二叉樹定價(jià)理論在中國金融市場(chǎng)的應(yīng)用

孟延

摘要：作為一種重要的金融衍生品，期權(quán)可以械投資者用于減少風(fēng)險(xiǎn)（“對(duì)沖”）或增加風(fēng)險(xiǎn)（“投機(jī)”），以此來實(shí)現(xiàn)自身的投資目標(biāo)，一個(gè)合理的期權(quán)定價(jià)對(duì)于投資者來說非常重要。本文運(yùn)用二叉樹模型，對(duì)中國期權(quán)市場(chǎng)中的歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)與分析，以R語言為媒介完成了從數(shù)據(jù)獲取到模型建立的過程，并對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行了分析，為一定情況下國內(nèi)市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)提供了一定的參考。

關(guān)鍵詞：期權(quán);定價(jià);二叉樹模型;R語言

上證50ETF期權(quán)是以上證60為標(biāo)的物的上證60etf交易型指數(shù)基金為標(biāo)的衍生的標(biāo)準(zhǔn)化合約，于2015年2月9日由上海證券交易所上市，是國內(nèi)的第一支期權(quán)。本文將選取華夏上證50ETF期權(quán)1910認(rèn)購2.70、2.80、2.90、3.00、3.10等五支期權(quán)作為標(biāo)的資產(chǎn)。

一、數(shù)據(jù)獲取

本文采用R語言中的Tushare包獲取上證50etf期權(quán)及其對(duì)應(yīng)基金的厲史數(shù)據(jù)。

二、模型建立

建立一個(gè)二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，我們需要確認(rèn)標(biāo)的物價(jià)格（S）、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格（K）、二叉樹步長（T）及步數(shù)（N）、市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率（r）、標(biāo)的物價(jià)格變動(dòng)比率（u及d）。

（一）基金價(jià)格S

選取2019年7月1日至2019年10月1日期間每個(gè)交易日的基金收盤價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S。上證50ETF的歷史價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下：

（二）期權(quán)執(zhí)行價(jià)格（K）

由選取的標(biāo)的資產(chǎn)名稱可見，執(zhí)行價(jià)格分別為K₁=2.70、K₂=2.80、K₃=2.90、K₄=3.00、K₅=3.10。

（三）二叉樹步長（T）及步數(shù)（N）

本文選取華夏上證5OFTF期權(quán)1910于2019年9月19日的價(jià)格作為模擬對(duì)象，由于標(biāo)的資產(chǎn)的到期日為2019年10月1日，且期權(quán)市場(chǎng)周末關(guān)閉，因此價(jià)格變動(dòng)步長N=7。由于我們選取的是上證50ETF基金每天的收盤價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)不同時(shí)間段的價(jià)格，因此模型中標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是一天一變的，即T=1。

（四）市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率（r）

由于不清楚國內(nèi)市場(chǎng)中投資者的投資偏好，在這里我們選取三個(gè)風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低的投資方式，即活期存款、定期存款及貨幣基金的利率分別作為無風(fēng)險(xiǎn)利率，分別帶人模型進(jìn)行擬合，選取較為合適的一個(gè)。

根據(jù)央行發(fā)布的2019年金融機(jī)構(gòu)人民幣存款基準(zhǔn)利率調(diào)整表，2019年活期存款年利率為035%，3月期的定期存款年利率為1.10%。

根據(jù)支付寶數(shù)據(jù)，月報(bào)貨幣基金七日年化收益率為1.39%。

（五）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)比率（u和d）

標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)比率并不能直接從市場(chǎng)上獲得，而需要進(jìn)行合理的估算，這需要標(biāo)的資產(chǎn)的收益率及波動(dòng)率。

1.收益率

我們將基金每日價(jià)格進(jìn)行差分，得到基金的每日漲跌額，并將其與前一日的基金收盤價(jià)相處，得到基金的每日收益率，其計(jì)算公式如下：

Rt=St-St-1/St-1

計(jì)算后基金每日收益率統(tǒng)計(jì)如下：

2.數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為了排除偶然因素的干擾，提高數(shù)據(jù)的可靠度，我們借助R語言判斷收益率數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)分布，并得到結(jié)果如下：

可見數(shù)據(jù)通過假設(shè)檢驗(yàn)，滿足正態(tài)分布，從而驗(yàn)證了數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性及有效性。

3.波動(dòng)率

波動(dòng)率分為歷史波動(dòng)率及隱含波動(dòng)率兩種，其中，歷史波動(dòng)率是標(biāo)的資產(chǎn)歷史收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，而隱含波動(dòng)率是將目前的市場(chǎng)價(jià)格反向帶人B-S模型求解出來的，包含了投資者對(duì)未來波動(dòng)率的預(yù)期。本篇文章中，由于缺乏隱含波動(dòng)率信息獲取渠道，我們將代人歷史波動(dòng)率進(jìn)行計(jì)算。

波動(dòng)率可由標(biāo)的資產(chǎn)的收益率標(biāo)準(zhǔn)差得到。根據(jù)統(tǒng)計(jì)出的上證50ETF基金2019年9月I日至2019年11月I日的收益率，我們計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差，用σ來表示標(biāo)的資產(chǎn)的歷史波動(dòng)率，從而得到σ=0.0100843

4.價(jià)格變動(dòng)比率（u、d）0.9899664。

三、模型結(jié)果比較分析

我們選取2019年9月19日的上證50ETF期權(quán)作為估值對(duì)象，將現(xiàn)價(jià)S=3.026，行權(quán)價(jià)K=2.70、2.80、2.90，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.35%、1.10%、1.39%，期限T=11，二叉樹步數(shù)N=7，波動(dòng)率σ=0.0100943代入二叉樹模型進(jìn)行計(jì)算，得到如下結(jié)果：

由表可見，當(dāng)行權(quán)價(jià)為2.70、2.80、2.90時(shí)，模型擬合較為成功，在三種不同的無風(fēng)險(xiǎn)利率情況下，誤差都在4.1%左右。三種利率的差異不大，其中活期利率誤差最小。這與我們?cè)O(shè)定的二叉樹周期較短存在一定的關(guān)系。

當(dāng)計(jì)算周期較長的期權(quán)價(jià)格時(shí)，應(yīng)盡量采用活期利率進(jìn)行計(jì)算，可以使結(jié)果更為精準(zhǔn)。

值得注意的是，當(dāng)行權(quán)價(jià)為3.00及3.10時(shí)，模型出現(xiàn)了較大的偏差。這展現(xiàn)了二叉樹模型的缺陷，即在步數(shù)N較短的情況下，對(duì)于小概率的邊緣價(jià)格的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)較大偏差，這個(gè)問題可以通過縮短步長T、增加步數(shù)N來解決。在增加步數(shù)時(shí)，需要注意兩個(gè)問題。其一是，在期權(quán)有效時(shí)間固定的情況下，增加步數(shù)意味著必須將步長縮短至不足一天，波動(dòng)率的計(jì)算將無法利用期權(quán)市場(chǎng)每日發(fā)布的收盤價(jià)，而必須通過更為精確的實(shí)時(shí)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行計(jì)算，大大增加了信息收集的難度;其二是，當(dāng)步數(shù)較多時(shí)，二叉樹模型的計(jì)算量將成倍增長。因此，當(dāng)運(yùn)用二叉樹模型時(shí)，選擇一個(gè)合適的T及N極為重要。

四、結(jié)語

在使用工具方面，本文從獲取數(shù)據(jù)到建立模型均采用R語言編程進(jìn)行，結(jié)果的求』1又較為便利。通過將真實(shí)數(shù)據(jù)與模擬價(jià)格進(jìn)行比對(duì)，可以發(fā)現(xiàn)，在情況適宜的情況下，二叉樹模型擬合良好，誤差率在4.1%左右，這表明二叉樹模型對(duì)于中國金融市場(chǎng)中的期權(quán)定價(jià)具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

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