從勾股定理到費馬大定理

如果有人問起上個世紀數(shù)學界最重要的成果是什么，相信很多人都會說是費馬大定理.這個懸置了長達350多年，比哥德巴赫猜想更著名的難題，在1995年被英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles，1953年-）徹底解決.同年，懷爾斯因此榮膺數(shù)學界著名的沃爾夫獎.

學過平面幾何的人都知道，設a、b為直角三角形的兩條直角邊的邊長，則斜邊長c跟a、b滿足關系式c2 =a2+b2. 中國人稱它為“商高定理”.根據(jù)我國古代的數(shù)學書籍《周髀算經(jīng)》里記載，古代數(shù)學家商高談到過這個關系式.但人們更普遍地稱其為勾股定理，因為在《周髀算經(jīng)》中記載著“勾三股四弦五”.在西方，上述關系式被稱為畢達哥拉斯定理.這是因為西方的數(shù)學及科學來源于古希臘，古希臘流傳下來最古老的著作之一便是歐幾里得的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在畢達哥拉斯的頭上了.畢達哥拉斯也被西方推崇為“數(shù)論的始祖”.

如果把勾股定理c2=a2+b2中的a、b、c視為未知數(shù)，則它就變成了一個不定方程（即未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)的方程）.方程c2=a2+b2也是最早被人們給出比較完整解答的不定方程，因為每一組勾股數(shù)即是這個方程的一組正整數(shù)解，而勾股數(shù)的規(guī)律和構造方法古人早已發(fā)現(xiàn).

法國人皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat，1601年-1665年）雖然學的是法律專業(yè)，從事的也是律師的職業(yè)，但他對數(shù)學卻有著濃厚的興趣.他在業(yè)余時間常閱讀各類數(shù)學書籍，并從事一些數(shù)學研究，鉆研一些數(shù)學問題. 費馬在閱讀古希臘數(shù)學家丟番圖的《算術》一書時，看到了關于方程x2+y2=z2一般解的論述，他頓時心有所感，于是就在書的空白處，用筆寫下這樣的心得：“反過來說，不可能把一個立方數(shù)分拆為兩個立方數(shù)的和，一個四方數(shù)分拆為兩個四方數(shù)之和.更一般地，任何大于二的方數(shù)不能分拆為兩個同樣方數(shù)之和.我已發(fā)現(xiàn)了一個絕妙的證明，但因為空白太小，寫不下整個證明. ”這便是費馬得出的一個結論，用數(shù)學語言來表達就是：當n≥3時，方程xn + yn = zn 沒有正整數(shù)解.

這個方程的形式與勾股定理很相似，仿佛是勾股定理的一種延伸，只是字母的指數(shù)由2變?yōu)榱薾. 在費馬的結論中，當n=2時，就是勾股定理的情形，這時方程有無數(shù)組正整數(shù)解，每組勾股數(shù)都是它的解.

雖然只是指數(shù)由2變?yōu)榱薾（n≥3），但問題的難度卻陡然升高了許多.人們費盡了心血，包括當時最杰出的數(shù)學家和數(shù)不清的業(yè)余數(shù)學愛好者，用了很長時間一直找不到費馬大定理的證明方法.后來，人們已經(jīng)不相信費馬真的找到了這個結論的證明，推測他可能如成千上萬的后來人一樣，自以為證明出來而實際上搞錯了.然而，費馬確實創(chuàng)造了一種獨特的方法，證明了n=4的情況.而n=3的情況則是由大名鼎鼎的數(shù)學家歐拉在1753年給出的.因此，在19世紀初，實際上只有n=3、n=4這兩種情況得到了證明.而n=5的情況則是在經(jīng)歷了半個多世紀后，一直到 1823年才首次被完全證明.費馬大定理對當時的數(shù)學家是一個極大的挑戰(zhàn).當時的學術界為了表示對它的重視，1816年，法國科學院首次為費馬大定理設立了大獎.許多大數(shù)學家，如高斯和柯西，都曾熱衷于解決這個問題.然而，他們并沒有獲得實質性的突破.

在早期嘗試解決費馬大定理的英雄豪杰里，還有一位巾幗英雄，她就是德國的蘇菲·日爾曼.小時候的日爾曼是一個害羞、膽怯的女孩，靠自學、閱讀來研究數(shù)學.由于當時女性在數(shù)學界受到歧視，她就用一個男性化的名字同一些大數(shù)學家通信，其中包括高斯和勒讓德.她的才能讓這些一流的數(shù)學家也大為驚訝.

隨著數(shù)學各分支的不斷發(fā)展，各種數(shù)學工具涌現(xiàn)出來，數(shù)學家們手中的武器越來越多.進入20世紀，許多代數(shù)學家們仍在前仆后繼地努力證明費馬大定理.1983年，德國數(shù)學家法爾廷斯證明了一條重要的猜想——莫代爾猜想.他的證明用到了多位數(shù)學家的成果.這個重要的猜想表明，如果xn + yn = zn有一些互質的正整數(shù)解，那么解的個數(shù)最多也只有有限多個.另一位英國數(shù)學家希斯·布朗則證明了，對于幾乎所有的質數(shù)，費馬大定理都成立.1985年，德國數(shù)學家符萊又把費馬大定理的研究向前推進了一步.

英國數(shù)學家懷爾斯正是沿著前面許多數(shù)學家開辟的道路，在經(jīng)過漫長的7年探索后，終于在1993年6月取得了突破，并最終在1995年完全證明了費馬大定理，為這個世界難題徹底畫上了句號.