一道圓錐曲線問題的解法探究

劉華昌

圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容.由于圓錐曲線既具有方程的形式，也有對應(yīng)的圖形，所以在解答圓錐曲線問題時(shí)，學(xué)生可以從多個(gè)不同的角度思考解題的方案，既可以從方程、向量等代數(shù)角度，還可以從平面幾何、解析幾何等幾何角度去思考解題的方案.開展一題多解訓(xùn)練，不僅能幫助學(xué)生掌握一類題型的通性通法，還能鍛煉他們的發(fā)散性思維能力.

例題：已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn) ，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn) 在 軸上，離心率 .

（1）求橢圓E的方程;

（2）求 的角平分線所在直線 的方程.

本題主要考查了橢圓的對稱軸、焦點(diǎn)、離心率等性質(zhì)，以及角的平分線，屬于中高檔難度的題目.第一問較為簡單，學(xué)生結(jié)合A點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率很快就能求出a、b、c的值，進(jìn)而求得橢圓E的方程為 .本文主要探究一下第二問的解法.由于角平分線不僅與直線方程有關(guān)，還與平面幾何知識相關(guān)，所以學(xué)生從不同的角度出發(fā)，可得到多種不同的解法.

利用直線方程的點(diǎn)斜式可得角平分線所在直線方程 .

焦點(diǎn)三角形頂角的角平分線與過焦點(diǎn)三角形頂點(diǎn)處的切線相互垂直，這也是橢圓中一個(gè)重要的光學(xué)性質(zhì)（由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)）.本題利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，求出角平分線所在直線方程的斜率.在解題的過程中，還利用了導(dǎo)數(shù)來求橢圓切線方程.這就要求學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、建立模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題.

引導(dǎo)學(xué)生對一道數(shù)學(xué)題目從多角度、多層次進(jìn)行探究，不僅能讓學(xué)生的思路變得更加開闊，還有利于提高他們發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力.這能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

（作者單位：山東省聊城市茌平區(qū)第一中學(xué)）