高中階段的函數(shù)零點(diǎn)問題探究

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)的零點(diǎn)問題是一個(gè)重要的考察對(duì)象，是高考中的常考題型。函數(shù)的零點(diǎn)是溝通函數(shù)，方程和圖像的重要橋梁，其中滲透著很多數(shù)學(xué)思想方法，如，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程等思想。是一個(gè)考察學(xué)生能力的重要知識(shí)點(diǎn)。經(jīng)過多年的積累，其考查形式逐漸多樣化，全面化。要想很好的解決此類問題，熟練掌握試題的類型，解題的技巧尤為重要。解決這類題目都離不開以下幾中等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)。常見的變式為：有零點(diǎn)方程組有實(shí)數(shù)根與y2=g（x）的圖像有交點(diǎn).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);零點(diǎn)問題：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想;函數(shù)與方程

函數(shù)的零點(diǎn)問題主要有四類：

1.直接計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)：

函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是一個(gè)數(shù)值，而不是點(diǎn)的坐標(biāo).

例1：函數(shù)的零點(diǎn)是__________.

解析：1和2由，得x=1或2，所以函數(shù)的零點(diǎn)為1和2.

例2：函數(shù)的零點(diǎn)是________.

解析：-1和e3

當(dāng)x≤0時(shí)，由，解得x=5（舍去）或x=-1，

當(dāng)x>0時(shí)，由，解得x=e3.所以函數(shù)零點(diǎn)是-1和e3.

2.零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的分布.

解決此類問題主要依據(jù)零點(diǎn)存在性定理;如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).但是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)才能確定.

例3：函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.（0，1）? B.（1，2）? C.（2，3）? D.（3，4）

解析：B，，，因?yàn)?，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2）.

例4：若，則函數(shù)

兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）

A.（a，b）和（b，c）內(nèi) ? ? ? B.（-∞，a）和（a，b）內(nèi)

C.（b，c）和（c，+∞）內(nèi) D.（-∞，a）和（c，+∞）內(nèi)

解析：A由題意，得，，顯然，，所以該函數(shù)在（a，b）和（b，c）上均有零點(diǎn).

3.數(shù)形結(jié)合思想判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可用定義法，也可以用幾何法，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題來解決.

例5：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0 B.1 C.2 D.3

例6：已知函數(shù)，且則方程的解的個(gè)數(shù)為________.

解析：3因?yàn)樗郧?，解得所?在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖像，由圖可知，方程的解有3個(gè).

4.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍.

先給出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再來求參數(shù)的取值范圍.要解決此類問題根據(jù)函數(shù)有零點(diǎn)方程組有實(shí)數(shù)根與的圖像有交點(diǎn).

例7：已知函數(shù)，且關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

解析：（0，1]令，得.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=f（x）和y=a的圖像.由圖可得，y=f（x）和y=a的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，故.

以上四種類型試題所用到的各種方法并不是完全獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等思想把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)或者函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)

[1]陳芬艷.關(guān)于高中階段函數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（24）：28-29.

[2]江西高校出版社.當(dāng)代中學(xué)生報(bào)[N].當(dāng)代中學(xué)生報(bào)，2016

作者簡(jiǎn)介：馬煥才、男、1987-10-19、漢、河南省商丘市睢縣、碩士研究生、高中數(shù)學(xué)一級(jí)教師、現(xiàn)任職務(wù)：高一數(shù)學(xué)教師、研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)