基于頻率法的理論計算吊桿索力研究

艾玉麒，黃方林，馮帆，黃啟宣

基于頻率法的理論計算吊桿索力研究

艾玉麒，黃方林，馮帆，黃啟宣

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

為提高工程中吊桿索力計算精度，引入系桿拱橋吊桿一端鉸支一端固支的邊界條件，并考慮叉耳對吊桿振動的影響，采用能量法推導出吊桿索力和吊桿自振頻率之間的顯式表達式。在此基礎(chǔ)上，進一步推導出考慮溫度影響的吊桿索力和自振頻率之間的顯式表達式，依據(jù)溫度修正計算吊桿索力值，并與設(shè)計索力值對比。以新城大橋為實例，利用本文方法與傳統(tǒng)方法進行計算，并與大橋?qū)崪y索力進行比較，本文方法計算結(jié)果與實測值更為接近；且采用本文考慮溫度影響的計算式二次計算索力后，結(jié)果表明吊桿索力值隨溫度降低而增大。研究結(jié)果表明：采用本文方法計算吊桿索力能提高計算精度。

系桿拱橋；邊界條件；吊桿索力；頻率；溫度

對于中、下承式系桿拱橋，吊桿是其關(guān)鍵組成部分，橋面和主梁由吊桿支承，吊桿將上部結(jié)構(gòu)自重與活荷載傳遞給拱肋。吊桿在施工過程中和成橋后起著控制橋梁幾何形狀和構(gòu)件線形的重要作用，因此必須對其受力進行監(jiān)測，以避免橋梁產(chǎn)生過大應力，且吊桿索力測量的準確與否直接關(guān)系到整橋的內(nèi)力分布和線形控制。目前，索力測量方法主要有油壓表法、壓力傳感器法、磁通量法和頻率法 等[1?2]。上述幾種方法中，以頻率法最為經(jīng)濟、實用，因而應用最為廣泛[3]。為確定吊桿索力和頻率之間的關(guān)系，國內(nèi)外許多學者進行了相應研究分析[4?6]，考慮吊桿的不同邊界條件[8?9]、吊桿自身參數(shù)[10]、環(huán)境溫度的變化[12?13]對吊桿索力的影響?，F(xiàn)有研究中，一些吊桿索力計算式往往不能表達實際吊桿邊界條件，且沒有全面考慮吊桿自身參數(shù)，致使計算結(jié)果誤差較大；一些吊桿索力計算方法需要實測吊桿邊界條件的參數(shù)[14?15]，且在工程中這些參數(shù)不便測量；考慮溫度對吊桿索力的影響時，僅考慮吊桿的熱脹冷縮，未考慮拱肋和橋面系對吊桿約束的影響，將會導致計算結(jié)果不準確。針對以上問題，因考慮到大多數(shù)的中、下承式系桿拱橋中吊桿的邊界條件可以簡化為一端鉸支一端固支(如吊桿上端固支于拱肋，下端鉸支于鋼梁)。為了能更好地模擬實際情況，本文采用頻率法，從吊桿實際邊界條件出發(fā)，引入一端鉸支一端固支的邊界條件。由于鉸支端的叉耳質(zhì)量較大，對于吊桿的振動影響不能忽略。推導出考慮叉耳對吊桿自振頻率影響的吊桿索力計算式。在此基礎(chǔ)上，推導消除溫度影響的計算吊桿索力公式，通過新城大橋的實際試驗結(jié)果驗證了計算公式的有效性。

1 吊桿張力計算模型

振動法測試吊桿張力的理論基礎(chǔ)是弦振動理論?？紤]到中、下承式拱橋吊桿約束的特點，本文引入一端鉸支一端固支的邊界條件，并考慮到叉耳對吊桿自振頻率的影響。本文將叉耳等效簡化為長度為2的吊桿，具體模型圖如圖1所示。其中，1和2分別為吊桿和叉耳的抗彎慣性矩，1和2分別為吊桿和叉耳的長度。吊桿和叉耳的彈性模量為。

圖1 吊桿計算模型圖

2 系桿拱橋吊桿索力計算實用公式

2.1 叉耳對吊桿索力的影響

對于系桿拱橋來說，由于吊桿長度相對于拉索較短，斜度小，因此不用考慮吊桿斜度和垂度影響。由圖1的吊桿計算模型，應用動力學普遍原理，可以建立其無阻尼自由振動方程[7]：

式中：為吊桿索力，假定其為常量；1()和2()分別為吊桿和叉耳的橫向位移函數(shù)；1和2分別為吊桿和叉耳的抗彎剛度；1和2分別為吊桿和叉耳的線密度。

考慮到叉耳和吊桿之間的聯(lián)系為固結(jié)，且叉耳長度遠小于吊桿長度。因此可以近似處理兩者的位移函數(shù)：

采用分離變量法，位移函數(shù)()可以用廣義坐標()和形狀函數(shù)()表示為：

由于式(1)為線性微分方程，其自由振動為簡諧振動，可以解出：

吊桿振動的總動能為：

最大動能為：

吊桿振動的總勢能為：

最大勢能為：

根據(jù)吊桿端部的平衡條件，一端鉸支一端固支的邊界條件可以表述為：

一般情況下吊桿的凈截面直徑與計算長度之比很小，故不考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響?？梢缘玫叫螤詈瘮?shù)的一般形式：

式中：1，2，3和4為待定系數(shù)，由吊桿邊界條件確定。將邊界條件代入上式計算，可得2=0，4=0，并有方程組：

因形狀函數(shù)()不為0，則常系數(shù)1和3不全為0。由行列式為0得：

由上2式可得1和3關(guān)系并將此代入式(14)得出形狀函數(shù)表達式：

由式(14)可得1=3.926 6(基頻)。將形狀函數(shù)()的解析式和基頻代入式(13)可以得到：

整理上式得吊桿索力顯式表達式：

當2=0時，即不考慮叉耳對吊桿振動的影響，可以得到與文獻[9]相同的結(jié)果。

2.2 溫度對吊桿索力的影響

吊桿材料受溫度的變化而熱脹冷縮，將會導致吊桿長度的變化，進而使吊桿振動頻率發(fā)生變化，致使頻率法計算公式得出的索力值與設(shè)計索力值差別較大。

在系桿拱橋的施工和檢測中，吊桿索力的設(shè)計值是基于年平均溫度時結(jié)構(gòu)受力給定的。單根吊桿的索力受溫度變化值為：

式中：Δ為索力變化量；為線膨脹系數(shù)；為橫截面積；1為實時溫度；為設(shè)計溫度(年平均溫度)。

創(chuàng)新政策舉措。尊重群眾意愿，把農(nóng)村新型社區(qū)建設(shè)與改善低收入群眾住房條件、建設(shè)美麗鄉(xiāng)村和土地增減掛鉤相結(jié)合，讓低收入戶、低保戶等困難群眾優(yōu)先進入新型社區(qū)。今年上半年，全縣新實施入庫增減掛鉤項目5537畝，占補平衡項目2900畝。

在實際情況下，吊桿索力的變化受到拱肋和橫梁及其他吊桿的約束，其索力變化量應該為：

為溫度修正系數(shù)，由相應的有限元模型計算得到。實時溫度下對應的設(shè)計索力1為：

由式(17)，(19)和(20)可以得到實時溫度下對應的設(shè)計索力1為：

3 實例驗證

3.1 工程概況

新城大橋主橋采用(36+148+36) m飛燕式鋼箱系桿拱橋結(jié)構(gòu)形式，主橋全長220 m。拱肋矢高37 m，矢跨比1/4，主、邊拱肋均向橋軸中心線傾斜，傾角為76.826°，邊拱肋兩端之間設(shè)置系桿索，平衡拱肋推力。吊桿采用7 mm高強度鍍鋅鋼絲，全橋共布置13對吊桿，吊桿沿橋縱向為垂直布置，標準間距為8 m，吊桿詳細編號見圖2。

圖2 吊桿編號

全橋吊桿采用PESC7-73和PESC7-91 2種規(guī)格，HL1和 HR1吊桿型號為PESC7-91，其他吊桿型號為PESC7-73，吊桿的熱膨脹系數(shù)為1.2× 10?5℃。因一側(cè)的吊桿具有對稱性，本文選取其左右幅共6根吊桿。選取吊桿的具體參數(shù)及實測頻率如表1~2所示。

表1 吊桿參數(shù)表

表2 吊桿的實測頻率

3.2 試驗值和計算值對比

3.2.1 叉耳對吊桿索力的影響

為驗證叉耳對吊桿索力的影響，將實測頻率代入文獻[8]、文獻[9]及本文式(17)，計算得到的索力值分別與索力實測值作為對比，本文推導的考慮叉耳影響的實用索力計算公式設(shè)定為3，計算結(jié)果對比如圖3和圖4所示。

圖3 吊桿索力

圖4 索力誤差

3.2.2 溫度對吊桿索力的影響

新城大橋吊桿索力值對應設(shè)計溫度為16 ℃，測量時溫度為12 ℃，溫差為4 ℃，用Δ表示。由工程軟件計算得出溫度修正系數(shù)，如表3所示。

表3 各桿的溫度修正系數(shù)

為驗證溫度對吊桿索力的影響，將實測頻率代入本文式(17)和本文式(21)，計算得到的索力值分別與索力設(shè)計值0對比，本文推導出的考慮溫度影響的實用索力計算公式設(shè)定為4；不考慮溫度影響的吊桿索力用3(同上)表示；25 ℃季溫影響下用4j表示。計算結(jié)果對比和誤差如圖5和圖6所示；在25 ℃季溫影響下索力計算結(jié)果對比如圖7所示。

圖5 考慮溫度的吊桿索力

圖6 考慮溫度下的索力誤差

由圖5和圖6可以得到，在吊桿其他條件不變的情況下，溫度降低，索力大小呈上升的趨勢。當實際溫度比設(shè)計溫度低4 ℃時，由本文式(21)得出的計算索力略低本文式(17)的計算索力4~10 kN。兩者相比于設(shè)計值，考慮溫度影響的索力計算值式(21)更接近設(shè)計索力，誤差在4%以內(nèi)。

由圖7可得，若考慮到25 ℃季溫的影響，本文式(21)和本文式(17)的差值在25~64 kN范圍內(nèi)，占到自身索力的2%~6%。表明當溫度變化較大的情況下，溫度對于索力計算的影響不能忽略。

圖7 季溫影響下吊桿索力

4 結(jié)論

1) 本文方法考慮了系桿拱橋?qū)嶋H邊界條件，由計算得出的索力與實際索力誤差在2%以內(nèi)，表明本文公式可以用于系桿拱橋吊桿索力的頻率法 測量。

2) 當實測溫度與年設(shè)計溫度相差不大時，溫度效應對于索力測量誤差不大，如果溫差大(如季溫差)就需要考慮溫度對索力的影響。

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Theoretical calculation of suspender tension based on frequency method

AI Yuqi, HUANG Fanglin, FENG Fan, HUANG Qixuan

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

In order to improve the calculation accuracy of cable forces of suspenders in engineering, the boundary condition of one end hinged and one end fixed for the tied arch bridge is introduced, and the influence of the fork on the vibration is considered in this paper. The energy method was used to derive the explicit expression between the cable force of suspenders and the natural vibration frequency. On this basis, the explicit expression between the cable force and the natural frequency of the suspenders by considering the temperature influence was further derived, and the cable force of the suspenders was calculated according to the temperature correction, and compared with the design tension value. Taking the Xincheng Bridge as an example, the calculated results of this method are closer to the measured ones comparing with the traditional method. The results show that the cable forces increase with the decrease of temperature. The above results show that using this method to calculate the cable force of the boom can improve the calculation accuracy.

tied arch bridge; boundary conditions; suspenders force; natural frequency; temperature

U448.22；TH113

A

1672 ? 7029(2020)08 ? 2030 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190935

2019?10?23

國家自然科學基金資助項目(51378504)

黃方林(1964?)，男，湖南邵東人，教授，博士，從事信號分析與處理、橋梁健康監(jiān)測；E?mail：375339481@qq.com

(編輯 蔣學東)