幾何初步中角度問題的典型錯誤及對策研究*

于春艷 魏寶軍 孫 丹

(1.重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院, 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院 重慶 合川 401520)(2.重慶市潼南實驗中學(xué)校 重慶 潼南 402660)

1.引言

幾何問題是初等數(shù)學(xué)中的重要研究對象，對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力、空間想象能力、邏輯思維能力、推理判斷能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的作用，所以無論是在中考數(shù)學(xué)，還是高考數(shù)學(xué)中都將其作為重要考點。而作為考點的幾何問題隨之變成了難點，很多基礎(chǔ)很好的學(xué)生也在幾何問題上遇到困難或者無從下手，僅僅根據(jù)課標(biāo)的要求，根據(jù)課本上的內(nèi)容去教學(xué)、去學(xué)習(xí)是不夠的，因此對幾何問題的解題以及錯題的研究就變得至關(guān)重要。

羅增儒在《解題分析——談錯例分析》一文中提出"解題錯誤的產(chǎn)生總有其內(nèi)在的合理性"，所以教師能夠弄清楚其中的合理成分，然后有針對性的、巧妙的引導(dǎo)學(xué)生避免錯誤是非常重要的。本文以2011年修訂的全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，以真實性為原則，以還原學(xué)生的實際思維過程為基本，以找到解決對策為目標(biāo)，對七年級數(shù)學(xué)幾何初步中的角度問題進(jìn)行錯例研究。通過收集學(xué)生的平時作業(yè)以及考試中的幾何初步錯題，對在此部分內(nèi)容學(xué)習(xí)過程中存在困難的學(xué)生進(jìn)行訪談，與代課老師進(jìn)行交流研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決此類問題的過程中，出錯的一大原因是解題過程中存在很大的審題障礙，這種審題障礙是具有普遍性的，這種讀題、審題障礙對后續(xù)幾何知識的學(xué)習(xí)造成了很大的負(fù)面影響。本文對主要的幾種出錯原因與障礙進(jìn)行分類，給出了相應(yīng)的解決對策。

2.錯例分析

將教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的錯誤答案和易出錯問題進(jìn)行整理，針對幾何初步中的角度問題提出四種類型的錯誤，分別為審題障礙型錯誤、基礎(chǔ)過程型錯誤、習(xí)慣性濫用條件型錯誤和心理暗示性增加條件型錯誤。針對以上四種具體的錯誤類型，本部分給出具體的例子，并對產(chǎn)生此種錯誤的原因進(jìn)行了細(xì)致的分析與解剖。

2.1 審題障礙型錯誤。審題障礙性錯誤是指在審題的過程中發(fā)生的理解上的缺失和障礙，從而導(dǎo)致的解題錯誤。此種錯誤形成的因素往往很簡單，對于基礎(chǔ)較好的錯題者來說，大多數(shù)情況下，只要能引導(dǎo)他讀懂題目中的隱含條件，往往整個問題都迎刃而解。所以說，此種錯誤一旦出現(xiàn)，就是致命的。

幾何問題本身就具有復(fù)雜性與綜合性強等特點，將碎片化的已知條件進(jìn)行篩選整合是解決此類問題的 關(guān)鍵。對于七年級學(xué)生來說，智力發(fā)展水平處于較低的層次，具體表現(xiàn)為邏輯能力比較差、知識遷移能力不足，不能夠很好的把題目中給定的條件轉(zhuǎn)化為解決問題需要的量與關(guān)系，對于稍加變動的題目條件與隱含的條件沒有理解應(yīng)用的能力，不能夠?qū)⒏鞣N零散的信息加工處理，使其變?yōu)榭杀蛔约核褂玫慕鉀Q問題的工具。比如以下幾種常見的情況：

情況1. 未發(fā)現(xiàn)題目隱含條件。很多學(xué)生在解一些有幾何圖形的角度問題時有一個疑問，明明題目中沒有給出與角度有關(guān)的已知條件，但是卻要求解某個角的具體度數(shù)，造成解題時無從下手。如：在解題時已知AB是線段，O是線段AB的中點，卻反應(yīng)不出隱含條件∠AOB=180°.

情況2. 找不到幾何圖形中的關(guān)鍵角。面對一些圖形比較復(fù)雜的幾何題目，很多學(xué)生看不清題目，不能有效的篩選關(guān)鍵信息，很難有效利用題目中已知條件，找到解題的突破口。例如，在求解圖形中的角的度數(shù)的時候，復(fù)雜一點的幾何圖形中會包含多個角，有些學(xué)生因為找不到關(guān)鍵角，所以將每個角度都逐一討論分析，浪費了解題時間，消耗了解題自信,導(dǎo)致最終的解題失敗。如下例

將兩副銳角分別為45°,45°和30°,60°的兩個三角板的兩個頂點如圖重疊放在一起．

如在圖1，當(dāng)∠DAC=4∠BAD時， 求∠CAE的度數(shù)；

如圖2，當(dāng)∠ACE=3∠BCD時，求∠ACD的度數(shù)．

解 (1)因為∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC=4∠BAD,

所以5∠BAD=90°,即∠BAD=18°.

所以∠DAC=4×18°=72°.

又因為∠DAE=90°,

所以∠CAE=∠DAE-∠DAC=18°.

(2)因為∠BCE=∠DCE-∠BCD=60°-∠BCD,∠ACE=3∠BCD,

所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=3∠BCD+60°-∠BCD=90°.

解得∠BCD=15°.

所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+15°=105°.

這道題目的難度并不高，題目條件也比較明顯，但是這道題目的得分率很低，大多數(shù)學(xué)生都能夠?qū)懗鲆恍┓治鲞^程，但是仔細(xì)研究他們寫出的分析過程就會發(fā)現(xiàn)，解題過程中有很多用不上的多余結(jié)論，并沒有緊緊圍繞關(guān)鍵條件與關(guān)鍵問題進(jìn)行分析討論。犯了這種錯誤的一部分學(xué)生表示自己做錯的原因是看不清圖形，不知道題目條件怎么用，對他們來講，這么多的題目條件并沒有為解題提供便利，反而讓自己找不到突破口。這種現(xiàn)象主要針對此類比較復(fù)雜、涉及的角比較多的幾何圖形問題。

正確的審題是解題成功的一半, 但是仍然有很多學(xué)生在成功審題之后的解題過程中犯了嚴(yán)重的錯誤導(dǎo)致解題失敗。

2.2 基礎(chǔ)過程型錯誤。解題是一個復(fù)雜的認(rèn)知反饋活動，即使能夠保證在審題時不出現(xiàn)以上幾種錯誤，也不能保證一定能夠得到完全正確的步驟與解題結(jié)果。因為在解題過程中也可能由于知識點掌握不牢固，邏輯思維混亂，心理狀況等情況導(dǎo)致解題失敗或錯解。在進(jìn)行學(xué)習(xí)情況分析時，我們經(jīng)常聽到的一種措詞就是"粗心"，需要引起大家注意的是"粗心"絕對不是指心粗，不是說學(xué)生性格等方面的問題。一般情況下，粗心所代表的其實就是學(xué)生在解題過程中犯的一些簡單錯誤的行為，這些錯誤往往比較低級，很多學(xué)生可能很容易就能發(fā)現(xiàn)或者能糾正這類錯誤，所以比較容易忽視，事實上，任何錯誤都有其內(nèi)在的合理性，這些劃分到"粗心"類中的錯誤往往就是因為知識點掌握不牢固、邏輯思維能力差、心理素質(zhì)不穩(wěn)定等原因。

2.3 習(xí)慣性濫用條件型錯誤。準(zhǔn)確的理解并使用題目條件是解決幾何問題的關(guān)鍵，對于初步接觸復(fù)雜的幾何問題的學(xué)習(xí)者，在解題過程中容易出現(xiàn)下述兩種錯誤情況:

情況3. 錯用多問題題目的條件與結(jié)論。面對多問題的題目，學(xué)生不理解多問題之間的關(guān)系，亂用錯用題目條件導(dǎo)致解題失敗。多問的幾何問題，每個問題之間的關(guān)系可以是相關(guān)的，即前面問題中的條件有可能也是下一問題的條件，前一問題的結(jié)論也有可能可以作為下一問題的條件直接使用，但是在很多情況下，前一問題的條件與結(jié)論可能與后續(xù)問題沒有直接聯(lián)系或者毫無聯(lián)系。初一學(xué)生第一次接觸較為復(fù)雜的幾何問題，很多人對于多個問題之間的關(guān)系是模糊的，混淆的，不清楚的，導(dǎo)致解題時相當(dāng)盲目.

情況4. 心理暗示性增加題目條件。面對復(fù)雜的幾何圖形，很多學(xué)生會臆想題目中未給出的一些條件，比如將題目中未給出角度且沒有直角符號標(biāo)識的某個角度視為直角，將視覺上觀察到的某兩條線段當(dāng)成相等線段，某兩個角度當(dāng)成相等角。受這些臆想的本不存在的條件的影響，得到一些錯誤的結(jié)論導(dǎo)致解題結(jié)果的錯誤。

情況5. 忽略作圖的不唯一性。對于未給出圖形的問題，會忽略作圖的不唯一性，往往只考慮其中一個方面，忽視另一種可能，造成解題不完整不全面的問題。

例2 已知∠AOB=75°,∠AOC=2/3∠AOB,OD平分∠AOC，求∠BOD的大小。

解 因為∠AOB=75°，∠AOC=2/3∠AOB，

所以∠AOC=2/3×75°=50°.

因為OD平分∠AOC,

所以∠AOD=∠COD=25°.

如圖1，∠BOD=75°+25°=100°;

如圖2，∠BOD=75°-25°=50°

此題的易錯點就是∠AOC的作圖有兩種可能的情況，一種是在線段OC的左側(cè)，另一種是在線段OC的右側(cè)。很多學(xué)生在做題的時候由于思維定勢等原因會忽略線段OC的唯一性。

當(dāng)然，上述幾種錯誤情況并沒有涵蓋所有可能的錯誤情況，還有一些出現(xiàn)頻率比較低，或簡單的計算錯誤等不作為本文的研究重點。

3.歸因分析及對策研究

本部分我們針對以上幾種類型的錯誤情況進(jìn)行歸因分析，并針對不同的情況與原因給出比較具體，可實施的對策。

我們發(fā)現(xiàn)，對于情況1，如果讓此問題單獨存在，即不與其他因素與條件進(jìn)行結(jié)合，幾乎所有的學(xué)生都能夠看出∠AOB=180^。這一結(jié)論，但為什么只需要稍微增加一些條件與問題，很多學(xué)生就理解不到這一點呢？對于情況2，在復(fù)雜的幾何圖形中，學(xué)生往往不能夠準(zhǔn)確找到題目中的關(guān)鍵角,但是如果在教師的引導(dǎo)或者提醒下卻可以完整的解題。以上幾種情況代表的審題障礙型錯誤的原因有以下幾點：(1)基礎(chǔ)知識理解不扎實。對所學(xué)的基礎(chǔ)知識沒有完全熟練掌握，在被動的情況下，通過老師同學(xué)的引導(dǎo)、暗示、提醒等，可以得到想要的結(jié)果，但是在沒有人引導(dǎo)的情況下，具有很低的判斷與分析能力，這都應(yīng)該歸因于對于基礎(chǔ)知識的掌握與理解不扎實。 避免把數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)成解題的教學(xué)，要注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識，基礎(chǔ)概念的的理解與掌握，增加教學(xué)評價方式的多樣化，在討論、探究、辯論的過程中可以更好地反映學(xué)生對具體問題的理解與思考，教師在教學(xué)過程中可以利用這個優(yōu)勢，通過討論、探究、辯論等更加靈活的方式考查學(xué)生對基本概念、基本理論的理解程度。(2)在解題狀態(tài)中缺乏高度集中的注意力。解數(shù)學(xué)題是一個需要高度精確的工作，所以在解題過程中需要解題者保持身心合一的狀態(tài),很多學(xué)生在解題的過程中并沒有達(dá)到思維高度集中的狀態(tài)，注意力分散，容易被別的事情干擾，這樣的話，很容易在審題過程中發(fā)生錯用、忽視題目條件，或者在解題過程中發(fā)生一些低級的過程性、結(jié)果性錯誤。培養(yǎng)或提高解題過程中的注意力不是單一的工作，通過提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與認(rèn)識，形成良好的解題感覺可以保持注意力的集中。

對于情況3，情況4，情況5中解題條件的理解上存在的問題，形成的原因主要有以下幾點(1)缺乏綜合性幾何問題的解題經(jīng)驗。對多問題題目的各個條件理解不到位，導(dǎo)致錯用亂用條件與結(jié)論導(dǎo)致解題失敗。 多問題幾何題目中前面的問題是否可以作為其他問題的條件取決于第1個問題除了題目中的大條件之外有沒有其他的附加條件，如果有附加條件，就要考察其他問題是否有完全一致的附加條件，否則不能作為條件與結(jié)論應(yīng)用在其他問題的解答過程中。(2)思維定勢不利于解決開放性幾何問題。在長期解題或作圖過程中會形成自己的解題與作圖習(xí)慣，比如做角，有些學(xué)生習(xí)慣于在已知線段的左側(cè)作圖，那么對于很多開放性問題，他可能就想不到針對既有線段，既可以在左側(cè)，也可以在右側(cè)做出角。對于題目中沒有給出圖形，但是解題過程需要結(jié)合圖形完成的這類題目，必須要考慮作圖的不唯一性。(3)感知分析力差導(dǎo)致各條件的整合存在問題。在解決幾何問題的過程中，很多學(xué)生把題目條件以及圖形中的所有隱含條件都能夠找到，但是卻找不到各個條件之間的聯(lián)系以及這種聯(lián)系與解決題目核心問題之間的關(guān)系。感知分析力差往往與學(xué)情基礎(chǔ)有很大的關(guān)系，可以通過先解決基礎(chǔ)題目，再嘗試復(fù)雜題目，先解決單問題題目再解決多問題題目等由簡單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)、教學(xué)模式，提升對各個知識點的感知分析力。