2020年高考數(shù)學(xué)全國I卷中顯、隱性對(duì)稱特征與啟示

楊蒼洲

（泉州第五中學(xué)，福建 泉州 362000）

2019 年7 月，在《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》中，要求“堅(jiān)持‘五育’并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育”.“五育”是指德育、智育、體育、美育、勞動(dòng)教育，其中“美育”作為“五育”的重要組成部分，深刻地影響著了人類的生產(chǎn)生活.

作為義務(wù)教育的延伸，普通高中教育、高考同樣也關(guān)注著“五育”.2020 年高考數(shù)學(xué)全國卷試題特點(diǎn)之一也是堅(jiān)持立德樹人，倡導(dǎo)“五育”并舉，關(guān)注數(shù)學(xué)文化育人的價(jià)值，重視全面育人的要求，發(fā)揮數(shù)學(xué)科高考在深化中學(xué)課程改革、全面提高教育質(zhì)量上的引導(dǎo)作用，其中之一體現(xiàn)為美育.

古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯有一句名言：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美”.“對(duì)稱”是數(shù)學(xué)美的重要特征，讓我們細(xì)品2020 年高考數(shù)學(xué)全國卷試題的對(duì)稱美.

一、對(duì)稱美在試題中主要表現(xiàn)

縱觀全卷，“對(duì)稱”在整卷中考查之多令人驚訝.有數(shù)式的對(duì)稱，也有圖形的對(duì)稱；有整體的對(duì)稱，也有局部的對(duì)稱；有顯性的對(duì)稱，也有隱性的對(duì)稱；有試題表征的對(duì)稱，也有試題背景的對(duì)稱；有對(duì)稱所呈現(xiàn)的視覺享受，也有對(duì)稱思想的解題應(yīng)用.

（一）數(shù)式的對(duì)稱美

數(shù)與式的對(duì)稱美，主要是體現(xiàn)在等式或不等式的結(jié)構(gòu)對(duì)稱上，式子中的數(shù)字、字母可交換，結(jié)構(gòu)勻稱、和諧，令人賞心悅目.

1.數(shù)式的顯性對(duì)稱

題1(2020 年全國I 卷理)(x+)(x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為

A.5 B.10 C.15 D.20

由(x+，因此要求展開式中x3y3的系數(shù)，即求(x2+y2)(x+y)5展開式中x4y3的系數(shù).從不對(duì)稱結(jié)構(gòu)到對(duì)稱結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化，也由此找到了解題的一個(gè)方向.

題2(2020 年全國I 卷文理)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4pcosθ-16psinθ+3=0.

（1）當(dāng)k=1 時(shí)，C1是什么曲線？

（2）當(dāng)k=4 時(shí)，求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

題中（1）（2）分別取k=1 和k=4.當(dāng)k=1 時(shí)，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，利用sin2t+cos2t=1 消去參數(shù)t，得C1：x2+y2=1；當(dāng)k=4 時(shí)，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，利用sin2t+cos2t=1 消去參數(shù)t，得

無論是k=1 還是k=4，無論參數(shù)方程還是普通方程，無論數(shù)式的結(jié)構(gòu)還是函數(shù)圖象，曲線C1都呈現(xiàn)出完美的對(duì)稱特征.

2.數(shù)式的隱性對(duì)稱

題3（2020 年全國I 卷理）若z=1+i，則z2-2z=

本題的“對(duì)稱”在哪里呢？實(shí)際上本題深深隱含著命題者的對(duì)稱情結(jié).由z2-2z|=|z(z-2) |=|(1+i)(-1+i) |，可得式中的1+i，-1+i為對(duì)稱式，兩式為對(duì)方的共軛的相反數(shù).由此可看出命題者的對(duì)稱情結(jié)，越簡單的問題往往越能看出命題者潛意識(shí)里有意無意地對(duì)稱意識(shí).

題4（2020 年全國I 卷文）設(shè)向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4)，若a⊥b，則m=.

由向量a=(1,-1)，a⊥b，得向量b=(x,x)，這就是題中“數(shù)式”的隱性對(duì)稱.若向量a，b的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則a的終點(diǎn)落在直線y=-x（二四象限的角平分線）上，由a⊥b，可知b的終點(diǎn)落在直線y=x（一三象限的角平分線）上，這也可看出題中“圖形”的隱性對(duì)稱.

（二）圖形的對(duì)稱美

幾何圖形也好，函數(shù)圖象也好，無不充斥著各種各樣的對(duì)稱性，可謂圖圖精彩.如，立體幾何中的正棱錐、正棱柱、圓錐、圓柱、球；解析幾何中的直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線；函數(shù)性質(zhì)中奇偶性、周期性、對(duì)稱性.無論是題中呈現(xiàn)出的顯性對(duì)稱還是試題背景中的隱性對(duì)稱，命題者都在嘗試通過圖形，讓我們感受世界的對(duì)稱之美.

1.圖形的顯性對(duì)稱

題5（2020 年全國I 卷文理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）

圖1

題小點(diǎn)多，本題不僅考查空間幾何體、空間想象能力、幾何直觀素養(yǎng)，同時(shí)承載著數(shù)學(xué)文化的考查.試題為我們呈現(xiàn)了一個(gè)形狀近似為正四棱錐的美麗的金字塔，帶我們感受歷史長河中絢麗的人類文明，領(lǐng)略古人的智慧，感受文化的魅力.

題6（2020年全國I卷文）已知圓x2+y2-6x=0，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）

圖2

A.1 B.2 C.3 D.4

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形”.圓所展現(xiàn)出的對(duì)稱美，常被賦予和諧、圓滿、完美的寓意.本題中所呈現(xiàn)的圓x2+y2-6x=0，圓心Q在x軸上，當(dāng)過點(diǎn)P(1,2)的直線l與PQ垂直時(shí)，直線l被圓Q所截得的弦長達(dá)到最小.不偏不倚地，此時(shí)的直線l關(guān)于PQ對(duì)稱，點(diǎn)P為弦中點(diǎn).

2.圖形的隱性對(duì)稱

題7（2020 年全國I 卷理）設(shè)a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=.

向量是具有大小和方向的量，可坐標(biāo)運(yùn)算也可幾何運(yùn)算，因此每道向量試題的背后往往有個(gè)美麗的圖形支撐.本題中向量a，b，a+b，a-b恰構(gòu)成菱形的邊或?qū)蔷€，又因?yàn)?|a|=|b|=|a+b|=1，所以該菱形恰由兩個(gè)等邊三角形或兩個(gè)等腰三角形構(gòu)成.圖形結(jié)構(gòu)對(duì)稱，整潔簡約，可以利用圖象直接看出答案，實(shí)現(xiàn)速解、巧解，從而考查學(xué)生的畫圖、識(shí)圖、用圖能力.

圖3

題8（2020 年全國I 卷文）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|=2，則△PF1F2的面積為（ ）

圖4

二、對(duì)稱思想的解題應(yīng)用

對(duì)稱性除了在視覺上給人以美的享受之外，也在思想上啟迪解題者的靈感.上述數(shù)題以“顯性對(duì)稱”或“隱性對(duì)稱”為背景的試題，基本都有豐富的解題思路，對(duì)稱思想的作用發(fā)揮與否，為解題提供了不同的途徑，不同的解題方法又有不同的解題速度和時(shí)間，當(dāng)然，有對(duì)稱意識(shí)的解題者，往往會(huì)在解題中占有一定的優(yōu)勢(shì)，從而縮短解題時(shí)間，體現(xiàn)出解題素養(yǎng)的差異.

（一）觀察對(duì)稱特征，常是解題入手點(diǎn)

對(duì)稱特征常是知識(shí)背景的特殊特征.如三角函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶函數(shù)性的對(duì)稱性，二次函數(shù)的對(duì)稱性，圓、圓錐曲線的對(duì)稱性等，都是解題中應(yīng)觀察到的重要信息.

題9（2020 年全國I 卷文理）設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（ ）

圖5

由圖可知π ＜T＜2π，故k=0,T=對(duì)稱特征是常見的審題觀察點(diǎn)，也是解題關(guān)鍵點(diǎn).翻譯圖象的對(duì)稱特征，往往就能順利解題.

（二）挖掘?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)，可啟迪解題思路

審題，一般需先觀察題目的結(jié)構(gòu).“對(duì)稱”或“不對(duì)稱”是試題結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要特征，從該結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，往往是解題的思維著力點(diǎn).

題10（2020 年全國I 卷理）若2a+log2a=4b+2 log4b，則

A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

等式2a+log2a=4b+2 log4b，可化為2a+log2a=22b+log2b.

我們觀察到等式兩邊的結(jié)構(gòu)是不對(duì)稱的，恰是這樣的“不對(duì)稱”給了我們從“不對(duì)稱”到“對(duì)稱”轉(zhuǎn)化的想法，此時(shí)，對(duì)稱美的思想發(fā)揮了作用.從“不對(duì)稱”到“對(duì)稱”轉(zhuǎn)化，也就給了我們從“等式”到“不等式”轉(zhuǎn)化的機(jī)會(huì)，從而得到對(duì)稱和諧的不等式，進(jìn)而解決問題.

法一：因?yàn)閎＞0，故log2b＜long22b.

又因?yàn)?a+log2a=22b+log2b，所以2a+log2a＜22b+log22b.

考查函數(shù)f(x)=2x+log2x，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，又f(a) ＜f(2b)，所以a＜2b.

法二：因?yàn)閍＞0，故log2a＞log2.

又因?yàn)?a+log2a=22b+log2b，所以22b+log2b＞2a+log2.

考查函數(shù)f(x）=2x+log2，則f(2b) ＞f(a)，

又f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，所以a＜2b.

實(shí)際上，本題還能作出如下推理：

因?yàn)閍＞0，b＞0，故22b＞2a，2a＜22a.

又因?yàn)?a+log2a=a2b+log2b，所以2a+log2a＞2b+log2b，22b+log2b＜22a+log2a.

考查函數(shù)f(x)=2x+log2x，g(x)=22x+log2x，則f(a) ＞f(b)，g(a) ＞g(b)，

又f(x)，g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，又所以a＞b.

人人都有“向美”意識(shí)，化“不等稱”為“對(duì)稱”正是一種向著“對(duì)稱美”的意識(shí)，“向美”讓解題思路找到出路.

（三）欣賞對(duì)稱之美，可優(yōu)化解題途徑

從美麗的對(duì)稱結(jié)構(gòu)中，發(fā)現(xiàn)數(shù)式、數(shù)形之間的內(nèi)在聯(lián)系，就能直接抓住問題的本質(zhì)，也常常能另辟蹊徑，使得問題得到快速解決.

題11（2020 年全國I 卷文）設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，則a6+a7+a8=（ ）

A.12 B.24 C.30 D.32

本題的常規(guī)解法，是化基本量進(jìn)行解題.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，得a1(1+q+q2)=1，a1(q+q2+q3)=2，解得q=2，a1=所以a6+a7+a8=a1)q5+q6+q7)=32.

常規(guī)方法利用的是“函數(shù)與方程”的思想，翻譯條件得到含有q，a1的方程組，并解得q，a1，而后求解得a6+a7+a8的值.

我們?cè)賮碛^察題目的條件，題中式子a1+a2+a3，a2+a3+a4，a6+a7+a8所含的項(xiàng)數(shù)一樣，且三項(xiàng)連續(xù)，式子勻稱、和諧.解題者可以從對(duì)稱結(jié)構(gòu)中，找到一條解題的捷徑.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由此，我們發(fā)現(xiàn)a2+a3+a4=(a1+a2+a3)q，故q=2，所以a6+a7+a8=(a1+a2+a2)q5=32.由結(jié)構(gòu)的對(duì)稱，結(jié)合整體思想，把a(bǔ)1+a2+a2看成整體，就能簡化運(yùn)算，直接求出q=2 和a6+a7+a8的值.

（四）應(yīng)用對(duì)稱意識(shí)，可明確解題目標(biāo)

圓錐曲線問題中有非常多的定點(diǎn)、定值性質(zhì).在探究探究定值、定點(diǎn)的位置時(shí)，由圓錐曲線的對(duì)稱性，往往可以先猜后證，使得解題目標(biāo)更加明確，解題方向更加明朗.

題12（2020 年全國I 卷文理）已知A,B分別為橢圓=1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，=8，P為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

在問題（2）的求解過程中，由橢圓的對(duì)稱性，可知，直線CD所過定點(diǎn)必在x軸上，因此只需寫出直線CD的方程，并令y=0，求出的x的值，即為該定點(diǎn)的橫坐標(biāo).

基于對(duì)稱，先猜后證.猜測(cè)的結(jié)果，使得解題方向更加明確，有效地減小了思維的難度，從而更加堅(jiān)定了解題信心.

三、結(jié)束語

對(duì)稱美，是數(shù)學(xué)美的一種基本形式.2020 年高考數(shù)學(xué)全國I 卷，多處或有意或無意地考查了對(duì)稱美.有些試題是命題者有針對(duì)性地檢測(cè)考生對(duì)“對(duì)稱美”的應(yīng)用，可見高考對(duì)“對(duì)稱”的重視；有些試題是命題者無意識(shí)地設(shè)置了“對(duì)稱美”的隱性背景，實(shí)則是命題者潛意識(shí)里的對(duì)稱意識(shí).對(duì)稱顯示數(shù)學(xué)美的意境！

數(shù)學(xué)不缺少美，卻常常缺少發(fā)現(xiàn)美的眼光.我國數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“就數(shù)學(xué)本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人，只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而沒有體會(huì)出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.”正值國家大力提倡“五育并舉”之機(jī)，數(shù)學(xué)教育理應(yīng)擔(dān)負(fù)起培養(yǎng)學(xué)生欣賞美的眼光、應(yīng)用美的意識(shí)、創(chuàng)造美的能力之重任。