關(guān)于GA凸函數(shù)Hermite-Hadamard型不等式的差值估計(jì)

時(shí)統(tǒng)業(yè)，董芳芳

(海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800)

0 引言和引理

定義1[1]設(shè)f是定義在區(qū)間I?(0，+∞)上的函數(shù)，如果對(duì)于任意x，y∈I和t∈(0，1)，有

f(xty1-t)≤tf(x)+(1-t)f(y)，

則稱f是區(qū)間I上的GA凸函數(shù)。

文獻(xiàn)[2-4]分別建立了[a，b]上的GA凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式(1)、(2)、(3)。

(1)

(2)

f(aλb1-λ)≤K≤λf(a)+(1-λ)f(b)，

(3)

其中，f是[a，b]上的GA凸函數(shù)，λ∈(0,1)，

文[5-7]研究了由式(1)右邊不等式生成的差值的估計(jì)。文[8]建立了GA凸函數(shù)的Fejér型不等式

并研究了由此生成的差值的估計(jì)，在特殊情況下得到由式(2)生成的差值的估計(jì)。

借助GA凸函數(shù)與通常凸函數(shù)的關(guān)系，應(yīng)用關(guān)于通常凸函數(shù)的已有結(jié)果可以得到關(guān)于GA凸函數(shù)的結(jié)果。例如，文[9]利用文[10]建立的凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式，給出了式(3)左邊不等式生成的差值的估計(jì)：

0≤K-f(aλb1-λ)≤λ(1-λ)(lnb-lna)M，

(4)

其中λ∈(0,1)，f是[a，b]上的可微GA凸函數(shù)，

(5)

本文將主要研究由式(1)的左邊和式(3)生成的差值的估計(jì)，這是前述工作的繼續(xù)。

引理1 設(shè)0

|λf(p)+(1-λ)f(q)-f(pλq1-λ)|≤

λ(1-λ)(lnq-lnp)(Γ-γ)。

證明考慮函數(shù)g(s)=f(psq1-s)，對(duì)g(s)分別在[λ,1]和[0,λ]上使用微分中值定理，存在

ξ∈(λ,1)，η∈(0,λ)，使得

f(p)-f(pλq1-λ)=

(1-λ)(lnp-lnq)pξq1-ξf′(pξq1-ξ)，

f(q)-f(pλq1-λ)=

λ(lnq-lnp)pηq1-ηf′(pηq1-η)，

于是

λf(p)+(1-λ)f(q)-f(pλq1-λ)=

λ[f(p)-f(pλq1-λ)]+

(1-λ)[f(q)-f(pλq1-λ)]=

λ(1-λ)(lnq-lnp)×

[pηq1-ηf′(pηq1-η)-pξq1-ξf′(pξq1-ξ)]，

|λf(p)+(1-λ)f(q)-f(pλq1-λ)|=

λ(1-λ)(lnq-lnp)×

|pηq1-ηf′(pηq1-η)-pξq1-ξf′(pξq1-ξ)|≤

λ(1-λ)(lnq-lnp)(Γ-γ)。

|λf(p)+(1-λ)f(q)-

λf(px1-λ)-(1-λ)f(qx-λ)|≤

λ(1-λ)(Γ-γ)lnx。

證明類似于引理1的證明，這里略去。

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)，且存在常數(shù)γ和Γ使得對(duì)于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，則有

(6)

證明由引理1得

即式(6)得證。

(7)

類似可證

故式(7)成立。

推論1 設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)，且存在常數(shù)γ和Γ使得對(duì)于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，則有式(7)成立。

(8)

證明因?yàn)閒是[a，b]上的GA凸函數(shù)，故對(duì)于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

根據(jù)定理2則式(8)的右邊不等式得證。

即式(8)的左邊不等式得證。

定理3 設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)，且存在常數(shù)m和M使得對(duì)于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

則有

(9)

式(9)的右邊不等式得證。類似可證式(9)的左邊不等式。

推論3 設(shè)f是[a，b]上的二階可微函數(shù)，且存在常數(shù)m和M使得對(duì)于任意x∈[a,b]有

m≤xf′(x)+x2f″(x)≤M，

則有式(8)成立。

推論4 設(shè)f是[a，b]上的二階可微的GA凸函數(shù)，且存在常數(shù)M使得對(duì)于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，則有

(10)

其中

故式(10)得證。

定理5 設(shè)f是[a，b]上的GA凸函數(shù)，則有

(11)

證明由GA凸函數(shù)定義，當(dāng)x∈[a,I]時(shí)，有

類似地，當(dāng)x∈[I,b]時(shí)，有

故有

(12)

證明K-f(aλb1-λ)=

類似可證

故式(12)得證。

定理7 設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)，

(i) 若存在常數(shù)γ和Γ使得對(duì)于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，則對(duì)任意λ∈(0,1)，有

(ii) 若存在常數(shù)m和M使得對(duì)于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

則對(duì)任意λ∈(0,1)，有

證明(i) 可作為定理6的推論。也可用積分變量代換得

(1-λ)f(xλb1-λ)-f(aλb1-λ)

]dx，

利用引理1，有

|K-f(aλb1-λ)|≤

(1-λ)f(xλb1-λ)-f(aλb1-λ)

|dx≤

(ii) 由分部積分法得

類似可證

0≤K-f(aλb1-λ)≤

推論7 設(shè)f是[a，b]上的二階可微的GA凸函數(shù)，且存在常數(shù)M使得對(duì)于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，則對(duì)任意λ∈(0,1)，有

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

(13)

證明λf(a)+(1-λ)f(b)-K=

類似可證

λf(a)+(1-λ)f(b)-K≥

故式(13)得證。

定理9 設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)。

(i)若存在常數(shù)γ和Γ使得對(duì)于任意t∈[a,b]，γ≤tf′(t)≤Γ，則對(duì)任意λ∈(0,1)，有

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

(ii)若存在常數(shù)m和M使得對(duì)于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

則對(duì)任意λ∈(0,1)，有

λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

證明(i)可作為定理8的推論。也可利用積分變量代換得

λf(a)+(1-λ)f(b)-K=

利用引理2，有

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

(ii)由分部積分法得

λf(a)+(1-λ)f(b)-K=

類似可證

λf(a)+(1-λ)f(b)-K。

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

λ(1-λ)(lnb-lna)M。

0≤λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

(14)

推論10 設(shè)f是[a，b]上的二階可微的GA凸函數(shù)，且存在常數(shù)M使得對(duì)于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，則對(duì)任意λ∈(0,1)，有

0≤λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

2 應(yīng)用

例1 設(shè)f是[a，b]上的二階可微函數(shù)，且存在常數(shù)M使得對(duì)于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，則有

(15)

xg′(x)+x2g″(x)=M-xf′(x)-x2f″(x)≥0，

故g(x)是GA凸函數(shù)，應(yīng)用定理5經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算整理則式(15)得證。

例2 設(shè)f是[a，b]上的二階可微函數(shù)，且存在常數(shù)m使得對(duì)于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≥m，則有

(16)

xg′(x)+x2g″(x)=xf′(x)+x2f″(x)-m≥0，

故g(x)是GA凸函數(shù)，應(yīng)用定理5經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算整理則式(16)得證。

例3 設(shè)f是[a，b]上的二階可微函數(shù)，且存在常數(shù)m使得對(duì)于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≥m，則對(duì)任意λ∈(0,1)，有

λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

(17)

xg′(x)+x2g″(x)=xf′(x)+x2f″(x)-m≥0，

故g(x)是GA凸函數(shù)，應(yīng)用推論8經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算整理則式(17)得證。

注2 當(dāng)f是[a，b]上的二階可微的GA凸函數(shù)，且存在正的常數(shù)m使得對(duì)于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≥m時(shí)，顯然，式(16)是式(11)的加強(qiáng)，式(17)是式(14)的加強(qiáng)。