例談橢圓離心率問題的求解

王小檐 肖振華

摘 要：圓錐曲線在平面解析幾何中處于核心地位，也是高考重點(diǎn)考查對象之一，文章主要以一道典型求橢圓離心率的問題展開多方位思考，探究數(shù)種不同的求解方法，總結(jié)了基本解題技巧以及常用的解題方法，豐富了橢圓離心率問題的探究，也加強(qiáng)了學(xué)生思維的訓(xùn)練，提高了學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：橢圓;離心率;解題策略

1.橢圓離心率的定義

橢圓離心率（偏心率）是指動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和動點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之比。用數(shù)學(xué)符號來表示：（c是半焦距，a是半長軸），橢圓離心率的范圍為（0，1）。

2.典題呈現(xiàn)

題目：已知雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率是多少？

分析：這種題型是圓錐曲線中的一道典型求橢圓離心率的問題，一般解決方法都會涉及解析幾何、平面幾何、代數(shù)運(yùn)算等多個(gè)知識點(diǎn)，其綜合性比較強(qiáng)，方法也比較靈活，要真正掌握橢圓離心率的求解，首先定義是基礎(chǔ)，運(yùn)算是關(guān)鍵，再建立起關(guān)于a，b，c間的關(guān)系是解題的突破口。

解法1：（尋找P點(diǎn)軌跡為橋梁）

如圖2.1所示：雙曲性的漸近線方程為，設(shè)，，定邊對定角，所以點(diǎn)P軌跡為圓弧，方程為與直線方程聯(lián)立可得：，解得

點(diǎn)評：此種方法來求解要求掌握“定邊對定角模型”探尋P軌跡是一個(gè)圓弧，然后列出軌跡方程，并與直線方程聯(lián)立，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再算離心率就很容易得出結(jié)果。

解法2：（利用余弦定理來解三角形）

如圖2.1所示：雙曲性的漸近線方程為則，設(shè)，.

在和中有余弦定理可得：

將（2）+（3）式可得：

將（2）-（3）式可得：

所以，解得，

故

點(diǎn)評：這種方法求解的思路不易把握，圓錐曲線問題也同樣可以利用平面幾何的知識求解，打破常規(guī)解法，這種想法可以作為圓錐曲線的一個(gè)重要解題思路，幫助學(xué)生面對求離心率問題有更多的選擇機(jī)會，要熟練余弦定理的應(yīng)用，這樣使問題又更簡單明了。

解法3：（巧用距離公式建立等量關(guān)系）

如圖2.1所示：雙曲線的漸近線為聯(lián)立橢圓方程：

解得又因?yàn)椋?/p>

設(shè)，所以，又因?yàn)椋?/p>

，所以，故，

即

整理可得，所以即，

故，所以

點(diǎn)評：這種解法中運(yùn)用了余弦定理找出與c之間的關(guān)系，此外與a之間滿足，二者建立等量關(guān)系從而能夠求出橢圓離心率。

解法4：（引入?yún)?shù)利用等面積法）

如圖2.1所示：漸近線方程為，設(shè)則，所以，由可知，所以，即

所以3e4-22e2+7=0解得（7舍去），所以

點(diǎn)評：前面已經(jīng)給出了，再利用求出面積，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)同樣能夠算出面積，面積相等求出參數(shù)，再根據(jù)a，b，c間關(guān)系算出離心率即可。

結(jié)論：探求橢圓離心率問題通常利用平面幾何關(guān)系、代數(shù)運(yùn)算等，如正、余弦定理，以及圖形的對稱性質(zhì)，然后將這些關(guān)系結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)用a，b，c進(jìn)行表示，進(jìn)而得到等量關(guān)系，就可以確定離心率。本文以一道典型例題的多種方法求解為例，為橢圓離心率的問題挖掘了多條思路，供老師和學(xué)生參考，在某種程度上運(yùn)用一定的解題策略能夠激發(fā)學(xué)生的解題興趣，從而幫助學(xué)生提高解題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]樊帆.一道圓錐曲線離心率范圍問題的討論[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017，51-52

[2]劉族剛，朱新婉.圓錐曲線的離心率題型剖析[J]試題研究，2018，53-55

作者簡介：王小檐、肖振華，江西省贛州市贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)研究生