解答函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的思路

謝定亮 魏有蓮

函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題是各類試題中的常見問題，常與不等式、數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，主要考查同學(xué)們對(duì)問題的轉(zhuǎn)化和分析能力.本文主要談一談求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法：定義法、圖象法和運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理.

一、定義法

所謂定義法，指是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義解答問題的方法.我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).在利用定義法解題時(shí)，我們可以直接令函數(shù)f（x）=0，通過解方程來(lái)求出x的值，這樣就可以直接判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例1.已知函數(shù) ，試求該函數(shù)

分析：該函數(shù)是分段函數(shù)，我們需要進(jìn)行分段討論，可以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，令 ，分別求出對(duì)應(yīng)區(qū)間上的x的值，再進(jìn)行匯總，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

二、圖象法

有些函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，很難直接求出函數(shù)的零點(diǎn)，我們可以將已知函數(shù)拆成兩個(gè)新的函數(shù)，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化兩個(gè)新函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來(lái)求解.利用圖象法來(lái)解題就是通過分析函數(shù)的圖象，求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).合理對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行拆分是解題的關(guān)鍵.

例2.求函數(shù) 在區(qū)間 上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析：本題很難直接求出函數(shù)的零點(diǎn)，需要運(yùn)用圖象法來(lái)解題.首先令f（x）=0，構(gòu)造兩個(gè)新的函數(shù)y=2x和y= ，，將函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，分析其交點(diǎn)情況，便可得出函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

值得注意的是，函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn).

通過上述分析，我們可以發(fā)現(xiàn)：定義法較為直接，比較容易操作;運(yùn)用圖象法解題需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化;利用零點(diǎn)存在性定理解題較為復(fù)雜，有時(shí)需要用到導(dǎo)數(shù)知識(shí).因此在求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，我們首先要考慮定義法和圖象法，然后再考慮利用零點(diǎn)存在性定理來(lái)解題.

（作者單位： 福建省三明第一中學(xué)）