基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

吳玉婷

摘 要：數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)已成為一種趨勢，它是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，通常有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。對于“實(shí)數(shù)”的教學(xué)，以第一次數(shù)學(xué)危機(jī)為故事主線，問題驅(qū)動(dòng)為輔，步步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)無理數(shù)，體會(huì)無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際需要，以及從中體現(xiàn)的人類理性精神。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;實(shí)數(shù)教學(xué);問題驅(qū)動(dòng)

一、引言

數(shù)學(xué)史是人類文明中的一筆寶貴財(cái)富，具有獨(dú)特的教育功能。法國數(shù)學(xué)家龐加萊說：“如果我們想要遇見數(shù)學(xué)的未來，適當(dāng)?shù)耐緩骄褪茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀”。學(xué)生是未來世界的創(chuàng)造者，對作為一線的中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，帶領(lǐng)他們領(lǐng)略數(shù)學(xué)史，體會(huì)數(shù)學(xué)家們的精神和數(shù)學(xué)思想，為他們打開世界的大門，是我們應(yīng)當(dāng)要做到。

那如何將數(shù)學(xué)史融入到課堂教學(xué)中？附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式是幾種較為常見的融入方式?；诓煌绞降膬?yōu)勢以及無理數(shù)涉及的數(shù)學(xué)史，以第一次數(shù)學(xué)危機(jī)故事為基礎(chǔ)，讓學(xué)生了解無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)背景，感受數(shù)學(xué)家頑強(qiáng)拼搏，堅(jiān)持真理的精神;接著通過幾個(gè)問題，讓學(xué)生沿著先人足跡去探索無理數(shù);最后以一段微視頻，帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)系的發(fā)展過程。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)背景

教師講述以下故事：

“萬物皆數(shù)”是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信仰。他們認(rèn)為宇宙的一切現(xiàn)象，都可以化為整數(shù)或分?jǐn)?shù)的問題;除此之外，就不再有其他的什么東西了。然而這一信仰卻隨著他的學(xué)生希帕索斯計(jì)算邊長為1 的正方形對角線長度時(shí)被打破了。希帕索斯發(fā)現(xiàn)它既不是整數(shù)又不是分?jǐn)?shù)，這個(gè)實(shí)際存在的量，就像是一個(gè)“外星人”一樣闖入了他的視線，于是趕緊把這一發(fā)現(xiàn)告訴他的老師畢達(dá)哥拉斯。可是畢達(dá)哥拉斯也無法解釋這是怎么回事，因?yàn)樗娜恐R理論都是以有理數(shù)為基礎(chǔ)的，于是他不準(zhǔn)希帕索斯再談?wù)??？墒窍Ｅ了魉咕拖胫?，如果我們不承認(rèn)這個(gè)數(shù)，那豈不是等于說正方形的對角線長度不存在嗎。后來他為了堅(jiān)持自己所得到結(jié)論，就將生命置之度外，把這件事傳揚(yáng)了出去，最后卻被學(xué)派的人扔進(jìn)了海里，失去了生命。那希帕索斯當(dāng)年到底發(fā)現(xiàn)了什么？現(xiàn)在我們就沿著前人的足跡來探索這位神秘的“外星人”。

（二）無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程

首先教師出示邊長為1的正方形，讓學(xué)生指出其對角線，然后引出問題1.

問題1： 你能拼出來嗎？

將兩個(gè)邊長為1 的正方形進(jìn)行裁剪，拼成一個(gè)大正方形，使得大正方形的邊長剛好是小正方形的對角線，你和你的同伴能合作拼出來嗎？

學(xué)生以小組為單位，用準(zhǔn)備好的完全一樣的正方形紙片進(jìn)行剪拼，然后在全班交流討論。出乎意料，學(xué)生給出了以下兩種不同拼圖。

接著引導(dǎo)學(xué)生找出拼圖前后所蘊(yùn)含的等量關(guān)系，得到此時(shí)的正方形面積為2，然后出示問題2。

問題2：面積為2的正方形邊長怎樣表示？

解：設(shè)正方形的邊長為x，依題意可得x2=2

根據(jù)平方根的定義及實(shí)際意義，得到，這個(gè)數(shù)表示面積為2的正方形的邊長，是現(xiàn)實(shí)世界中真實(shí)存在的線段長度。

思考：面積為3的正方形，它的邊長又如何表示？若面積為5呢？

類似地，用來分別表示面積為3和5的正方形的邊長。

問題3：是有理數(shù)嗎？

在七年級的學(xué)習(xí)中，我們知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，且任何一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)的形式，必定是有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)。如：，，，。

但當(dāng)年希帕索斯做了很多嘗試，卻發(fā)現(xiàn)并不能表示成這種形式，也就是說不是一個(gè)有理數(shù)。后來人們才意識到它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。對于無理數(shù)的經(jīng)典證明，歐幾里得的《幾何原本》當(dāng)中就有，其中我們的課本閱讀材料中就給出了 不是有理數(shù)的證明過程。

問題4：無限不循環(huán)的小數(shù)還有哪些？

除了，等，我們在小學(xué)階段就已熟悉的圓周率π也是無限不循環(huán)小數(shù)。當(dāng)然，我們也可自己構(gòu)造，

如：0.303003000300003……（每兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐漸多1個(gè)）

概括：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

看來畢達(dá)哥拉斯學(xué)派雖然“懲罰”了希帕索斯，卻“懲罰”不了，反而還出現(xiàn)了更多，如…。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就這樣錯(cuò)過了讓學(xué)派光榮的機(jī)會(huì)。

真理終究是不會(huì)被淹沒的，畢氏學(xué)派抹殺了真理才是“無理”。后來人們?yōu)榱思o(jì)念希帕索斯的犧牲，就把這些數(shù)取名“無理數(shù)”。

總結(jié)：常見的一些無理數(shù)：

（1）含π的一些數(shù);

（2）含開不盡方的數(shù);

（3）有規(guī)律但不循環(huán)的小數(shù)，如4.04004000400004…

接著教師通過例題及練習(xí)加深學(xué)生對無理數(shù)的理解和辨別。

引入了無理數(shù)，數(shù)的家族更加壯大了，由此教師引出實(shí)數(shù)的概念。

（三）數(shù)系的擴(kuò)充

問題5：我們將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。仿照有理數(shù)的分類，你能給實(shí)數(shù)分類嗎？

引導(dǎo)學(xué)生類比有理數(shù)的分類，以小組討論的形式分享自己對實(shí)數(shù)的分類的看法，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想，從而得到以下兩種不同的分類方法。

在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)分實(shí)數(shù)家族中不同類型的數(shù)的練習(xí)，加深學(xué)生對實(shí)數(shù)的理解。

最后，為了讓學(xué)生有一個(gè)更加完整的數(shù)系發(fā)展的脈絡(luò)，以一段微視頻來結(jié)束本節(jié)課。

三、結(jié)束語

本節(jié)課以無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)故事為背景，讓數(shù)學(xué)史貫穿整個(gè)教學(xué)過程，從而說明了引入無理數(shù)的必要性，體現(xiàn)了人類文明與實(shí)際活動(dòng)的聯(lián)系;學(xué)生在感受到當(dāng)每一次面臨數(shù)的“不夠用”時(shí)就需要出現(xiàn)新的數(shù)的同時(shí)，既領(lǐng)略了數(shù)的擴(kuò)展的基本思想，也了解了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)所經(jīng)歷的坎坷，這一重大發(fā)現(xiàn)是人類理性思維和科學(xué)精神的偉大勝利;以數(shù)學(xué)歷史故事為主，問題驅(qū)動(dòng)為輔，既順應(yīng)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又讓學(xué)生處于感興趣的狀態(tài)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的樂趣和積極性。

參考文獻(xiàn)

[1]汪曉勤.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2014

[2]楊馨元.有理數(shù)與無理數(shù)概念的課程與教學(xué)研究.《陜西師范大學(xué)》，2015