基于Gurson 模型的船用金屬單向拉伸斷裂分析

王江超，卓子超，熊家煒

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引 言

船舶及海洋結(jié)構(gòu)物在復(fù)雜的風(fēng)、浪、流的作用下有斷裂失效的風(fēng)險(xiǎn)，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響人身財(cái)產(chǎn)安全和結(jié)構(gòu)的使用壽命。對(duì)于船體結(jié)構(gòu)和船用金屬材料在外力載荷作用下的斷裂現(xiàn)象，可通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量進(jìn)行研究和評(píng)估。當(dāng)前數(shù)值分析方法正在高速發(fā)展，其中基于Gurson 損傷模型的數(shù)值計(jì)算方法最為成熟，應(yīng)用最為廣泛。具體地，采用Gurson 細(xì)觀損傷模型[1]分析單一空穴情況，假設(shè)材料中的微型空穴為球形空穴，進(jìn)而對(duì)材料的塑性變形和斷裂過(guò)程進(jìn)行研究；同時(shí)，提出材料的屈服函數(shù)，該函數(shù)包含空穴的體積分?jǐn)?shù)、等效應(yīng)力、靜水應(yīng)力和母材的屈服應(yīng)力等參數(shù)。

TVERGAARD[2]對(duì)Gurson 模型進(jìn)行修正和完善，考慮材料加工硬化和剪切變形等情況，提出了G-T損傷模型，其屈服函數(shù)包含的參數(shù)有宏觀Von Mises 等效應(yīng)力、宏觀靜水應(yīng)力和母材的屈服應(yīng)力等；同時(shí)，對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，并對(duì)G-T 損傷模型的一些參數(shù)進(jìn)行了修正，使其預(yù)測(cè)結(jié)果的精度更高。CHU 等[3]提出了應(yīng)力支配成核理論，也稱(chēng)群成核理論，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到臨界值時(shí)，空穴開(kāi)始成核，成核的數(shù)量在成核初期就已確定，不隨應(yīng)變的增加而增加，但空穴的體積會(huì)逐漸增大。此外，CHU 等[3]還提出了應(yīng)變支配成核理論，也稱(chēng)連續(xù)成核理論，當(dāng)應(yīng)力超過(guò)臨界值時(shí)開(kāi)始成核，與應(yīng)力支配成核理論不同的是，應(yīng)變支配成核的數(shù)量隨應(yīng)變量的增加而增加。ZHANG 等[4]將G-T 損傷模型與Thomason 的塑性極限載荷模型相結(jié)合，考慮空穴形狀和三維應(yīng)力載荷的影響，對(duì)失效現(xiàn)象進(jìn)行了預(yù)測(cè)。與有限元分析模型相比較之后可發(fā)現(xiàn)：該完整的Gurson 模型對(duì)經(jīng)過(guò)淬火的材料和未經(jīng)過(guò)淬火的材料的預(yù)測(cè)都是比較精確的；但是，對(duì)于初始空穴體積分?jǐn)?shù)較高的材料（如非球墨鑄鐵），該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)之間存在較大的差異。

國(guó)內(nèi)的損傷斷裂力學(xué)研究起步較晚，側(cè)重于對(duì)工程應(yīng)用中產(chǎn)生的裂紋進(jìn)行數(shù)值模擬，預(yù)測(cè)裂紋的生成和擴(kuò)展，或針對(duì)具體材料，通過(guò)修正Gurson 模型參數(shù)來(lái)模擬其失效現(xiàn)象，使預(yù)測(cè)結(jié)果更接近試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)。李鐵萍等[5]針對(duì)鐵素體鋼A533B 制作了一個(gè)緊湊拉伸試樣，采用有限元分析方法研究了其斷裂過(guò)程，并討論了Gurson 模型參數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果精度的影響。研究發(fā)現(xiàn)：若載荷步控制參數(shù)較小，則模擬中裂紋平穩(wěn)擴(kuò)展；若初始空穴率較大，則裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展；臨界空穴率對(duì)模擬結(jié)果的影響不大。王瑞澤等[6]基于Gurson損傷模型，將有限元數(shù)值模擬與溫?zé)釠_壓試驗(yàn)相結(jié)合，預(yù)測(cè)了鎂合金板材溫?zé)釠_壓成形過(guò)程中裂紋的生成過(guò)程，由拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)和有限元數(shù)值模擬結(jié)果反推得到了Gurson 損傷模型需要的參數(shù)，預(yù)測(cè)結(jié)果與在顯微鏡下觀察的試驗(yàn)樣本的裂紋較為吻合。姜薇等[7]研究了鋁合金材料在拉伸和扭轉(zhuǎn)載荷下（即在不同的三維應(yīng)力情況下）表現(xiàn)出來(lái)的不同失效形式，其中：在三維高應(yīng)力下，空穴的體積增大明顯；在三維低應(yīng)力下，空穴的體積變化不明顯；在剪切應(yīng)變的作用下，空穴的形狀發(fā)生了改變。陸善彬等[8]對(duì)Q235低碳鋼和6061 鋁合金的失效現(xiàn)象進(jìn)行了研究，將Gurson 模型與Johnson-Cook 模型相結(jié)合，彌補(bǔ)了Gurson 模型在三維低應(yīng)力情況下預(yù)測(cè)結(jié)果精度不高的問(wèn)題，使得模型更符合剪切斷裂時(shí)的材料特征。李振環(huán)等[9]研究了不同三維應(yīng)力作用下，不同形狀孔洞的生長(zhǎng)特點(diǎn)，孔洞長(zhǎng)大過(guò)程中的形狀是變化的，在主應(yīng)力方向會(huì)被拉長(zhǎng)，通過(guò)有限元分析和數(shù)值擬合得到了Gurson 參數(shù)和孔洞縱橫比、三維應(yīng)力狀態(tài)的經(jīng)驗(yàn)公式。然而，由于只討論了孔洞均勻分布的情況，實(shí)際中孔洞的大小和形狀分布都是隨機(jī)的，因此所得結(jié)論有一定的局限性。

本文主要介紹Gurson 模型及相關(guān)理論，并基于C++語(yǔ)言研究材料特征和外力載荷對(duì)船用金屬試件斷裂性能的影響；同時(shí)，計(jì)算分析船用金屬承載應(yīng)力的演化過(guò)程，并將其與試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)相對(duì)比。

1 Gurson 模型及相關(guān)理論

金屬材料作為固溶體，一般都有一定的空穴缺陷。在外力載荷的作用下，初始空穴會(huì)經(jīng)歷成核、生長(zhǎng)和聚合等3 個(gè)階段，空穴聚合之后，材料的承載能力會(huì)快速下降，最終斷裂失效。

Gurson 損傷模型主要針對(duì)具有初始缺陷的材料，分析其在外部載荷作用下的力學(xué)承載能力和斷裂失效響應(yīng)。該模型主要由屈服函數(shù)、空穴成核函數(shù)、空穴生長(zhǎng)函數(shù)、加工硬化函數(shù)和斷裂失效臨界條件等組成。

若將材料的初始空穴缺陷近似看作空心球體，且均勻地分布在材料內(nèi)部，則材料在承受外部載荷時(shí)的屈服函數(shù)可表示為

式(1)中：f為空穴體積；mσ為平均正應(yīng)力；q為Von Mises 等效應(yīng)力；σ為基體材料的流動(dòng)應(yīng)力；q1和q2為由TVERGAARD 引入的常量[2]。

空穴體積分?jǐn)?shù)的增長(zhǎng)分為空穴成核引起的體積增長(zhǎng)和空穴生長(zhǎng)引起的體積增長(zhǎng)2 部分。

1) 空穴成核可用多種數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，主要有應(yīng)變控制成核模型（連續(xù)成核模型）、應(yīng)力控制成核模型（群成核模型）和綜合這2種模型的特點(diǎn)形成的混合成核模型。針對(duì)不同的材料，可選用更適合的空穴成核數(shù)學(xué)模型。由于本文主要研究鋼和鋁合金等金屬材料，故選用應(yīng)變控制成核模型。該模型的程序?qū)崿F(xiàn)較為容易，其成核的速度表達(dá)式[4]為

式(2)和式(3)中：epε為等效塑性應(yīng)變；A為空穴成核強(qiáng)度函數(shù)，可表示為正態(tài)分布函數(shù)；fN為空穴成核體積分?jǐn)?shù)；Nε為空穴成核平均應(yīng)變；S是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。

2) 由于鋼和鋁合金等金屬材料被認(rèn)為是不可壓縮的，其空穴的生長(zhǎng)速度可表示為

式(4)中：pε為塑性應(yīng)變張量；I為二階單位張量。

綜上，材料的空穴體積增量由空穴成核和空穴生長(zhǎng)2 部分共同決定，即

最終，當(dāng)空穴體積分?jǐn)?shù)達(dá)到臨界空穴體積分?jǐn)?shù)fC時(shí)，認(rèn)為空穴開(kāi)始聚合；當(dāng)空穴體積分?jǐn)?shù)達(dá)到最終破壞的體積分?jǐn)?shù)fF時(shí)，認(rèn)為空穴聚合將結(jié)束，即材料的承載能力變?yōu)榱??？昭ň酆蠈?dǎo)致的材料承載能力突然下降可通過(guò)用有效空穴體積分?jǐn)?shù)fE代替f來(lái)分析，即

基于上述模型和理論分析，得到基于Gurson 模型的材料斷裂失效分析流程見(jiàn)圖1。

圖1 基于Gurson 模型的材料斷裂失效分析流程

2 程序?qū)崿F(xiàn)和失效模擬

基于C++語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)含有初始缺陷的材料在外部載荷作用下的斷裂失效現(xiàn)象。初始化程序的相關(guān)參數(shù)為：?jiǎn)蜗蚶瓚?yīng)力σ11= 450 MPa ；單向塑性應(yīng)變?cè)隽縟ε11=0.006；初始空穴體積分?jǐn)?shù)f0=0.0004；初始流動(dòng)應(yīng)力=450MPa；材料彈性模量E=210GPa。

通過(guò)計(jì)算分析和數(shù)據(jù)處理，得到塑性應(yīng)變逐步增加過(guò)程中空穴生長(zhǎng)與空穴成核的體積分?jǐn)?shù)變化情況見(jiàn)圖2。從圖2 中可看出：空穴生長(zhǎng)體積分?jǐn)?shù)遠(yuǎn)大于空穴成核體積分?jǐn)?shù)，且兩者相差2 個(gè)數(shù)量級(jí)。該計(jì)算結(jié)果與實(shí)際現(xiàn)象相吻合，即空穴成核體積較小，但在塑性應(yīng)變?cè)隽康淖饔孟?，空穴體積迅速增大，且是基體材料中空穴體積分?jǐn)?shù)的主要來(lái)源。

當(dāng)實(shí)際空穴體積分?jǐn)?shù)小于臨界空穴體積分?jǐn)?shù)（設(shè)置為0.15）時(shí)，實(shí)際空穴體積分?jǐn)?shù)與有效空穴體積分?jǐn)?shù)相同；當(dāng)實(shí)際空穴體積分?jǐn)?shù)大于0.15 時(shí)，有效空穴體積分?jǐn)?shù)快速增長(zhǎng)，該現(xiàn)象可從式(6)中得到解釋。正是由于有效空穴體積分?jǐn)?shù)快速增長(zhǎng)，等效應(yīng)力值驟然下降，進(jìn)而使得結(jié)構(gòu)因失去承載能力而斷裂失效。圖3 為實(shí)際空穴體積分?jǐn)?shù)與有效空穴體積分?jǐn)?shù)對(duì)比。

圖2 空穴生長(zhǎng)與空穴成核體積分?jǐn)?shù)對(duì)比

圖3 實(shí)際空穴體積分?jǐn)?shù)與有效空穴體積分?jǐn)?shù)對(duì)比

3 材料參數(shù)對(duì)金屬斷裂的影響

基于Gurson 損傷模型，材料的性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的抗拉承載能力有很大的影響。具體地，采用數(shù)值分析的方法依次研究外部單向拉伸載荷、材料彈性模量、材料初始空穴體積和材料臨界空穴體積分?jǐn)?shù)等對(duì)結(jié)構(gòu)斷裂失效的影響。

3.1 外部載荷對(duì)結(jié)構(gòu)斷裂失效的影響

對(duì)于單向拉伸，外部載荷主要取決于正應(yīng)力水平，在其他參數(shù)保持不變的情況下（即初始流動(dòng)應(yīng)力σ=450MPa，初始空穴體積分?jǐn)?shù)f0=0.0004，彈性模量E=210GPa），分別分析初始正應(yīng)力σ11=300MPa、400MPa、500MPa 和600MPa 等4種載荷下的材料斷裂失效現(xiàn)象。圖4 為不同載荷下的斷裂演化過(guò)程。由圖4 可知，外部正應(yīng)力載荷越大，空穴體積分?jǐn)?shù)的增長(zhǎng)越快，且承載能力下降越快，越易斷裂失效。

3.2 材料屬性對(duì)結(jié)構(gòu)斷裂失效的影響

金屬材料的力學(xué)性能主要取決于彈性模量和屈服強(qiáng)度等參數(shù)。下面主要分析不同材料（Q235 低碳鋼、鋁合金和鎂鋁合金等）在相同初始條件下（初始空穴體積分?jǐn)?shù)f0=0.0004）的單向拉伸斷裂現(xiàn)象。Q235 低碳鋼的楊氏模量E=210GPa，初始流動(dòng)應(yīng)力=450MPa；鋁合金的楊氏模量E=120GPa，初始流動(dòng)應(yīng)力=375MPa；鎂鋁合金的楊氏模量E=70GPa，初始流動(dòng)應(yīng)力值=225MPa。

圖5 為不同材料的塑性應(yīng)變與承載應(yīng)力的關(guān)系。由圖5 可知：由于材料的屈服強(qiáng)度不同，其初始位置的承載應(yīng)力亦不同；彈性模量越小，材料的承載能力下降的速度越快，越易斷裂失效。

圖4 不同載荷下的斷裂演化過(guò)程

3.3 初始空穴體積分?jǐn)?shù)對(duì)結(jié)構(gòu)失效的影響

在不改變其他參數(shù)的條件下（即初始流動(dòng)應(yīng)力=450MPa，初始正應(yīng)力σ11=450MPa，彈性模量E=210GPa），依次取初始空穴體積分?jǐn)?shù)f0=0.0004、0.0040、0.0200 和0.0400 等4 組數(shù)值。通過(guò)計(jì)算并分析數(shù)據(jù)，可得到塑性應(yīng)變與承載應(yīng)力的關(guān)系（見(jiàn)圖6）。由圖6 可知：初始空穴的體積分?jǐn)?shù)越大，即材料內(nèi)部空穴的缺陷越多，材料的承載能力越差，越易斷裂失效。

3.4 臨界空穴體積分?jǐn)?shù)對(duì)結(jié)構(gòu)斷裂失效的影響

臨界空穴體積分?jǐn)?shù)作為衡量材料斷裂性能的重要參數(shù)，影響材料的斷裂失效過(guò)程：材料臨界空穴體積分?jǐn)?shù)越大，材料越晚發(fā)生空穴聚合，其承載能力驟然下降將延遲。在輸入?yún)?shù)不變的情況下（初始空穴體積分?jǐn)?shù)f0=0.0004，初始流動(dòng)應(yīng)力=450MPa，初始正應(yīng)力σ11=450MPa，彈性模量E=210GPa），分別考慮臨界空穴體積分?jǐn)?shù)為fC=0.12、0.14、0.15 和0.16 時(shí)斷裂失效。

圖7 為不同臨界空穴體積分?jǐn)?shù)下塑性應(yīng)變與承載應(yīng)力的關(guān)系。由圖7 可知：臨界空穴體積分?jǐn)?shù)不會(huì)影響材料斷裂失效的演化趨勢(shì)；臨界空穴體積分?jǐn)?shù)越大，在變形過(guò)程中材料的承載能力保持越久，且斷裂失效時(shí)塑性應(yīng)變載荷越大，即臨界空穴體積分?jǐn)?shù)越大，材料的韌性越好，能承受更大的塑性應(yīng)變而不斷裂失效。

圖7 不同臨界空穴體積分?jǐn)?shù)下塑性應(yīng)變與承載應(yīng)力的關(guān)系

4 材料單向拉伸斷裂試驗(yàn)及數(shù)值分析驗(yàn)證

基于上述分析，采用Gurson 模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可較好地再現(xiàn)材料單向拉伸中的斷裂失效現(xiàn)象。針對(duì)Q235 低碳鋼和5182 鋁合金的拉伸試驗(yàn)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算進(jìn)行數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證。

圖8 Q235 低碳鋼拉伸試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

表1 Q235 低碳鋼數(shù)值計(jì)算的相關(guān)參數(shù)

4.1 Q235 低碳鋼單向拉伸試驗(yàn)和數(shù)值模擬

依據(jù)《金屬材料室溫拉伸試驗(yàn)方法》（GB/T 228—2002）對(duì)退火和正火處理之后的Q235 低碳鋼進(jìn)行拉伸力學(xué)性能測(cè)試，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線見(jiàn)圖8，可直觀地反映材料在外力載荷下的彈性-塑性-斷裂等階段的力學(xué)響應(yīng)。Gurson 模型僅研究材料發(fā)生縮頸之后塑性變形階段的材料缺陷演化和承載應(yīng)力情況，相關(guān)的計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。

將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)圖9。由圖9 可知，應(yīng)力-應(yīng)變曲線的數(shù)值和變化趨勢(shì)與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果吻合較好，且試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)均勻分布在數(shù)值計(jì)算的應(yīng)力-應(yīng)變曲線兩側(cè)。

4.2 5182 鋁合金溫拉伸試驗(yàn)和數(shù)值模擬

針對(duì)退火態(tài)5182 鋁合金材料，在不同溫度（448K 和513K）下進(jìn)行單向拉伸試驗(yàn)[10]，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線見(jiàn)圖10。在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，考慮不同溫度下鋁合金的屈服強(qiáng)度、彈性模量和抗斷裂韌性參數(shù)（臨界空穴體積分?jǐn)?shù)）等（見(jiàn)表2）。將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)圖11。由圖11 可知：當(dāng)溫度為448K 時(shí)，數(shù)值模擬曲線與試驗(yàn)結(jié)果十分吻合；當(dāng)溫度為523K 時(shí)，數(shù)值模擬曲線的后段與試驗(yàn)結(jié)果略有差距。對(duì)比2種溫度下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可發(fā)現(xiàn)：溫度越高，5182 鋁合金的屈服強(qiáng)度越低，韌性和塑性流動(dòng)越強(qiáng)，且斷裂失效時(shí)的塑性應(yīng)變?cè)酱蟆?/p>

圖9 Q235 低碳鋼的應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)量和計(jì)算曲線

圖10 5182 鋁合金拉伸試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖11 5182 鋁合金的應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)量和計(jì)算曲線

表2 5182鋁合金數(shù)值計(jì)算的相關(guān)參數(shù)

5 結(jié) 語(yǔ)

本文介紹了Gurson 模型和材料含有初始空穴缺陷時(shí)拉伸斷裂失效的相關(guān)理論，并通過(guò)C++語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了數(shù)值計(jì)算；分析了相關(guān)計(jì)算參數(shù)對(duì)拉伸斷裂失效過(guò)程的影響，結(jié)果與實(shí)際物理現(xiàn)象相當(dāng)吻合；對(duì)比了Q235 低碳鋼和5182 鋁合金等材料的單向拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果與其較為吻合，驗(yàn)證了Gurson 模型方法的有效性和數(shù)值計(jì)算的正確性。后續(xù)應(yīng)對(duì)多軸拉伸斷裂和含有焊縫的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，完善相關(guān)理論及其在解決實(shí)際工程問(wèn)題中的應(yīng)用。