我國股票收益率分布特征的統(tǒng)計(jì)分析

張澤亞

摘要：隨著經(jīng)濟(jì)全球化以及投資自由化的發(fā)展，人們逐漸有了投資的意識，金融市場也越來越被需要。作為國民經(jīng)濟(jì)的晴雨表，股票關(guān)系到許多方面。因此，無論是對于政府主管部門還是廣大股民，對股票收益率的分析都具有重大意義。除此之外，由于正態(tài)分布具備許多特殊的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，所以人們常常將收益率假設(shè)為服從正態(tài)分布。然而近年來通過不斷的研究發(fā)現(xiàn)，收益率通常具有“尖峰厚尾性”，這就意味著拒絕了其服從正態(tài)分布的傳統(tǒng)假設(shè)。因此，分析收益率的分布特征不僅對研究收益率自身極為必要，而且對于其他的理論研究也具有重大意義。文章主要通過四個(gè)部分來進(jìn)行介紹：首先是緒論部分，即介紹研究的背景、現(xiàn)狀及研究意義。其次是正文部分，即對股票收益率進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)以及尖峰后尾性質(zhì)的檢驗(yàn)，分析幾種常用于解釋收益率分布特征的分布，例舉出幾種檢驗(yàn)擬合優(yōu)度的方法，接著運(yùn)用origin軟件對幾種中國股票收益率的實(shí)證分析研究，通過比較擬合優(yōu)度找到適合解釋收益率的統(tǒng)計(jì)分布。最后進(jìn)行總結(jié)。

關(guān)鍵詞：股票收益率;統(tǒng)計(jì)分析

1.引言

1.1研究背景

股份公司為了籌集資金，會(huì)發(fā)行給各股東一種有價(jià)證券，并以此作為持股憑證來獲得股息和紅利，這種有價(jià)證券被稱為股票。股票最先起源于資本主義國家。1602年，在荷蘭的阿姆斯特丹成立的東印度公司是世界上第一個(gè)股份有限公司。緊接著，英國和美國的股票市場也開始發(fā)展起來。我國最早出現(xiàn)的股票是外商股票。1986年，上海靜安證券業(yè)務(wù)部的開張標(biāo)志著中國第一個(gè)股票交易所的成立。在三十多年的發(fā)展中，中國股票市場經(jīng)歷了多變的政策選擇，在不斷的摸索中逐漸形成了完善的體系。

伴隨著股票市場的發(fā)展，對股票市場的研究也從未間斷。1990年，法國金融學(xué)家Louis Bachelier發(fā)表的一篇論文中第一次提出了用正態(tài)分布去擬合資產(chǎn)價(jià)格的分布。再后來，很多學(xué)者通過多方面的分析及證明也肯定了股票收益率服從正態(tài)分布這一理論。然而，在實(shí)際的股市行情中，股票收益率分布與正態(tài)分布的擬合程度并沒有這么理想。一開始，人們會(huì)將無法擬合的點(diǎn)當(dāng)作極端值或異常值。再經(jīng)過很長一段時(shí)間的研究之后，許多科學(xué)家又開始嘗試運(yùn)用其他的方式來解釋股票收益率的分布。近年來，在中西方學(xué)者的研究成果中都能夠發(fā)現(xiàn)，股票的收益率并不是服從于正態(tài)分布，而是在峰值處較尖，峰度較陡，而尾處平緩呈現(xiàn)出了一種尖峰厚尾的特性，但是仍沒有研究出一種可以準(zhǔn)確擬合收益率分布的統(tǒng)計(jì)模型。

1.2研究意義

作為整個(gè)國民經(jīng)濟(jì)的基石，股市的作用和地位是不能被替代的。股票既可以通過充分調(diào)動(dòng)社會(huì)中的閑散資金發(fā)展國家經(jīng)濟(jì)建設(shè)，還可以促進(jìn)資金和經(jīng)濟(jì)的聯(lián)系。因此，無論是對于政府、證券交易所還是對廣大股民來說，正確地描述股票收益率的大致模型都具有重要的意義。分析出收益率的分布特征不僅有助于研究收益率自身分布的客觀規(guī)律，也有利于研究其他相關(guān)的理論學(xué)說。

2.研究股票收益率分布的相關(guān)理論介紹

2.1股票收益率的定義及計(jì)算方法

股票收益率（即獲利率）=股息或紅利/股票市場價(jià)格。股票收益率可用于計(jì)算已得的和預(yù)測未來的股票收益率。計(jì)算方式如下：

假設(shè)Pt為t期末的股票價(jià)格，則從t期到t+δ期的股票差可以定義為：△Pt=Pt+δ-Pt。設(shè)Rt為簡單收益率，則股票簡單收益率為

若采用復(fù)利計(jì)算投資收益率，那么設(shè)Rt為年利率，n為每期復(fù)利的次數(shù)，δ為投資期限，當(dāng)n→∞時(shí)，δ年后可獲得的資金Pt+δ為Pt+δ=Pt·eδRt。

2.2正態(tài)分布及尖峰厚尾的定義

2.2.1正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn)

如果隨機(jī)變量X的概率密度為：

則稱X服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量X的均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，記為X～N（u，σ2）。當(dāng)σ越小時(shí)，概率密度曲線f（x）的坡度越陡;當(dāng)σ越大時(shí)，曲線f（x）的坡度越平。

2.2.2尖峰后尾的定義

尖峰厚尾分布的特性一般是相對于正態(tài)分布來說的。當(dāng)離散程度（即方差）與正態(tài)分布相同時(shí)，在其均值位置處，尖峰厚尾分布的峰值較大，峰度較陡，峰處較尖，因此被稱為尖峰分布。由于峰值處的集中水平較高，尾部相比較正態(tài)分布而言就會(huì)顯得比較平坦，因此被稱為厚尾分布。金融數(shù)據(jù)常常會(huì)出現(xiàn)尖峰厚尾的特征。

2.3正態(tài)性于尖峰后尾檢驗(yàn)法

2.3.1Q-Q圖檢驗(yàn)

Q-Q圖是一種散點(diǎn)圖，可以通過觀察來判斷一組數(shù)據(jù)服從于哪一種分布，通常被用作檢驗(yàn)是否服從正態(tài)分布。通常情況下，Q-Q圖的橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)，縱坐標(biāo)為實(shí)際的數(shù)值。當(dāng)Q-Q圖上的樣本點(diǎn)近似地可以看作在一條直線附近時(shí)，就可以判斷出該組樣本數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，同時(shí)，這組數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可以由該直線的截距和斜率得出。樣本的偏態(tài)程度和峰態(tài)程度也可以通過Q-Q圖粗略的得出。

2.3.2峰度檢驗(yàn)

峰度，又被稱為峰態(tài)系數(shù)。它測量了一組數(shù)據(jù)的分布平峰或者尖峰的程度。峰態(tài)系數(shù)作為測度峰態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，一般由K表示。定義上，峰度系數(shù)相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的四階原點(diǎn)距，四階標(biāo)準(zhǔn)矩又可定義為：μ4/σ4，其中，σ為標(biāo)準(zhǔn)差，μ4為四階原點(diǎn)距。一般情況下，當(dāng)K=3時(shí)為正態(tài)分布;K<3時(shí)為扁平分布;K>3時(shí)為尖峰分布。

2.3.3偏度檢驗(yàn)

偏度，又稱偏態(tài)系數(shù)，用于測度數(shù)據(jù)分布的對稱性，記作SK。偏度為一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化三階矩，定義式為E[（（X-μ）/σ）3]=K3/σ3。由于正態(tài)分布的奇數(shù)階原點(diǎn)矩均為零，因此正態(tài)分布的偏度系數(shù)為零。當(dāng)SK<0時(shí)，可以判斷出數(shù)據(jù)右偏;當(dāng)SK>0時(shí)，可以判斷出數(shù)據(jù)左偏。

2.3.4Jarque-Bera檢驗(yàn)

Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量，簡稱JB統(tǒng)計(jì)量，它結(jié)合了偏度系數(shù)和峰度系數(shù)，用來檢驗(yàn)樣本是否服從正態(tài)分布。JB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法為JB=n（S2+K2/4）/6，其中，K為峰度系數(shù)，S為偏度系數(shù)。由于JB統(tǒng)計(jì)量服從自由度為2的x2分布，所以可以通過計(jì)算JB的值，分析隨機(jī)變量的峰度分布情況：當(dāng)JB<x2α（2）時(shí)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布;當(dāng)JB>x2α（2）時(shí)，隨機(jī)變量不服從正態(tài)分布。

2.3.5厚尾分布檢驗(yàn)

假設(shè)存在一組隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)F（X）滿足

假設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則有：

通常情況下，正態(tài)分布被人們認(rèn)為是薄尾分布。因此由式（2-12）可得，當(dāng)r>0時(shí)，隨機(jī)變量可被視為厚尾分布;當(dāng)r=0時(shí)，隨機(jī)變量可被視為薄尾分布。

在過去的研究中，人們也嘗試了運(yùn)用多種統(tǒng)計(jì)模型去擬合收益率的分布情況。由于在接下來的章節(jié)中會(huì)用origin軟件去擬合分布，所以在下一節(jié)中主要介紹origin軟件中所包含的可以用來擬合收益率分布的幾種分布模型。

2.4常用于解釋收益率分布的統(tǒng)計(jì)分布

2.4.1柯西分布

柯西分布，在物理學(xué)中又被稱為洛倫茲分布，其分布函數(shù)為：

其中，x0表示分布峰值所在的位置，γ為最大值一半處的寬度。當(dāng)x0=0，γ=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布。柯西分布的概率密度函數(shù)圖像為鐘型，這一點(diǎn)與正態(tài)分布非常相似，但是柯西分布概率密度圖下降至零的速度比正態(tài)分布慢了很多。

假設(shè)一組數(shù)據(jù)服從標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，判斷其是否具有厚尾特征：

從式（2-6）中可以得出r=1>0，因此在一定的條件下，柯西分布是一個(gè)厚尾分布。

2.4.2極值分布

在概率論中，對于某一特定的研究主體，按一定的特征將其劃分成若干組，從每一組挑選出其中的最大值（或最小值），這些最大值（或最小值）會(huì)服從一定的分布f（x），f（x）就稱為極值分布。在金融研究方面，極值分布常被用于對隨即變量最大或最小值的概率分布和邊際概率的尾部建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)計(jì)所有持有資產(chǎn)的收益和預(yù)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。

在實(shí)際的運(yùn)用中，為了方便，人們常用廣義極值分布來表示極值分布，這時(shí)就會(huì)引入位置、尺度和形狀參數(shù)，分別為μ，σ，ξ。在引入位置和尺度參數(shù)后，分布函數(shù)中的x就由（x-μ）/σ替代，接著引入形狀參數(shù)，得到的統(tǒng)一的表達(dá)式為：

2.5擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法

2.5.1判定系數(shù)檢驗(yàn)

判定系數(shù)是用于度量估計(jì)的回歸方程的擬合優(yōu)度。因變量y會(huì)受到自變量x以及除x以外其他因素的影響從而有所波動(dòng)，這種波動(dòng)稱為變差。對于一個(gè)具體的數(shù)值來說，變差為觀測值與這組數(shù)據(jù)平均值的差。總平方和就是n個(gè)數(shù)值變差的和，記為

則反映的是實(shí)際值與估計(jì)值的差，不能通過回歸直線來解釋，被稱為殘差平方和，用SSE來表示。通過分析可知，擬合程度的高低是由SSR和SSE來決定的，因此產(chǎn)生了判定系數(shù)R2。判定系數(shù)為回歸平方和與總平方和之比：

實(shí)際數(shù)值如果與估計(jì)值越接近，則SSE就越小，R2就越大;當(dāng)R2=1時(shí)，實(shí)際數(shù)值與估計(jì)值完全擬合;若SSE越大，則說明實(shí)際數(shù)值越遠(yuǎn)離估計(jì)值，R2就會(huì)越小。因此，可以通過R2的值來判斷擬合優(yōu)度：R2越大，擬合程度越好;R2=1時(shí)，完全擬合。

2.5.2殘差圖檢驗(yàn)

殘差通常用e表示，寫為? ? ? ? ? ? ? ? ?，表示實(shí)際觀測值與回歸后的估計(jì)值之間的差值，一組數(shù)據(jù)中所有的殘差相加就為殘差平方和SSR。

由于在回歸模型中存在一個(gè)假定期望等于零、方差相等且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量ε，因此對回歸程度的檢驗(yàn)也可以說是對隨機(jī)變量ε的假定是否成立的檢驗(yàn)，這種檢驗(yàn)的方法之一就是運(yùn)用殘差圖分析。若回歸模型選取合理，那么殘差分布圖中的所有點(diǎn)都應(yīng)該分布在一跳水平區(qū)間之中。如果殘差圖中的點(diǎn)分布在一條逐漸擴(kuò)大的區(qū)間內(nèi)或者散亂分布，表明所選取的擬合模型是不合理的，需要考慮更換模型重新擬合。

3.中國股票收益率分布特征的實(shí)證分析

3.1數(shù)據(jù)選取

為了驗(yàn)證我國股票收益率的分布情況，本章節(jié)選取了上證指數(shù)和深證A指從2013年至2019年股票收益率的數(shù)據(jù)，來研究其分布特征。

上證指數(shù)，即上海證券綜合指數(shù)，1991年7月15日正式發(fā)布，反映的是在上海證券交易所所上市的全部證券股票價(jià)格的實(shí)際變動(dòng)情況。深證成份股指數(shù)是從上市的所有股市中抽取40家有代表性的公司，將他們的股市作為分析對象，并把權(quán)數(shù)設(shè)定為流通股，計(jì)算得出加權(quán)股價(jià)指數(shù)。

3.2收益率的正態(tài)性和尖峰后尾檢驗(yàn)

在以前的大部分文獻(xiàn)中，收益率是服從正態(tài)分布的。但是近幾年經(jīng)過人們的反復(fù)分析，有一部分人則認(rèn)為收益率具有尖峰后尾性，因此并不服從于正態(tài)分布。利用SPSS做QQ圖后可以發(fā)現(xiàn)，雖然收益率大部分呈一條直線，但是尾處與直線偏離程度較大，因此分析收益率為厚尾分布。通過計(jì)算可得，上證指數(shù)的偏度和峰度分別為-0.942和6.487，深證A指的偏度和峰度分別為-0.827和3.722。

假設(shè)置信區(qū)間為95%，提出假設(shè)H0：收益率服從正態(tài)分布;H1：收益率不服從正態(tài)分布。由上兩表的數(shù)據(jù)可以得出可用來判斷是否服從正態(tài)分布的JB值：

查表得xα（2）=5，上證指數(shù)與深證A指的JB值明顯大于5.991，所以拒絕原假設(shè)，上證指數(shù)與深證A指的收益率不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特性。

3.3收益率分布模型的擬合

由第二章的內(nèi)容可知，在origin軟件中，柯西分布和極值分布在一定的條件下可能可以比正態(tài)分布更好地?cái)M合收益率分布情況，因此需要判斷出哪一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型可以更好地用來描述收益率分布特征。

在進(jìn)行分析之前，由于每一個(gè)數(shù)據(jù)都具有自己的維度，即一個(gè)數(shù)據(jù)會(huì)受到多方面的影響。如果直接采用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，那么這些方面對股票收益率的影響程度是不一樣的，因此需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。使數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的方法有很多，這里采用正規(guī)化方法，即z-score標(biāo)準(zhǔn)化對數(shù)據(jù)進(jìn)行變化。

在得到一組標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)后，作出這組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表，在圖中連接各點(diǎn)后與上述統(tǒng)計(jì)模型擬合，擬合得出的結(jié)果如下：

圖3-1中的四張圖顯示了用origin軟件擬合上證指數(shù)與柯西分布、廣義極值分布以及正態(tài)分布擬合的大致圖像。從圖中可以看出，廣義極值分布則不能較好地?cái)M合收益率的峰度和左尾。從擬合的圖像上可以判斷在這三種分布模型中柯西分布用來描述上證指數(shù)收益率是最優(yōu)的。下面繼續(xù)分析這三種模型與深證A指的擬合程度。

圖3-2顯示了三種分布模型與深證A指收益率分布的擬合情況。由上圖可以看出，廣義極值分布仍不能較好地?cái)M合收益率分布的左尾;然而在擬合深證A指時(shí)，正態(tài)分布與柯西分布的擬合程度都較好。接下來需要通過擬合優(yōu)度的計(jì)算以及殘差圖來判斷哪種模型能夠最好的擬合收益率分布。

3.4擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)

根據(jù)第二章節(jié)的內(nèi)容得出，可以通過殘差圖以及判定系數(shù)來比較擬合優(yōu)度。但是當(dāng)做出殘差圖后發(fā)現(xiàn)，各個(gè)分布擬合后除個(gè)別極端值外，基本上都落在了一條水平帶中間。

通過origin軟件可求得各擬合的判定系數(shù)，其中上證指數(shù)的柯西分布、廣義極值分布、正態(tài)分布的分別為0.99378、0.94846、0.96963，深證A指的柯西分布、廣義極值分布、正態(tài)分布的分別為0.98282、0.95484、0.98275。所以，不論是上證指數(shù)還是深證A指，柯西分布擬合后的判定系數(shù)都大于其他分布擬合后所得的判定系數(shù)，再結(jié)合之前的殘差圖可以得出以下結(jié)論：柯西分布較正態(tài)分布和廣義極值分布相比可以更好地?cái)M合股票收益率分布。

4.總結(jié)與展望

4.1總結(jié)

本文主要研究的是通過統(tǒng)計(jì)的方法對中國股票收益率分布特征進(jìn)行分析。首先介紹可以運(yùn)用于解釋許多分布情況的正態(tài)分布模型去擬合。顯然，正態(tài)分布不能夠很好地反映收益率分布的峰度和尾部分布情況，從而證明收益率不是完全服從于正態(tài)分布的。股票收益率屬于金融數(shù)據(jù)，易受到時(shí)間的影響，而且極端值出現(xiàn)的概率較大。通過峰度的計(jì)算及檢驗(yàn)，得出我國股票收益率服從尖峰厚尾分布。本文中的第二章節(jié)介紹了origin軟件中一些可以用來擬合收益率分布的幾種統(tǒng)計(jì)模型以及擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)方法，例如柯西分布、廣義極值分布等。接著，對我國2013-2019年的上證指數(shù)和深證A指進(jìn)行了實(shí)證分析，并通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，柯西分布能夠比正態(tài)分布更好地解釋收益率分布的峰度和尾部，所以說柯西分布也可以較好地?cái)M合我國收益率的分布情況。

4.2展望

金融市場的數(shù)據(jù)分析一直是一個(gè)熱門的話題。尤其是股票收益率，吸引了很多學(xué)者的關(guān)注。近代的學(xué)者們已經(jīng)推翻了以前人們所得出的收益率服從正態(tài)分布這一論點(diǎn)，得出了收益率有尖峰厚尾的特性，并分析出了收益率可以近似地由混合正態(tài)分布或t分布去擬合，取得了很大的進(jìn)步。但是，股票收益率是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，受著很多因素的影響，目前所研究出的擬合模型其實(shí)也不能完全用來去解釋收益率的分布情況。在以后的分析和研究中，學(xué)者們也會(huì)將這些影響因素帶入分析的范圍內(nèi)，研究出更好地可以擬合收益率的統(tǒng)計(jì)模型。通過統(tǒng)計(jì)模型的建立去預(yù)測將來股票收益率的發(fā)展情況，為人們的投資指明更好的道路。

參考文獻(xiàn)：

[1]余之明.股票的起源及發(fā)展探微[J].中國機(jī)電工業(yè)，1999（1）：37-38.

[2]邊寬江，程波，王蕾蕾.收益分布尖峰厚尾問題的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009（7）：83-85.

[3]朱松濤.關(guān)于Cauchy分布的若干結(jié)論[N].濟(jì)寧師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1995（3）：5-7.