傳統(tǒng)礦柱安全系數(shù)計(jì)算公式優(yōu)化研究①

黃 敏， Kulatilake P H S W， 羅嗣海， 方偏桃， 趙聰聰

（1.江西理工大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，江西 贛州341000； 2.長(zhǎng)沙礦山研究院有限責(zé)任公司，湖南 長(zhǎng)沙410012； 3.金屬礦山安全技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙410012； 4.亞利桑那大學(xué) 巖體模擬與計(jì)算力學(xué)實(shí)驗(yàn)室，美國(guó) 亞利桑那州 圖森85721）

礦產(chǎn)資源的地下開(kāi)采是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，在采掘生產(chǎn)過(guò)程中，許多礦山形成了大量的采空區(qū)。 據(jù)2015年長(zhǎng)沙礦山研究院有限責(zé)任公司對(duì)全國(guó)4 606 家地下非煤礦山的統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明，超過(guò)50%的地下非煤礦山以空?qǐng)龇ㄟM(jìn)行采礦，形成采空區(qū)規(guī)模約12.8 億立方米，其中未經(jīng)處理的空區(qū)約占80%。 大量未處理的采空區(qū)危害著礦山的后續(xù)開(kāi)采，采空區(qū)誘發(fā)的冒頂、片幫等事故屢見(jiàn)不鮮，更有甚者引發(fā)大面積坍塌、巖移，直至地表塌陷，時(shí)刻威脅著礦山工作人員的生命及財(cái)產(chǎn)安全，采空區(qū)災(zāi)害已經(jīng)成為我國(guó)分布最廣泛、且危害最大的礦山災(zāi)害類型之一［1-3］。 而對(duì)于如此巨大的空區(qū)體積，短期內(nèi)不可能全部完成治理。 因此，為緩解空區(qū)治理壓力，同時(shí)確保井下生產(chǎn)安全，對(duì)采空區(qū)進(jìn)行穩(wěn)定性分析十分必要。 對(duì)于空?qǐng)龇ㄩ_(kāi)采的礦山，頂板與礦柱是維持地下空區(qū)穩(wěn)定的兩大結(jié)構(gòu)單元，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于空區(qū)的穩(wěn)定性研究也主要針對(duì)這兩方面展開(kāi)。 對(duì)于頂板較為穩(wěn)固的空區(qū)，礦柱的穩(wěn)定與否更是對(duì)空區(qū)的支撐有著決定性作用。 礦柱不僅用于維護(hù)礦房的穩(wěn)定，也用于隔離大面積空?qǐng)?，同時(shí)還肩負(fù)著保護(hù)井巷、地表及建筑物的安全作用。 為了保持采場(chǎng)長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)定狀態(tài)，保證井下生產(chǎn)工作的安全有序進(jìn)行，在進(jìn)行開(kāi)采設(shè)計(jì)時(shí)，相鄰礦柱的間距必須保證在頂板極限跨度之下，礦柱本身的橫斷面尺寸也必須滿足強(qiáng)度要求［4］，以免因礦柱尺寸太小而無(wú)法承受其上覆荷載，導(dǎo)致礦柱被壓垮。 礦柱一旦被壓垮，其上覆巖層荷載將重新分布，該礦柱所承載的巖層質(zhì)量將由其相鄰的其他礦柱來(lái)承擔(dān)。 因此，本文主要針對(duì)礦柱穩(wěn)定性展開(kāi)深入研究，可為類似工程提供技術(shù)參考。

1 礦柱穩(wěn)定性研究現(xiàn)狀

早期對(duì)采空區(qū)穩(wěn)定性的研究主要靠礦山工作人員的經(jīng)驗(yàn)積累，近年來(lái)，隨著巖石力學(xué)研究不斷深入和科學(xué)技術(shù)發(fā)展，特別是現(xiàn)代檢測(cè)手段及計(jì)算機(jī)模擬分析技術(shù)被廣泛應(yīng)用于空區(qū)穩(wěn)定性研究，并取得了良好效果，極大地豐富了關(guān)于空區(qū)穩(wěn)定性的理論研究與工程實(shí)踐［5］。 礦柱穩(wěn)定性主要取決于礦柱自身強(qiáng)度和礦柱所承受的上覆巖層荷載。 對(duì)礦柱穩(wěn)定性進(jìn)行分析，其關(guān)鍵是對(duì)礦柱自身強(qiáng)度和上覆巖層荷載的正確計(jì)算［6-8］。 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在這一方面作了許多研究，并總結(jié)了相關(guān)理論，包括壓力拱理論、概率密度函數(shù)法、兩區(qū)約束理論和面積承載理論等，同時(shí)在大量室內(nèi)實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐的基礎(chǔ)上，得到了多種關(guān)于礦柱強(qiáng)度的計(jì)算公式，主要有安全系數(shù)法、理論分析法、數(shù)值模擬法等。 其中，安全系數(shù)法能定量地對(duì)礦柱穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)，且簡(jiǎn)單實(shí)用，因此被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際。

1.1 礦柱所受荷載

礦柱的平均應(yīng)力取決于在單位面積內(nèi)礦柱所承受的荷載。 國(guó)內(nèi)外對(duì)于礦柱荷載的研究由來(lái)已久，也提出了多種假設(shè)與理論，目前具有代表性的主要有普氏平衡拱理論、有效區(qū)域理論、兩區(qū)約束理論及面積承載理論等。

1.1.1 普氏平衡拱理論

普氏平衡拱理論基于自然平衡拱存在，坑道開(kāi)挖過(guò)后，在無(wú)支護(hù)措施的情況下，坑道頂部會(huì)發(fā)生巖體自然冒落現(xiàn)象，直至形成一個(gè)短時(shí)間內(nèi)保持相對(duì)平衡的拱形，稱為平衡拱。

基于普氏拱的礦柱的承載機(jī)理如圖1 所示。 巖體開(kāi)挖后，采空區(qū)內(nèi)的承壓礦柱受到上覆巖層施加的自重應(yīng)力，頂板巖層出現(xiàn)下沉位移，形成一定范圍的免壓拱，隨著回采的進(jìn)行，相鄰礦柱上部所形成的免壓拱會(huì)發(fā)生鏈接，形成一個(gè)位于所有采空區(qū)礦柱頂部的大免壓拱，即在采空區(qū)的上部會(huì)產(chǎn)生一個(gè)半徑為Rp的免壓拱塑性區(qū)。 塑性區(qū)的范圍不僅受到巖體性質(zhì)、開(kāi)采斷面的影響，還與采空區(qū)的埋深有關(guān)。 礦體開(kāi)挖后，采空區(qū)的頂板圍巖中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)普氏拱，只要礦柱能承受頂板圍巖免壓拱塑性區(qū)范圍內(nèi)巖體的自重應(yīng)力，就能保證長(zhǎng)期穩(wěn)定。

圖1 基于普氏理論的礦柱承載機(jī)理分布

根據(jù)普氏拱理論和礦柱承壓機(jī)理可知，礦柱所承受的荷載為其頂板上方塑性區(qū)范圍內(nèi)所有巖體的重力之和，可計(jì)算出免壓拱中塑性區(qū)的半徑Rp為：

式中R0為開(kāi)挖半徑，m；P0為開(kāi)挖處的垂直自重應(yīng)力，MPa；c為巖體內(nèi)聚力，MPa；φ為巖體內(nèi)摩擦角，（°）；γ為上覆巖層巖石容重，kN/m3；H為開(kāi)采深度，m。

在任何一種情況下，礦柱寬高比都會(huì)對(duì)礦柱強(qiáng)度產(chǎn)生“尺寸”效應(yīng)。 單個(gè)分層中的礦柱可采用平均應(yīng)力進(jìn)行受力平衡分析［9］。 在分層中設(shè)計(jì)礦柱尺寸時(shí)應(yīng)該考慮礦柱中的峰值壓應(yīng)力集中。 事實(shí)上，在單層礦柱設(shè)計(jì)方法中，基于平均壓力的設(shè)計(jì)方法而非峰值應(yīng)力應(yīng)用最為廣泛。 礦柱設(shè)計(jì)的面積承載方法是基于簡(jiǎn)單的力學(xué)平衡分析，如圖2 ～3 所示，當(dāng)采場(chǎng)力學(xué)平衡時(shí)，要求底板對(duì)礦柱向上的力Fp等于上覆巖層荷載W，即：

式中σv為平均上覆巖層應(yīng)力，MPa；A為礦柱所承載巖柱的橫截面積，m2；σp為礦柱內(nèi)平均應(yīng)力，MPa；Ap為礦柱橫截面積，m2。

而礦柱所承載區(qū)域的面積A ＝Ap+Am，其中Am是礦柱所支撐采空區(qū)的面積，則礦柱所受的應(yīng)力σp為：

式中R ＝Am/A，定義為面積提取率；Ap＝Wp× Lp；A＝（Wo+Wp） ×（Lp+Wc），Am＝Wo×（Lp+Wc）+Wc×Wp；Wo為礦房寬度；Wp礦柱寬度；σv為礦柱上覆塑性區(qū)引起的自重應(yīng)力。

圖2 礦房和礦柱組成的開(kāi)挖示意圖

圖3 單個(gè)礦柱受力示意圖

因此，礦柱內(nèi)的應(yīng)力σp為：

1.1.2 有效區(qū)域理論

杜瓦爾首先提出有效區(qū)域理論，而后被不斷發(fā)展與完善，但其主要用于條帶式開(kāi)采的礦柱設(shè)計(jì)中［10］。有效區(qū)域理論假定各礦柱支撐上部及與其相鄰的礦柱所平分的采空區(qū)上覆巖層的質(zhì)量。 該方法計(jì)算方便、簡(jiǎn)單易行，在條形礦柱安全設(shè)計(jì)方面得到了廣泛應(yīng)用。

1.1.3 兩區(qū)約束理論

兩區(qū)約束理論由威爾遜提出并沿用至今，它根據(jù)不同的應(yīng)力狀態(tài)，將礦柱受力分為核區(qū)和屈服區(qū)兩部分，兩端屈服點(diǎn)向里為應(yīng)力核區(qū)（礦柱變形較?。c(diǎn)向外為屈服區(qū)（礦柱主要變形區(qū)域），并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，確定了屈服區(qū)寬度和礦柱承載能力的計(jì)算公式［5，11］。 該理論綜合考慮了礦柱的三軸強(qiáng)度特性，更加貼合于工程實(shí)際，應(yīng)用廣泛，但在巖體力學(xué)參數(shù)取值方面未加以闡述，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中仍受到不少限制。

1.1.4 面積承載理論

目前國(guó)內(nèi)設(shè)計(jì)院應(yīng)用最為廣泛的是礦柱面積承載理論，即空區(qū)內(nèi)各礦柱所受到的荷載為采空區(qū)到地表巖層的自重應(yīng)力，并假設(shè)礦柱支撐面積等于礦柱所分?jǐn)偟捻敯迕娣e與其自身面積的總和［12-13］。 該理論在礦柱荷載計(jì)算方面簡(jiǎn)單易行，被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐，其礦柱內(nèi)平均應(yīng)力為：

上覆巖柱分?jǐn)偟拈_(kāi)采面積與礦柱布置形式緊密相關(guān)，礦山可根據(jù)研究?jī)?nèi)容的需要以及實(shí)際情況，選取最為恰當(dāng)?shù)钠骄鶓?yīng)力計(jì)算公式。 在初期對(duì)研究區(qū)內(nèi)采空區(qū)的礦柱穩(wěn)定性分析中，可采用正方形礦柱平均應(yīng)力計(jì)算公式來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算，此時(shí)礦柱平均應(yīng)力為：

1.2 礦柱強(qiáng)度

100 多年以來(lái)，各國(guó)學(xué)者主要通過(guò)室內(nèi)實(shí)驗(yàn)、現(xiàn)場(chǎng)原位實(shí)驗(yàn)2 種方式對(duì)礦柱強(qiáng)度展開(kāi)研究。 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際調(diào)查，并結(jié)合相關(guān)理論，得到了多種關(guān)于礦柱強(qiáng)度計(jì)算的公式。

Bieniawski 對(duì)煤柱強(qiáng)度尺寸效應(yīng)進(jìn)行了大量實(shí)測(cè)，認(rèn)為煤柱強(qiáng)度不是簡(jiǎn)單地表現(xiàn)為尺寸越大強(qiáng)度越小，而是存在著一個(gè)臨界煤柱尺寸，當(dāng)?shù)V柱實(shí)際尺寸大于臨界尺寸時(shí)，煤柱強(qiáng)度將不再隨尺寸增加而減小。 該理論認(rèn)為煤柱強(qiáng)度與試樣的尺寸之間存在如下關(guān)系：

式中Sp為礦柱強(qiáng)度；σc為試樣單軸抗壓強(qiáng)度，MPa；h為礦柱高度，m。

1981 年，Bieniawski 對(duì)之前所提出的礦柱強(qiáng)度計(jì)算公式進(jìn)行了修正，修正后的公式為：

式中α 為常數(shù)，主要取決于礦柱寬高比，當(dāng)其寬高比大于5 時(shí)，α 取1.4；否則α 取1.0。

1.3 礦柱安全系數(shù)

1.3.1 基于面積承載理論

礦柱安全系數(shù)是礦柱強(qiáng)度與礦柱平均應(yīng)力的比值，根據(jù)前文所選取的礦柱強(qiáng)度與平均應(yīng)力的計(jì)算公式，可以得到基于面積承載理論的礦柱安全系數(shù)K為：

1.3.2 基于普氏理論

基于普氏理論和面積承載理論得到的礦柱應(yīng)力σp（式（6））和Bieniawski 礦柱強(qiáng)度公式得到的礦柱強(qiáng)度Sp（式（10）），進(jìn)行理論推導(dǎo)得到礦柱的安全系數(shù)為：

對(duì)于正方形礦柱，礦柱的安全系數(shù)為：

2 工程實(shí)例

湖南省某鉛鋅礦經(jīng)歷了約40 年的以空?qǐng)龇橹鞯牡叵麻_(kāi)采，形成了數(shù)量巨大、范圍廣泛、空區(qū)層疊的采空區(qū)群。 體量巨大的采空區(qū)群時(shí)刻威脅著工作人員的生命和財(cái)產(chǎn)安全。 據(jù)統(tǒng)計(jì)，2009～2015 年間，鉛鋅礦區(qū)曾發(fā)生多起冒頂片幫、透水事故，造成數(shù)十名人員傷亡和大量財(cái)產(chǎn)損失。

本文以湖南省某鉛鋅礦區(qū)群采空區(qū)為研究對(duì)象，圈定了井下1 365 根礦柱樣本。 對(duì)這些礦柱的安全系數(shù)進(jìn)行逐一計(jì)算，最終得到了基于面積承載理論及普氏理論的各礦柱安全系數(shù)，如表1 所示。 篇幅有限，表2 為鉛鋅礦區(qū)Ⅴ礦區(qū)第3 采區(qū)礦柱安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果。

表1 基于面積承載理論及普氏理論的礦柱安全系數(shù)分布情況

表2 鉛鋅礦區(qū)Ⅴ礦區(qū)第3 采區(qū)礦柱穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

通過(guò)以上分析可知，基于面積承載理論的礦柱安全系數(shù)有33.83%小于1，處于不穩(wěn)定狀態(tài)。 但據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際觀察，這些礦柱仍保持良好的穩(wěn)定形態(tài)，在一定時(shí)期內(nèi)仍能起到對(duì)空區(qū)的支撐作用，這反證了基于面積承載理論的礦柱安全系數(shù)計(jì)算方法在該礦區(qū)的應(yīng)用效果不佳，結(jié)果過(guò)于保守。 同時(shí)，與基于普氏理論的礦柱安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果也有較大差異。

對(duì)比分析，得知該礦區(qū)兩種礦柱安全系數(shù)計(jì)算方法之間的關(guān)系可分為3 類：①礦柱埋深50～100 m，兩者數(shù)據(jù)基本相差不大，該類礦柱約占總數(shù)的10%。 ②礦柱埋深100～300 m，兩者結(jié)果呈線性相關(guān)，該類礦柱約占總數(shù)的85%，兩者線性關(guān)系為：K普＝1.472 2K面-0.023 1。③礦柱埋深300 m 以上，該類礦柱約占總數(shù)的5%，兩者線性關(guān)系為：K普＝1.536 9K面-0.006 2。

3 礦柱安全系數(shù)三維數(shù)值模擬計(jì)算與分析

為尋找適合該鉛鋅礦區(qū)礦柱安全系數(shù)的計(jì)算公式，對(duì)該礦區(qū)1 365 根礦柱安全系數(shù)進(jìn)行計(jì)算分析。通過(guò)正交試驗(yàn)可知，影響該鉛鋅礦區(qū)礦柱安全系數(shù)的關(guān)鍵因素主要為礦柱埋藏深度、礦柱橫截面積、礦柱承載巖柱橫截面積、礦柱高度。 為研究采場(chǎng)間距和埋深對(duì)礦柱穩(wěn)定性的影響，通過(guò)Midas GTS 和FLAC3D耦合建模的方法，建立了礦柱間距分別為8 m、12 m、16 m、20 m，埋深100～1 000 m，礦柱尺寸均為6 m × 6 m × 8 m。以20 m 間距標(biāo)準(zhǔn)空區(qū)模型為例，空區(qū)高度8 m，礦柱間距20 m，空區(qū)內(nèi)有9 根礦柱。 根據(jù)圣維南原理，所建立的模型尺寸為X ×Y ＝90 m × 490 m，Z方向以空區(qū)為界線分為兩部分，上部分高度為埋深高度，下部分高度為200 m，模型的上部直達(dá)地表。 將在Midas 中建立好的三維網(wǎng)格模型，利用轉(zhuǎn)換接口程序轉(zhuǎn)換到FLAC3D軟件中。 20 m 間距標(biāo)準(zhǔn)空區(qū)模型網(wǎng)格如圖4所示。 由于篇幅有限，這里只列出20 m 間距部分標(biāo)準(zhǔn)空區(qū)模型及其計(jì)算結(jié)果，如圖5 所示。

圖4 20 m 間距標(biāo)準(zhǔn)空區(qū)模型

圖5 不同埋深礦柱安全系數(shù)云圖

在礦柱穩(wěn)定的情況下，為了準(zhǔn)確分析礦柱應(yīng)力與礦柱埋深、礦柱間距之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)不同間距、不同埋深情況下所有礦柱的安全系數(shù)，如表3 所示。

表3 20 m 間距下礦柱安全系數(shù)

可以看出在100 m、200 m 和300 m 埋深時(shí)，最小安全系數(shù)往往出現(xiàn)在礦柱的外表面位置，同時(shí)最小安全系數(shù)隨著埋深增加而逐漸減小且都大于1，表明礦柱穩(wěn)定性良好。 隨著埋深增加，最小安全系數(shù)出現(xiàn)在礦柱的四周和頂部位置，表明隨著上覆巖層重力增加，礦柱頂部所受壓力增加，其安全系數(shù)也會(huì)相應(yīng)減小。

4 礦柱安全系數(shù)優(yōu)化研究

為了深入分析礦柱應(yīng)力與礦柱埋深、礦柱間距之間的關(guān)系，通過(guò)Matlab 軟件對(duì)所有的礦柱安全系數(shù)進(jìn)行二元多項(xiàng)式擬合（如圖6 所示），可得到礦柱應(yīng)力與礦柱埋深、礦柱間距之間的函數(shù)關(guān)系式。 本文在進(jìn)行礦柱穩(wěn)定性分析時(shí)，均選用Bieniawski 礦柱強(qiáng)度公式，因此基于擬合出的函數(shù)關(guān)系，可推導(dǎo)出礦柱應(yīng)力計(jì)算公式為：

式中σp為礦柱應(yīng)力，MPa；L為礦柱間距，m；H為礦柱埋深，m。

圖6 二元多項(xiàng)式擬合曲面圖

基于Bieniawski 礦柱強(qiáng)度公式，可得出適合該礦區(qū)的礦柱安全系數(shù)計(jì)算公式為：

5 結(jié) 語(yǔ)

1） 基于面積承載理論對(duì)礦柱所受荷載進(jìn)行了詳細(xì)分析，推導(dǎo)出基于面積承載理論的礦柱安全系數(shù)的計(jì)算公式。 基于普氏理論推導(dǎo)了礦柱實(shí)際承載上覆巖層的厚度，通過(guò)力學(xué)平衡分析推導(dǎo)了單個(gè)礦柱內(nèi)荷載的計(jì)算公式，最終推導(dǎo)出基于普氏理論的礦柱安全系數(shù)的計(jì)算公式。

2） 基于面積承載理論和普氏理論計(jì)算了采空區(qū)內(nèi)1 365 根礦柱的安全系數(shù)，結(jié)果表明基于面積承載理論的礦柱安全系數(shù)計(jì)算公式過(guò)于保守，與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際不符。 對(duì)比分析可知，對(duì)于鉛鋅礦區(qū)埋深100 ～300 m的礦柱（占比85%），2 種理論計(jì)算的礦柱安全系數(shù)之間存在著線性相關(guān)性。

3） 通過(guò)Midas GTS 和FLAC3D耦合建模的方法，以鉛鋅礦區(qū)Ⅴ礦區(qū)3 采區(qū)為例，構(gòu)建了不同礦柱間距與礦柱埋深的標(biāo)準(zhǔn)空區(qū)模型，研究礦柱應(yīng)力與礦柱間距、礦柱埋深之間的關(guān)系，并通過(guò)Matlab 軟件進(jìn)行二元多項(xiàng)式擬合，最終得到了優(yōu)化后的礦柱安全系數(shù)計(jì)算公式。

4） 本文僅對(duì)礦柱上覆荷載進(jìn)行了優(yōu)化研究，未對(duì)礦柱強(qiáng)度公式作進(jìn)一步討論，有待下一步細(xì)化研究。