蝗蟲優(yōu)化算法求解跳-擴散模型參數(shù)估計問題

倪百秀，劉長平，李國成*

(1.皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012；2.淮陰工學(xué)院 管理工程學(xué)院，江蘇 淮安 223200)

0 引言

金融市場經(jīng)常會受到政治、經(jīng)濟和社會的突發(fā)事件等信息沖擊而造成資產(chǎn)價格的異常變動，學(xué)者們稱之為資產(chǎn)價格跳躍行為。Press[1]將跳躍因子加入到擴散模型，構(gòu)建復(fù)合事件模型，用于刻畫金融資產(chǎn)的價格過程。Merton[2]將跳躍過程引入到連續(xù)的隨機過程提出基于過程的期權(quán)定價模型，對著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式進行了完善，開啟了期權(quán)定價模型研究的新篇章。Kou[3]提出了非對稱的雙指數(shù)跳-擴散模型，具體刻畫了金融資產(chǎn)收益的概率分布的尖峰和厚尾等特征，合理地解釋了“波動微笑”現(xiàn)象。沈根祥[4]采用時點方差估計方法構(gòu)建跳檢驗統(tǒng)計量并對滬深300指數(shù)進行檢測，證實了跳的存在性，且跳的次數(shù)服從Poisson過程。黃苒和唐齊鳴[5]利用可變強度跳躍-GARCH模型來研究資產(chǎn)價格跳躍行為，劉楊樹等[6]利用多維跳躍擴散模型來研究跳躍風(fēng)險對期權(quán)復(fù)制收益的影響，巢文等[7]采用雙指數(shù)跳躍擴散模型對長壽債券定價進行研究，宮曉莉等[8]基于廣義雙指數(shù)分布的跳躍擴散模型研究股指期貨的波動。

盡管跳-擴散模型的理論和實證研究已取得了豐碩的成果，但是其參數(shù)估計問題仍是一個極具挑戰(zhàn)性的問題。Fortune[9]采用極大似然估計法和迭代搜索實現(xiàn)對MERTON模型的參數(shù)估計，并對S&P500等5個股票指數(shù)進行實證研究。AIT-sahalia[10]分別采用矩估計法和極大似然估計法來對MERTON模型的參數(shù)進行近似估計。Ramezani等[11]借助Pareto和Beta分布組合雙指數(shù)跳-擴散模型下的資產(chǎn)收益的概率分布，并借助極大似然估計法實現(xiàn)模型參數(shù)的估計。呂韓等[12]通過構(gòu)建一種新的跳躍識別方法，采用平滑技術(shù)實現(xiàn)對跳躍頻率的估計，進而實現(xiàn)雙均勻模型參數(shù)估計。從目前研究成果來看，極大似然估計法較為適合模型的參數(shù)估計[10]。但其困難在于其相應(yīng)的似然函數(shù)較為復(fù)雜，基于梯度的經(jīng)典優(yōu)化方法已不再適用。為此，本文探尋用基于群體智能的蝗蟲優(yōu)化算法(Grasshopper Optimization Algorithm, GOA)[13]來求解該似然函數(shù)最大化問題，進而實現(xiàn)跳-擴散模型的參數(shù)估計，并進行實證研究。

1 問題描述

1.1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)金融市場有n個風(fēng)險資產(chǎn)(股票)可供交易，設(shè)t時刻資產(chǎn)(股票)i價格為Si(t),i=1,2,…,n,t∈[0,T]，其滿足以下方程：

(1)

將研究時間段等間隔離散化，為簡便起見，不妨記為t=0,1,2,…,T，則離散形式的資產(chǎn)價格過程為：

Si(t+Δt)=

(2)

其相應(yīng)的離散化的對數(shù)價格過程為：

(3)

1.2 跳-擴散模型參數(shù)估計問題

模型參數(shù)的估計方法主要有極大似然估計(Maximum likelihood estimation, MLE)、廣義矩估計(Generalized method of moments, GMM)、模擬矩估計(Simulated moment estimation, SME)和MCMC方法[10]。文獻[10]的研究結(jié)果表明極大似然估計最適合模型的參數(shù)估計。文獻[9]給出了(3)式所描述的離散化對數(shù)價格過程的對數(shù)似然函數(shù)，具體如下：

(4)

(5)

經(jīng)典的優(yōu)化方法如基于梯度的優(yōu)化算法等都難于對式(5)所描述的無約束優(yōu)化問題進行求解。為此，本文探尋用蝗蟲優(yōu)化算法來直接對其進行隨機搜索求解。

2 蝗蟲優(yōu)化算法

2.1 算法思想

蝗蟲優(yōu)化算法是由Saremi等(2017)[13]通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來模擬蝗蟲群的移動而提出的一種新型仿生群智能算法。該算法在函數(shù)優(yōu)化[13]、工程優(yōu)化[13]、多目標(biāo)優(yōu)化[14]、特征提取[15]等方面都取得了很好的應(yīng)用效果。

設(shè)popi為蝗蟲群中第i個蝗蟲的位置，由蝗蟲群個體間的作用力、重力以及風(fēng)力的共同決定的，其數(shù)學(xué)描述如下[13]：

popi=Si+Gi+Ai,i=1,2,…,N

(6)

(7)

(8)

其中f和l是表示蝗蟲群間相互吸引力強度和距離長度的參數(shù)。

為了求解優(yōu)化問題，Saremi等(2017)[13]對(6)式進行改進：

i=1,2,…,N

(9)

(10)

M為最大迭代次數(shù)，m為當(dāng)前迭代次數(shù)，cmax和cmin為收縮因子的最大值和最小值。

2.2 算法步驟

蝗蟲優(yōu)化算法的主要步驟描述如下：

Step1確定搜索空間，初始化基本參數(shù)，隨機生成初始種群。

Step2評估初始種群，確定當(dāng)前最優(yōu)解和最優(yōu)值。

Step3按式(10)更新收縮因子c。

Step4計算所有蝗蟲間距dij，按式(9)更新每只蝗蟲的位置，并進行可行性檢測。

Step5評估種群，更新當(dāng)前最優(yōu)解和最優(yōu)值。

Step6檢查迭代的終止條件。若不滿足，則轉(zhuǎn)向Step3；否則終止迭代，輸出最優(yōu)解和最優(yōu)值。

2.3 適應(yīng)度函數(shù)

設(shè)種群中個體數(shù)為N，則每個個體popi代表模型的一組參數(shù)(μ,σ,λ,μJ,σJ)。由式(5)所描述的最優(yōu)化問題可定義蝗蟲優(yōu)化算法求解跳-擴散模型參數(shù)估計問題的適應(yīng)度函數(shù)如下：

(11)

由此，利用資產(chǎn)價格歷史數(shù)據(jù)計算得到對數(shù)價格增量序列xt=lnSt-lnSt-1,t=1,2,…,T，進而利用蝗蟲優(yōu)化算法即可獲得資產(chǎn)價格模型參數(shù)的極大似然估計值和最優(yōu)參數(shù)。

3 數(shù)值實驗和結(jié)果分析

3.1 樣本數(shù)據(jù)的選取與統(tǒng)計特征

本文從全球金融市場中選取中國上證綜指(SSECI)、中國香港恒生指數(shù)(HSI)、日本日經(jīng)指數(shù)(Nikkei225)、美國標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)(S&P500)、英國富時100指數(shù)(FTSE100)和德國綜合指數(shù)(DAX)等6個市場指數(shù)來進行實證研究，歷史數(shù)據(jù)來源于雅虎財經(jīng)，每個指數(shù)采樣為2016年1月1日到2018年6月30日的收盤價，有效樣本數(shù)據(jù)個數(shù)分別為607、612、614、628、630和632，如圖1所示，本文取每個市場的2016和2017年數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，用于估計模型參數(shù)，2018年數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)。

6個市場指數(shù)樣本數(shù)據(jù)日收益率的基本統(tǒng)計特征如表1所示，同時為了進一步檢驗日收益率是否服從正態(tài)分布，采用Jarque-Bera檢驗法進行檢驗，即在給定顯著性水平α=0.01下，分別計算出J-B統(tǒng)計量的值和接受正態(tài)分布假設(shè)的概率P。

圖1 6個市場指數(shù)日收盤價變化趨勢圖Fig.1 Daily closing price trends of six indexes

表1 6個市場指數(shù)日收益率的統(tǒng)計特征和J-B檢驗結(jié)果Tab.1 Statistical characteristics of daily returns and results of J-B test of six indexes

首先，從表1可以看出6個市場指數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)的峰度(Kurtosis)的最小值為4.548 8，最大值為10.006 0。由統(tǒng)計學(xué)知識可知正態(tài)分布的峰度值為3，若峰度值大于3，則樣本數(shù)據(jù)分布表現(xiàn)為尖峰性(比正態(tài)分布凸起程度大)。由此可知6個市場指數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)分布均具有尖峰性。其次，表1中6個市場指數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)的偏度(Skewness)的最小值為-1.142 4，最大值為-0.005 4，均小于零。樣本數(shù)據(jù)分布具有負(fù)偏離，即左偏態(tài)，即體現(xiàn)了厚尾分布的特征。最后，為進一步檢驗6個市場指數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，本文在給定顯著性水平α=0.01下進行了Jarque-Bera檢驗，表1中的檢驗統(tǒng)計量J-B的值都很大，其中最小值為91.57，最大值為1 651.77，99%的置信水平下接受正態(tài)分布假設(shè)的概率P值均小于0.000 1(以0.000計)，亦即在99%的置信水平下幾乎以概率1拒絕正態(tài)分布假設(shè)。為了更為直觀地展示這一特點，圖2給出6個市場指數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)分布檢驗Q-Q圖，進一步佐證了6個市場指數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。依據(jù)峰度和偏度的統(tǒng)計意義和表中的數(shù)值以及Jarque-Bera檢驗的結(jié)果可以表明6個市場指數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)均具有尖峰厚尾的特性，而不服從正態(tài)分布，這與金融時間序列數(shù)據(jù)分布的特性相一致，也正是跳-擴散模型提出和廣為接受的根本原因，因而本文假設(shè)資產(chǎn)價格路徑服從跳-擴散模型是合理和恰當(dāng)?shù)摹?/p>

圖2 6個市場指數(shù)日收益率的Q-Q圖Fig.2 Q-Q chart of daily returns of six indexes

3.2 參數(shù)估計結(jié)果

借助于極大似然估計法和蝗蟲優(yōu)化算法分別對基于市場指數(shù)兩年的對數(shù)日收益率樣本數(shù)據(jù)實現(xiàn)模型參數(shù)估計。由于采用的是日收盤價時間序列，因而式(5)中k的取值為0或1，即每天最多只產(chǎn)生1次跳躍，每個市場指數(shù)的模型參數(shù)估計實驗均獨立運行30次，結(jié)果如表2所示。

表2 6個市場指數(shù)的模型參數(shù)估計結(jié)果Tab.2 The results of model parameter estimation of six indexes

3.3 結(jié)果分析與檢驗

表2借助于MLE獲得6個市場指數(shù)價格路徑服從模型的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上可以利用Kolmogorov-Smirnov單樣本檢驗(K-S檢驗)來實現(xiàn)資產(chǎn)價格服從模型這一假設(shè)的合理性以及模型參數(shù)估計的準(zhǔn)確性檢驗。如前所述每個股票指數(shù)用于模型參數(shù)估計的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)個數(shù)分別為487、490、492、502、504、506個(對數(shù)日收益率)，用于測試的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)分別為242、244、245、249、252、250個(對數(shù)日收益率)。K-S檢驗中的理論分布函數(shù)F0(x)即為所估計的模型參數(shù)確定的對數(shù)日收益率的分布函數(shù)，其密度函數(shù)如下所示：

(12)

因而，對于給定的模型參數(shù)(μ,σ,λ,μJ,σJ)，其相應(yīng)的理論分布函數(shù)F0(x)可表示為：

(13)

K-S檢驗統(tǒng)計量定義如下：

(14)

式(14)所描述的K-S檢驗統(tǒng)計量表達式中的F0(x)可以借助Matlab軟件中的積分函數(shù)@quad1進行計算，其中樣本數(shù)據(jù)的累計頻數(shù)分布Fn(x)可以借助Matlab軟件中的@tabulate和@cumsum加以計算。由于檢測中的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)個數(shù)和樣本外數(shù)據(jù)個數(shù)均大于50，因而其臨界值的計算式采用：

(15)

6個市場指數(shù)模型的K-S檢驗結(jié)果如表3所示，其中置信水平為95%(σ=0.05)。

表3 6大市場指數(shù)的價格路徑模型K-S檢驗結(jié)果Tab.3 K-S test results of price path models of six indexes

圖3 理論分布函數(shù)和樣本內(nèi)數(shù)據(jù)累計頻數(shù)分布對比Fig.3 Comparison of theoretical distribution function and cumulative frequency distribution of data in samples

圖4 理論分布函數(shù)和樣本外數(shù)據(jù)累計頻數(shù)分布對比Fig.4 Comparison of theoretical distribution function and cumulative frequency distribution of out-of-sample data

表3的K-S檢驗結(jié)果表明，基于樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的6個市場指數(shù)的價格路徑模型假設(shè)合理，模型參數(shù)估計準(zhǔn)確。對于Nikkei225、FTSE100和DAX三個指數(shù)而言把樣本內(nèi)數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)的結(jié)果推廣到樣本外仍然是準(zhǔn)確的，但對于SSECI、HSI和S&P500三個指數(shù)而言樣本外數(shù)據(jù)的驗證就出現(xiàn)一些偏差。這主要是因為2018年的1月底至2月初全球股市因系統(tǒng)風(fēng)險而產(chǎn)生暴跌，而后Nikkei225、FTSE100和DAX三個指數(shù)逐漸回升，而3月份開啟中美貿(mào)易戰(zhàn)使得HSI和S&P500兩個指數(shù)雖然逐漸回升但市場波動較大，同時國內(nèi)的去杠桿、信用風(fēng)險全面爆發(fā)以及中美貿(mào)易戰(zhàn)的加劇等因素使得SSECI持續(xù)下跌。從圖1也可清楚地觀察到6個市場指數(shù)的樣本內(nèi)外的異同。

為了更為直觀地體現(xiàn)模型假設(shè)的合理性和參數(shù)估計的準(zhǔn)確性，圖3和圖4分別給出6個市場指數(shù)的理論分布函數(shù)和樣本內(nèi)數(shù)據(jù)累計頻數(shù)分布以及樣本外數(shù)據(jù)累計頻數(shù)分布的圖形對比。從圖3可以看出6個市場指數(shù)的理論分布函數(shù)和樣本內(nèi)數(shù)據(jù)累計頻數(shù)分布都非常吻合，擬合優(yōu)度高，其中最好的是HSI和FTSE100，這也從表3加以印證，表3中這兩個市場指數(shù)的檢驗統(tǒng)計量KS值都很小，吻合度最差的S&P 500指數(shù)，其對應(yīng)表3中統(tǒng)計量的值也是最大的。

對比圖3和圖4可以看出6個市場指數(shù)的理論分布函數(shù)和樣本外數(shù)據(jù)累計頻數(shù)分布擬合優(yōu)度比樣本內(nèi)數(shù)據(jù)都差，而且差距明顯，其中最好的是Nikkei225，其次是FTSE100和DAX，SSECI、HIS和S&P500三個指數(shù)的擬合優(yōu)度較差。

4 結(jié)論

本文將蝗蟲優(yōu)化算法應(yīng)用于基于極大似然估計法的跳-擴散模型參數(shù)估計問題的求解。首先借助于極大似然估計法將跳-擴散模型參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化成一個非線性優(yōu)化問題，然后雇用蝗蟲優(yōu)化算法這一基于仿生學(xué)的群智能算法來實現(xiàn)該優(yōu)化問題的求解，最后選取美國標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)等全球六大證券市場指數(shù)來進行實證研究，并用K-S檢驗對模型參數(shù)估計結(jié)果進行檢驗，結(jié)果表明蝗蟲優(yōu)化算法求解模型參數(shù)估計問題是可行和有效的，為跳-擴散模型在金融領(lǐng)域的應(yīng)用提供了一定的技術(shù)支撐。