希爾伯特：以質(zhì)疑之聲指明數(shù)學(xué)研究的方向

柏華元

普魯士的首府柯尼斯堡鎮(zhèn)，因“柯尼斯堡七橋問題”（歐拉在1735年解決了這個難題）在18世紀(jì)聞名于數(shù)學(xué)界。到了19世紀(jì)后期，這個小鎮(zhèn)再一次名聲大震，因?yàn)檫@里誕生了一位數(shù)學(xué)大師，他就是大衛(wèi)·希爾伯特。

1862年，希爾伯特出生于東普魯士的柯尼斯堡鎮(zhèn)，他的祖父和父親都是法官，母親是一位富商的女兒，對哲學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)等略有研究。母親負(fù)責(zé)希爾伯特的啟蒙教育。有段時間母親對質(zhì)數(shù)著了迷，就會拉著小希爾伯特，指著天上的星星，像講故事一樣給兒子介紹質(zhì)數(shù)。慢慢地，希爾伯特也迷上了數(shù)學(xué)。在孩提時代，希爾伯特就了解到，古希臘人已經(jīng)證明了“要想盡可能生成所有數(shù)字，就需要無窮多個素數(shù)”。上學(xué)后，他在深入地學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)的相關(guān)知識后猜測：如果將數(shù)字轉(zhuǎn)換成方程的話，結(jié)果應(yīng)該會大不相同?？墒侨绾巫C明只有有限的方程才可用來生成某些有無窮多個解的方程組呢？這成為19世紀(jì)末數(shù)學(xué)家們面臨的一大挑戰(zhàn)。同時期的其他數(shù)學(xué)家都嘗試通過構(gòu)建方程這種費(fèi)時費(fèi)力的方法來攻克這個難題。但是希爾伯特卻另辟蹊徑，雖然他無法構(gòu)建出這樣的一組方程，但是他卻證明了這些有限的方程必然存在。這一觀點(diǎn)震驚了當(dāng)時的數(shù)學(xué)界。希爾伯特的導(dǎo)師也心生懷疑：這個結(jié)論是不是來得太容易了？

這對當(dāng)時正統(tǒng)派的數(shù)學(xué)理論研究者來說，可是一個不小的挑戰(zhàn)。如果人們無法看到有限的數(shù)據(jù)列表，就很難接受它的存在，即使有確鑿的證據(jù)證明它的存在，也很難讓人信服。那些仍固守法國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家，只認(rèn)同方程和顯式公式，很難從心里接受這樣一種觀點(diǎn)：有些東西雖然是看不見的，但確實(shí)是真實(shí)存在的。保羅·戈?duì)柕な窃擃I(lǐng)域的專家，他這樣評價希爾伯特的發(fā)現(xiàn)：“這不是數(shù)學(xué)，這是神學(xué)。”希爾伯特依然堅(jiān)守自己的觀點(diǎn)，即使他那時才二十幾歲。最后，數(shù)學(xué)家們終于承認(rèn)，希爾伯特是對的，就連戈?duì)柕ひ餐讌f(xié)讓步了。戈?duì)柕と绱苏f道：“我相信，就算是‘神學(xué)’，也有其可取之處的?！痹诖酥?，希爾伯特開始研究起數(shù)字來，他將那些數(shù)字形容為“一座難得的集美與和諧于一身的建筑物”。

1893年，德國數(shù)學(xué)學(xué)會邀請希爾伯特寫一份關(guān)于數(shù)論在19世紀(jì)末發(fā)展情況的報告。這對于一個剛剛?cè)鲱^的年輕人來說，是一個艱巨的任務(wù)。在一百多年前，這門學(xué)科甚至都沒有形成一套完整的體系。高斯于1801年出版的《算術(shù)研究》一書，開拓了數(shù)論這片“沃土”。到了19世紀(jì)末，“數(shù)論之花”燦爛綻放。為了使這一學(xué)科的發(fā)展步入正軌，希爾伯特的老朋友赫爾曼·閔可夫斯基加入到他的陣營。他們在柯尼斯堡讀書時就認(rèn)識了。閔可夫斯基在數(shù)論的研究上成績斐然，18歲時就斬獲了數(shù)學(xué)科學(xué)大獎。閔可夫斯基的加入，點(diǎn)燃了希爾伯特對素數(shù)的研究熱情。閔可夫斯基宣稱，通過他們的研究，素數(shù)一定會“搖曳生姿“起來。

希爾伯特的“神學(xué)”為他在歐洲數(shù)學(xué)界贏得了一席之地。1895年，德國數(shù)學(xué)家、時任哥廷根大學(xué)教授的菲利克斯·克萊因向他拋來了橄欖枝，來信希望他到哥廷根大學(xué)任教。希爾伯特欣然接受了邀請。在討論聘用希爾伯特任教一事的大會上，哥廷根大學(xué)的其他教職工都對克萊因的邀請和力挺表示質(zhì)疑，紛紛猜測他是不是招來了一個毫無立場的“跟班兒”。克萊因向他們保證，希爾伯特絕不是那類人。他說：“我已經(jīng)問過最難相處的人的意見了?！本驮谀悄甑那锾欤柌刂簧砬巴亲℃?zhèn)，他的靈魂導(dǎo)師黎曼就曾在那里任教。

不久，哥廷根大學(xué)的教職工們就意識到，希爾伯特并不滿足于對正統(tǒng)數(shù)學(xué)理論的研究。這個新同事的行為作派令那些數(shù)學(xué)家們大開眼界，震驚不已。其中一個人這樣寫道：“他簡直就是來攪局的。我聽說，有一天晚上，有人看見他在餐廳的后廚和學(xué)生們打臺球?！毕柌卦谠鹤永锛芷鹆艘粔K20英尺長的黑板，除了打理花圃和進(jìn)行自行車炫技之外，其余的時間他就在黑板上演算數(shù)學(xué)問題。他特別喜歡聚會，經(jīng)常將留聲機(jī)的最大唱針放到唱片上，大聲播放音樂。不過，與希爾伯特在數(shù)學(xué)上取得的成就相比，這些小怪癖顯得無足輕重。

1898年，希爾伯特將研究方向從數(shù)論轉(zhuǎn)到了幾何學(xué)上，他對一些數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)提出的新幾何學(xué)觀點(diǎn)很感興趣。而一些數(shù)學(xué)家宣稱，這些新幾何學(xué)觀點(diǎn)違背了古希臘人提出的一條基本幾何公理。但希爾伯特堅(jiān)信抽象數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著“看不見的強(qiáng)大力量”。因此，一個物體有何物質(zhì)實(shí)體是無關(guān)緊要的，而物體間有何關(guān)系，才是至關(guān)重要的。他開始研究隱藏在那些新幾何學(xué)問題背后的抽象結(jié)構(gòu)和關(guān)系。希爾伯特曾經(jīng)宣稱，如果用桌、椅、啤酒杯來分別代替點(diǎn)、線、面的話，這些幾何理論依然適用。這使得他一時名聲大振。早在一個世紀(jì)前，高斯就發(fā)現(xiàn)了這些有關(guān)新幾何學(xué)的結(jié)論，但是他并沒有將這些非正統(tǒng)的想法公之于眾。但是，他開始質(zhì)疑歐幾里得提出的一個基本幾何公理，即關(guān)于平行線的存在性問題。歐幾里得曾經(jīng)考慮過這樣一個問題：給出一條直線和線外一點(diǎn)，通過該點(diǎn)可以畫出多少條直線與原直線平行？對歐幾里得來說，答案似乎是顯而易見的，就是有且只有一條直線。16歲的高斯開始推測，可能有這樣一種幾何學(xué)，其中不存在平行線這樣的幾何圖形。除了歐幾里得的幾何學(xué)和這樣一種不存在平行線的新幾何學(xué)外，還可能存在第三類幾何學(xué)，其中可能存在不止一條平行線。如果真是那樣的話，那么對于這種幾何學(xué)來說，三角形內(nèi)角和就不再是180°，這是希臘人不敢想象的。如果真的存在這樣的新幾何學(xué)，那么高斯想知道的是，到底用哪種方法才能最完美地描繪現(xiàn)實(shí)世界。古希臘人堅(jiān)信，他們創(chuàng)建的模型就可以描述現(xiàn)實(shí)世界。但是高斯根本不能確定古希臘人的這種觀點(diǎn)是對還是錯。當(dāng)對漢諾威王國進(jìn)行地形勘測時，高斯就是利用哥廷根所采用的測量方法來驗(yàn)證由三處山頂投射下來的光束所構(gòu)成的三角形內(nèi)角和是否不等于180°的。高斯認(rèn)為光線在傳播路徑中會發(fā)生偏折。或許，在三維空間發(fā)生的彎曲和地球表面的二維圖一樣。他想到了無限大的圓弧，例如，經(jīng)度線是地球表面兩點(diǎn)之間最短的路徑。對這樣的二維幾何而言，不存在平行的經(jīng)度線，因?yàn)樗械慕?jīng)度線都會相交于極點(diǎn)。之前沒人想到過在三維空間中會發(fā)生彎曲的情況?，F(xiàn)在我們意識到，高斯觀察到的空間彎曲在歐幾里得開辟的幾何世界面前，只不過是“蚍蜉撼大樹”，僅觸及其一點(diǎn)皮毛罷了。到了19世紀(jì)30年代，高斯提出的新幾何學(xué)終于出現(xiàn)在公眾視野。

到了希爾伯特時期，這種學(xué)說開始登上數(shù)學(xué)舞臺，以一種更加抽象的方法完美地“描繪”數(shù)學(xué)世界。一些數(shù)學(xué)家聲稱，任何不滿足歐幾里得平行線假設(shè)的幾何學(xué)，必定存在某些內(nèi)在的矛盾，而這種內(nèi)在矛盾會導(dǎo)致該幾何學(xué)體系的瓦解。希爾伯特在探究這種可能性的過程中，發(fā)現(xiàn)非歐幾何和歐氏幾何之間存在較強(qiáng)的邏輯關(guān)系。他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)非歐幾何存在矛盾時，歐氏幾何也存在這種矛盾。這也算取得了一定進(jìn)步。希爾伯特的發(fā)現(xiàn)表明，兩種幾何學(xué)，一損俱損。但是之后，希爾伯特發(fā)現(xiàn)了一個令人不安的事實(shí)：沒有人可以真正證明歐氏幾何不存在內(nèi)在矛盾。

希爾伯特開始研究，如何證明歐氏幾何是有邏輯的。盡管兩千多年來沒人發(fā)現(xiàn)歐氏幾何有什么內(nèi)在矛盾，但也不能說不存在矛盾之處。希爾伯特要做的第一件事就是從公式和方程的角度重新解釋幾何學(xué)。笛卡兒創(chuàng)立了解析幾何，被18世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家們廣泛接受。利用公式來描述點(diǎn)線關(guān)系，可以將幾何簡化成代數(shù)，因?yàn)橛脦讉€數(shù)字就可以表示坐標(biāo)系里的一個點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們相信數(shù)論不存在矛盾之處。因此，希爾伯特希望借助將幾何替換成數(shù)字的方法，解決歐氏幾何是否存在矛盾這一問題。

然而，還沒等他找到以上問題的答案，希爾伯特就發(fā)現(xiàn)了一個更加令人不安的事實(shí)：沒有人能真正證明數(shù)論本身不存在矛盾之處。對希爾伯特來說，這真是當(dāng)頭一棒。數(shù)個世紀(jì)以來，無論從理論上還是從實(shí)踐上，數(shù)學(xué)家們在運(yùn)用數(shù)論的過程中，都沒有發(fā)現(xiàn)什么內(nèi)在矛盾，因此逐漸將其視為金科玉律?！坝赂蚁蚯?，信念與你同在?！边@是18世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家讓·勒朗·達(dá)朗伯對那些質(zhì)疑“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”的人們給出的有力回答。數(shù)字之于數(shù)學(xué)家，好比有機(jī)體之于生物學(xué)家，都是真實(shí)存在的。數(shù)學(xué)家樂此不疲地借助這些假設(shè)（而他們都認(rèn)為這是不證自明的數(shù)字真理）進(jìn)行推理。從來沒有人想過，這些假設(shè)可能存在矛盾之處。

希爾伯特在研究中提出了質(zhì)疑：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么？這么重要的問題，一旦提出來就不可能置之不理了。希爾伯特的質(zhì)疑，標(biāo)志著一個數(shù)學(xué)新時代的來臨。數(shù)學(xué)不再只是其他科學(xué)研究的工具，而成為一門探索理論、追求真理的獨(dú)立學(xué)科。希爾伯特對“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)”這一問題的思考，給他帶來了一個從事抽象數(shù)學(xué)實(shí)踐的機(jī)會。他提出的新方法使他在20世紀(jì)聲名鵲起。

在1899年即將接近尾聲時，一個絕好的機(jī)會擺在希爾伯特面前，他終于可以向世人描述這樣一幅畫面：他提出的新思想將會給幾何學(xué)、數(shù)論和數(shù)理邏輯帶來一個翻天覆地的變化。一天，希爾伯特收到了來自國際數(shù)學(xué)家大會的邀請，希望他明年能去巴黎參加大會，并在會上發(fā)表重要演講。對于一個不滿40歲的數(shù)學(xué)家來說，這是至高無上的榮譽(yù)。

在如此重大的場合，要演講些什么內(nèi)容呢？希爾伯特犯難了。一篇好的演講稿既要做到令人耳目一新，又要合乎時宜。希爾伯特想到能否在演講中暢想、展望數(shù)學(xué)的未來呢？他開始就這一想法征求朋友們的意見。要知道，這在當(dāng)時是不同尋常的做法，且違背了那條不成文的規(guī)定：只有完整的、系統(tǒng)化的思想，才能公開發(fā)表。打破由那些公認(rèn)的定理構(gòu)筑的安全屏障，去暢想不確定的未來，這是需要極大的勇氣的。但是，希爾伯特不懼爭議。最后，他決定帶著那些尚未得到證明的問題，去挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)界的傳統(tǒng)觀念。

然而，希爾伯特心里也不免打起了鼓：在這樣的場合，發(fā)表這樣一種前衛(wèi)的演講，是明智之舉嗎？或許他也應(yīng)該隨波逐流，講一講他所取得的研究成果，而不是談那些他還沒有完全解決的問題。由于拖延了時間，他錯過了提交演講報告題目的最后期限。因此，他的名字并沒有出現(xiàn)在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會的演講者名單上。到了1900年夏天，朋友們都擔(dān)心他就要與這個表達(dá)自己想法的絕佳機(jī)會失之交臂了。但是有一天，他們都在辦公桌上發(fā)現(xiàn)了希爾伯特的演講稿?！皵?shù)學(xué)問題”這幾個大字，赫然出現(xiàn)在他們的面前。

希爾伯特相信，問題是數(shù)學(xué)的命脈，而對問題的選擇更要慎之又慎。他寫道：“一個數(shù)學(xué)問題要夠難，才能引起我們的關(guān)注;但是又不能太難，難到完全高不可攀，反過來嘲笑那些徒勞無功的人們。它要能指引我們穿過一條條迷宮般的路徑，尋找隱藏在其中的真理，并能讓我們最終在得到答案后獲得成功的喜悅?！彼岢龅?3道難題，都是按照這一嚴(yán)苛標(biāo)準(zhǔn)精挑細(xì)選出來的。希爾伯特在演講中向數(shù)學(xué)探索者們提出了新的挑戰(zhàn)。

19世紀(jì)末期，一位杰出的生理學(xué)家埃米爾·杜布瓦一雷蒙提出：我們對自然的認(rèn)識具有局限性。這在許多研究領(lǐng)域都產(chǎn)生了巨大的影響。哲學(xué)圈里有一個流行語就是：“我們現(xiàn)在不知道，將來也不會知道?！钡?，希爾伯特在新世紀(jì)的愿望就是掃除這類悲觀論調(diào)。他在介紹完23道數(shù)學(xué)難題后，發(fā)出令人熱血沸騰的吶喊：“要相信，每個數(shù)學(xué)問題都是可以解決的。這種信念對數(shù)學(xué)工作者來說，是一種莫大的動力。我們能聽到，有一個聲音在不停地呼喚：問題就在那兒，等著你們?nèi)ふ掖鸢?。你一定能找到答案，這是因?yàn)?，對于?shù)學(xué)來說，沒有什么是不可知的。”

希爾伯特所提的前兩個問題，就涉及那些一直困擾他的基本問題，而其它問題則覆蓋數(shù)學(xué)領(lǐng)域的方方面面。有些是開放式的，并非有明確答案的問題。其中一個問題還涉及黎曼的猜想，那是物理學(xué)的基本問題，最終只能用數(shù)學(xué)知識來解決。

第五個問題源于黎曼秉承的信念：數(shù)學(xué)的不同分支，不論是代數(shù)、分析還是幾何，都是緊密相連的，不能將它們分離開來，只去理解某一分支。黎曼認(rèn)為方程的幾何性質(zhì)可以用這些方程定義的幾何圖形推斷出來。數(shù)學(xué)上有這樣一個說法：代數(shù)和分析必須對幾何“敬而遠(yuǎn)之”，因?yàn)閹缀螘谷苏`入歧途。要想打破這個教條，是需要一定的勇氣的。這也是諸如歐拉和柯西等數(shù)學(xué)家為什么會如此反對利用符號來描述虛數(shù)的原因。對他們而言，虛數(shù)就是諸如x=-1之類方程的解，無需再增加令人迷惑的符號了。但是對黎曼來說，這些學(xué)科之間顯然是有聯(lián)系的。

在這23道難題之中，希爾伯特提到了費(fèi)馬大定理。盡管那時的公眾普遍認(rèn)為，這個問題是數(shù)學(xué)史上一個偉大的未解之謎，可讓人奇怪的是，在希爾伯特的問題中，這個問題卻未占一席之地。在希爾伯特看來，這是一個極為特別又無足輕重的問題。高斯也持相同的觀點(diǎn)。他宣稱，人們可以選擇一系列其它方程，并詢問這些方程是否有解。費(fèi)馬選擇的方程則并沒有什么特別之處。

希爾伯特從高斯對費(fèi)馬大定理的評論中獲得了靈感，提出了第十問：是否存在一種算法（類似于計(jì)算機(jī)軟件那樣的數(shù)學(xué)程序），可以讓人在有限的時間內(nèi)判斷出一個方程是否有解。希爾伯特希望這個問題能將數(shù)學(xué)家們的注意力從具體問題轉(zhuǎn)向抽象問題。高斯和黎曼是他的榜樣，他們?yōu)樗財?shù)研究提供了一個新視角。從此，數(shù)學(xué)家們不再拘泥于研究一個特定數(shù)字是否為素數(shù)，而是從整體上去研究有關(guān)素數(shù)的問題。希爾伯特希望他提出的這一問題也能產(chǎn)生這樣的影響。

正如希爾伯特的好友閔可夫斯基所評價的那樣：“毫無例外，世界上所有的數(shù)學(xué)家都會閱讀你的演講稿。到時候，你對年輕數(shù)學(xué)家的吸引力就更大了。”希爾伯特敢于打破常規(guī)，發(fā)表了這樣一篇演講稿，使其成為20世紀(jì)新數(shù)學(xué)思想的奠基人。閔可夫斯基相信，這23個問題的提出，將會對國際數(shù)學(xué)界產(chǎn)生巨大的影響。他對希爾伯特說：“你真的觸及了20世紀(jì)所有的數(shù)學(xué)問題?！?/p>

在希爾伯特提出的眾多開放式問題中，有一個與眾不同，它就是第八個問題：證明黎曼假設(shè)。在一次采訪中，希爾伯特談到，他相信黎曼假設(shè)絕對會成為數(shù)學(xué)史上最重要的問題。在此期間，曾有人向他請教：未來最偉大的科技成就是什么？他幽默地答道：“是到月球上去抓蒼蠅?！币?yàn)橐獙?shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，必須解決一系列的技術(shù)難題。這意味著要克服人類面臨的幾乎所有困難。

他相信，證明黎曼假設(shè)之于數(shù)學(xué)，就好比到月球上抓蒼蠅。當(dāng)希爾伯特提出把黎曼假設(shè)作為第八個問題后，他進(jìn)一步解釋，完全理解黎曼的素數(shù)公式，或許能帶領(lǐng)我們進(jìn)入一個新領(lǐng)域。在那兒，我們能揭開素數(shù)的許多其它秘密。他認(rèn)為黎曼假設(shè)的證明熱潮具有雙重意義：一方面，它預(yù)示著數(shù)學(xué)史上一個時代的謝幕;另一方面，它將為我們打開更多扇門。

希爾伯特相信，距離證明黎曼假設(shè)的那一天不會太久。在1919年的一次演講中，他樂觀地說道，自己能活著看到有人證明出黎曼假設(shè)，或許臺下最年輕的觀眾還能有幸見證費(fèi)馬大定理的證明。但是，他又大膽地預(yù)測，或許在場的所有人都不能活到親眼見證第七個問題的證明——2的根號1次冪是否為某個方程的解。希爾伯特在數(shù)學(xué)上極有天賦，但若論預(yù)測能力，則稍顯遜色。不到10年的時間，他的第七個問題就被攻克了。1919年聽過希爾伯特演講的年輕畢業(yè)生，見證了懷爾斯對費(fèi)馬大定理的證明。在過去的幾十年里，盡管人們在證明黎曼假設(shè)上已取得了可喜的成績，但是就算希爾伯特從墳?zāi)怪行褋?，黎曼假設(shè)可能依然無解。

有一次，希爾伯特仿佛看到那一天離他不遠(yuǎn)了。一天，他收到一個學(xué)生寄來的一篇論文，該學(xué)生聲稱自己證明了黎曼假設(shè)。沒多久，希爾伯特就發(fā)現(xiàn)了證明中存在的一個漏洞。但是，他被其采用的證明方法深深吸引了。不過可惜的是，這個學(xué)生在一年之后就去世了。希爾伯特對這個年輕人提出的想法贊賞有加，并希望有一天可以促使這個偉大的假設(shè)得到證明。他說：“如果你愿意的話，可以考慮在虛數(shù)上定義一個函數(shù)……”就這樣，希爾伯特投入到錯誤的證明中，使這個數(shù)學(xué)問題偏離了原來的正確軌道。不過，這完美地詮釋了人們對數(shù)學(xué)家的刻板印象：數(shù)學(xué)家往往會與現(xiàn)實(shí)社會脫節(jié)。不管這個故事是真是假，但都是可信的。

在希爾伯特發(fā)表演講后，黎曼假設(shè)很快就進(jìn)入了公眾視野。如今，它被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上最偉大的未解之謎。盡管希爾伯特一心想證明這個假設(shè)，最終卻未能成功，但他提出的新課題對20世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。就連他提出的物理學(xué)問題以及關(guān)于數(shù)學(xué)公理的基本問題，也在20世紀(jì)末推動了人們對素數(shù)問題的研究。