解答排列組合問題的常規(guī)思路

章維維

排列組合問題常出現(xiàn)在選擇題中，主要考查同學(xué)們的分析和邏輯思維能力.很多同學(xué)在解答排列組合問題的過程中容易出現(xiàn)審題不清、分不清到底是排列還是組合問題的情況.筆者對這類題型進(jìn)行了分析，歸納出以下幾種常規(guī)的解題方法.

一、特殊元素/位置法

有些問題中的元素/位置有特殊要求，這時(shí)我們不妨運(yùn)用特殊元素/位置法來解題，首先考慮有特殊要求的元素/位置，將它們先排列;再處理其他沒有要求的元素/位置.如果同時(shí)出現(xiàn)多個(gè)特殊元素/位置，則必須同時(shí)考慮.

例1.用 五個(gè)數(shù)字能組合成多少個(gè)三位數(shù)的偶數(shù)？

分析：要組合成三位數(shù)的偶數(shù)，則末位必須是 當(dāng)中的一個(gè).而 較為特殊，不能排在首位，因此可將0作為特殊元素優(yōu)先考慮，需分為兩種情況進(jìn)行討論.而個(gè)位、十位和百位有順序要求，所以該問題屬于排列問題.

解：當(dāng)0排在個(gè)位時(shí)，其余四個(gè)數(shù)1，2，3，4可任意選擇十位和百位兩個(gè)位置，共有 種排列方法;

當(dāng)0不排在個(gè)位時(shí)，需要從2、4中挑選一個(gè)數(shù)排在個(gè)位，有 種排列方法;此時(shí)，除了0以外還有3個(gè)數(shù)，可選擇一個(gè)排在百位，有 種排列方法;那么剩余有3個(gè)數(shù)字沒有排，所以十位的排列方法有 種，故共有 種排列方法.

由分類計(jì)數(shù)原理可得，滿足題意的三位數(shù)共有 個(gè).

二、捆綁法

在處理某些元素必須排在一起的問題時(shí)，我們常用捆綁法.首先將要求相鄰的元素“捆綁”在一起，當(dāng)作一個(gè)整體與其他元素一起排列;然后將這個(gè)整體內(nèi)部的元素進(jìn)行全排列，最后利用分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

例2.現(xiàn)有4名男生與2名女生一起合影，女生要求站在一起拍照，則有多少種不同的排法？

解：2名女生要求站在一起，需將她們看作一個(gè)整體進(jìn)行“捆綁”，與4個(gè)男生站在一起排列，有 種排列方法;

女生之間有 種排列方法;

由分步計(jì)數(shù)原理可得共有 ?=240種排列方法.

當(dāng)題目中出現(xiàn)“相鄰”“相連”這樣的字眼時(shí)，我們應(yīng)首先想到運(yùn)用捆綁法解題.由于處理捆綁的內(nèi)部元素和外部的元素分兩步進(jìn)行排列，所以需運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理來解題.

三、插空法

處理元素不相鄰的排列組合問題的常用方法是插空法.首先排列沒有要求的元素;將其進(jìn)行全排列，然后將不相鄰的元素插入到其他元素排列的空隙中.由于這些都是分步完成的，所以需要運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理求得最后結(jié)果.

例3.3名女生和5名男生排成一排.如果女生都不相鄰，有多少種排法？

解：先排5個(gè)男生，有A55種排法，這5個(gè)男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有A36種排法，因此共有A55·A36=14 400種不同排法.

在運(yùn)用插空法解題時(shí)，同學(xué)們要特別注意兩端的空隙.

四、隔板法

在解答一些相同元素分配的問題時(shí)，我們可以運(yùn)用隔板法來解題.若有n個(gè)相同的元素要分成m份，每份至少有一個(gè)元素，需用m-1塊板插入到n-1個(gè)縫隙中，使這些元素分隔開，共有 種分法.特別要注意的是，利用隔板法解題的前提是分配元素必須相同;將分配的組別是無序的，每組中至少有一個(gè)元素，且元素不能有剩余.

例4.將10面流動(dòng)紅旗，分給7個(gè)優(yōu)秀班級(jí)，每班至少有一面紅旗，有多少種分法？

分析：首先我們需明確10面流動(dòng)的紅旗是相同的，先將它們排成一排，就會(huì)出現(xiàn)10-1個(gè)空隙，在這9個(gè)空擋之中選擇7-1個(gè)位置插入隔板，就能夠把紅旗分成7份，也就是將10面紅旗分配到7個(gè)班級(jí)當(dāng)中，則有 =84種分法.

由此可見，排列組合問題的難度不大，解題的難點(diǎn)在于理解題干信息，明確事件是分步還是分類進(jìn)行，是否有順序要求，屬于排列還是組合問題.因此在解題時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)分析題意，善于從題目中提煉關(guān)鍵詞，選擇與之相對應(yīng)的方法，如特殊元素/位置法、插空法、捆綁法、隔板法，從而明確解題的思路.

（作者單位：江蘇省洪澤中學(xué)）