激發(fā)極化理論[2]，利用賽格爾公式的線性反演方法得到廣泛應(yīng)用。在反演中，利用電位函數(shù)與模型參數(shù)間的關(guān)系計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣，大大減少了計(jì)算工作量。根據(jù)Tripp et al.[3]提出的理論，阮百堯[4]利用互換定理給出了一種視電阻率對(duì)模型電阻率的偏導(dǎo)數(shù)矩陣簡(jiǎn)便計(jì)算方法。 Li et al.[5]的二維極化率數(shù)據(jù)反演、阮百堯等[6-7]的二維激發(fā)極化反演及黃俊革[8]的極化率反演都是利用賽格爾公式的線性反演。Li et al.在二維極化率數(shù)據(jù)反演中用了3種反演方法，第一種就是利用賽格爾公式的線性反演，后兩者是非線性反演，對(duì)于利用賽格爾公式的線性反演他們作了這樣的評(píng)述：賽格爾公式是一個(gè)線性公式，利用該公式反演的優(yōu)勢(shì)是只需解決一個(gè)線性反演問題，這種方法簡(jiǎn)單、快速，可以節(jié)約出大量的時(shí)間用于數(shù)據(jù)誤差估計(jì)和選擇更多的反演精度以達(dá)到更好的反演效果，且該方法對(duì)數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差不敏感，但其沒有考慮非線性的影響，特別是極化率較大的情況[5]。劉海飛論述利用賽格爾公式的線性反演可以通過增加電阻率反演的迭代次數(shù)來改善電阻率反演結(jié)果從而改善極化率的反演結(jié)果[9]。柳建新等對(duì)線性反演和非線性反演進(jìn)行了模擬、對(duì)比及分析，得出的結(jié)論與上述基本相同[10]。黃俊革在三維激發(fā)極化正演中利用賽格爾公式計(jì)算了視極化率[11]。

賽格爾在利用賽格爾公式對(duì)均勻半空間中的一個(gè)低阻球體模型進(jìn)行了一維正演計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圍巖電阻率不變時(shí)，隨著球體電阻率不斷降低，視極化率異常并非單調(diào)增大，而是先增大后減小，這種現(xiàn)象稱之為飽和效應(yīng)。利用賽格爾公式對(duì)該模型進(jìn)行推導(dǎo)，得出在球體與圍巖電阻率比值為0.5時(shí)取得視極化率最大值。據(jù)此認(rèn)為激發(fā)極化法不適合尋找電阻率差異懸殊的極化礦體，這種電阻率有數(shù)量級(jí)上的差異會(huì)抑制IP效應(yīng)。王慶乙則對(duì)飽和效應(yīng)提出了異議，認(rèn)為飽和效應(yīng)完全是賽格爾近似公式計(jì)算造成的，在尋找良導(dǎo)致密銅礦和低阻炭質(zhì)板巖礦的實(shí)踐中并未出現(xiàn)飽和效應(yīng)問題，且完成了銅球和石墨球的水槽實(shí)驗(yàn)，以進(jìn)一步說明激發(fā)極化不存在飽和效應(yīng)，同樣適合尋找電性差異較大的極化礦體[12]。

針對(duì)賽格爾公式的近似精度問題以及飽和效應(yīng)的認(rèn)識(shí)問題，筆者進(jìn)行了激發(fā)極化中賽格爾公式的推導(dǎo)，分別用等效電阻率法和賽格爾公式法兩種方法進(jìn)行了正演模擬和分析，通過對(duì)比這兩種方法的正演結(jié)果，給出賽格爾公式的適用范圍；同時(shí)對(duì)激發(fā)極化中的飽和效應(yīng)進(jìn)行正演模擬，研究了飽和效應(yīng)的影響因素并分析了其物理實(shí)質(zhì)。該研究對(duì)選擇正確的激發(fā)極化正演方法及激發(fā)極化中飽和效應(yīng)的認(rèn)識(shí)有重要意義。

1 激發(fā)極化中的賽格爾近似正演理論

根據(jù)等效電阻率法正演理論：

(1)

(2)

由視極化率定義

(3)

整理可得：

(4)

由于大多數(shù)極化體的極化率η遠(yuǎn)<1，因此

(5)

得出賽格爾公式：

(6)

以上為賽格爾公式推導(dǎo)過程，其中有兩處進(jìn)行了近似處理：一是在式(1)中將總場(chǎng)電位表達(dá)式用一次電位與各個(gè)極化體產(chǎn)生的二次電位線性相加；二是在式(6)中，等效視電阻率近似等于視電阻率。

實(shí)際地下的這種結(jié)構(gòu)為非線性，

(7)

2 模型試算

2.1 賽格爾公式的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證賽格爾公式計(jì)算的準(zhǔn)確性，要求理論正演必須有解析表達(dá)式，確保理論正演正確，那么對(duì)有理論解析式的均勻半空間中單個(gè)極化球體以及有極化層的層狀介質(zhì)模型進(jìn)行理論正演(等效電阻率法正演)計(jì)算，其結(jié)果與相應(yīng)的賽格爾公式正演計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

均勻半空間中的極化球體視極化率曲線對(duì)比結(jié)果見圖1。圖1(a)對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)為：球體中心坐標(biāo)(26,80)，半徑50 m，極化率0.5，圍巖不極化，球體與圍巖電阻率比值 1.0。圖1(b)對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)為：球體中心坐標(biāo)(26,80)，半徑50 m，極化率0.5，圍巖不極化，球體與圍巖電阻率比值 0.01。

a.球體與圍巖電阻率1∶1視極化率曲線對(duì)比結(jié)果圖; b.球體與圍巖電阻率1∶100視極化率曲線對(duì)比結(jié)果圖。圖1 均勻半空間中極化球體的視極化率曲線Fig.1 Apparent polarization curves of a polarization sphere in homogeneous half space

從圖1可以看出在計(jì)算低阻高極化球體的視極化率上，賽格爾公式計(jì)算的視極化率異常要小于理論計(jì)算的異常，并且隨球體電阻的降低其誤差隨之增大。

高極化率層狀介質(zhì)視極化率曲線對(duì)比結(jié)果見圖2。模型為4層介質(zhì)，第一二三層厚度分別為100 m、500 m、1 000 m，一二三四層的電阻率分別為10 Ω·m、100 Ω·m、1 000 Ω·m、10 000 Ω·m，極化率分別為0、0.2、0.5、0.8。

從圖2可以看出，對(duì)于高極化的層狀介質(zhì)，利用賽格爾公式計(jì)算的結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。

對(duì)于極化率不是很高的層狀地電結(jié)構(gòu)進(jìn)行正演計(jì)算(圖3)。模型的厚度和電阻率同圖2模型，但極化率變小。極化率分別為0、0.05、0.1、0，在不同極距下視極化率的計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖2 極化率差別較大情況下層狀介質(zhì)的視極化率曲線對(duì)比Fig.2 Apparent polarization curves of a layered earth model in high-contrast polarization

從圖3可以看到，對(duì)于極化率不是很高的層狀介質(zhì)，賽格爾公式計(jì)算結(jié)果同樣出現(xiàn)較大誤差，說明該公式對(duì)復(fù)雜的層狀介質(zhì)計(jì)算不準(zhǔn)確。

圖3 極化率差別較小情況下層狀介質(zhì)的視極化率曲線對(duì)比Fig.3 Apparent polarization curves of a layer model in general-contrast polarization

綜上，對(duì)多層有極化的層狀介質(zhì)或低阻高極化球體來說，賽格爾公式計(jì)算結(jié)果會(huì)有較大誤差。這種情況表明，利用賽格爾公式反演極化率同樣會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，即使可以通過增加電阻率反演迭代次數(shù)來改善電阻率反演結(jié)果進(jìn)而改善極化率的結(jié)果，但這種改善只能是對(duì)反演曲線擬合程度的改善，無法避免賽格爾公式的近似性所造成的誤差。

2.2 飽和效應(yīng)的模擬

采用2.5維直流電法有限元正演進(jìn)行二維視極化率正演模擬研究。給定的模型如圖4所示，其正演結(jié)果見圖5。

圖4 正演模型及參數(shù)Fig.4 Forward calculation model and parameters

圖5 二維正演模擬視極化率異常剖面曲線圖Fig.5 Two dimensional forward modeling apparent charge ability anomaly map

圖5說明在相對(duì)高阻體A上的視極化率異常要高于相對(duì)低阻B上的視極化率異常，這說明數(shù)值模擬中也能看到所謂的“飽和效應(yīng)”的存在。

為了進(jìn)一步說明飽和效應(yīng)的規(guī)律，圖6給出了一組不同球體半徑r對(duì)應(yīng)的視極化率異常值隨μ12變化的曲線圖，球體中心相同。

圖6 球體視極化率ηs隨μ12變化的對(duì)比曲線圖Fig.6 Apparent charge ability ηs curves with different radius μ12

3 結(jié)論

(1)賽格爾公式在任何情況下，都是一個(gè)近似公式。特別是高極化情況下，利用賽格爾公式計(jì)算視極化率存在較大偏差。

(2)飽和效應(yīng)不僅受電阻率的影響，而且受極化體大小影響，極化體越大，飽和極值所對(duì)應(yīng)的μ12值越小，也就是說相對(duì)更低阻的極化才能達(dá)到飽和。

(3)用激發(fā)極化法研究特別低阻的極化礦床時(shí)，異常的極大值可能會(huì)偏離富集礦體中心，因此根據(jù)異常定性分析預(yù)測(cè)礦體的位置可能出現(xiàn)偏差。