談競(jìng)賽數(shù)學(xué)思維策略與其他非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的聯(lián)系

葉鋆純 金鈴

摘 要：眾所周知，競(jìng)賽數(shù)學(xué)目的就是訓(xùn)練學(xué)生的思維，而使學(xué)生思維得到訓(xùn)練的載體則是競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的思維策略。筆者將舉例談?wù)摳?jìng)賽數(shù)學(xué)策略與其他非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的聯(lián)系，闡述競(jìng)賽數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能給其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)帶來(lái)怎樣的幫助，從該角度論述競(jìng)賽數(shù)學(xué)的教育意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)競(jìng)賽;思維策略;其他學(xué)科

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，而競(jìng)賽數(shù)學(xué)能讓學(xué)生在常規(guī)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之余發(fā)展創(chuàng)新性思維能力。常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)講定理講概念，競(jìng)賽數(shù)學(xué)通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題闡述其中蘊(yùn)含的思維策略。競(jìng)賽數(shù)學(xué)思維策略大致有轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、反證法、類比與聯(lián)想等。有大量文獻(xiàn)闡述了掌握這些思維策略教育意義，但鮮有文獻(xiàn)研究競(jìng)賽數(shù)學(xué)思維策略與其他非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的聯(lián)系，以下筆者將舉例談?wù)勥@些策略在非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。

一、化歸策略在問(wèn)題解決中的應(yīng)用

化歸策略即將待解決的問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，最終使原來(lái)的問(wèn)題得解。因此，在涉及問(wèn)題解決的學(xué)科中該策略都能發(fā)揮出其作用。如以下一道物理題[1]：光滑斜面長(zhǎng)為α，寬為b，傾斜角為θ，一物體從斜面左上方點(diǎn)P水平射入，而從斜面右下方頂點(diǎn)Q離開(kāi)斜面，求入射初速度。該題物理情境描述的是物體在三維立體斜面上的運(yùn)動(dòng)，學(xué)生理解起來(lái)較為抽象，很難分析出物體在斜面上做“類平拋運(yùn)動(dòng)”。所以此處應(yīng)運(yùn)用化歸策略，現(xiàn)將對(duì)題目情境降為二維側(cè)視圖和垂直斜面視線的俯視圖，再將物體運(yùn)動(dòng)分解為在光滑斜面上沿b方向的速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿α方向的初速度為零，加速度為a=gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為以前熟悉的會(huì)解決的問(wèn)題。

二、運(yùn)用類比策略學(xué)習(xí)科學(xué)哲學(xué)

在看似與競(jìng)賽數(shù)學(xué)風(fēng)馬牛不相及的科學(xué)哲學(xué)研究領(lǐng)域中，也不乏需用到競(jìng)賽數(shù)學(xué)策略之處。比如《Some Problems for Conditionalization and Reflection》[2]中的該文段：

理解好這一文段是學(xué)習(xí)這篇文章的關(guān)鍵之處。但是，很多沒(méi)學(xué)習(xí)過(guò)競(jìng)賽數(shù)學(xué)的哲學(xué)學(xué)生很難看懂從到所隱含的哲學(xué)理論，即使他們了解過(guò)全概率公式，但是如果不會(huì)應(yīng)用類比的策略是很難理解這一文段的。

在這里我先舉一個(gè)通俗一點(diǎn)的例子：飛機(jī)中彈而墜毀。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，飛機(jī)中彈后有可能墜毀有可能不墜，中彈個(gè)數(shù)越多越容易墜毀，而且飛機(jī)中彈的個(gè)數(shù)是有對(duì)應(yīng)概率的。

上述式子中P（B）表示飛機(jī)墜毀的概率，P（Ai）表示中i個(gè)彈的概率，P（B/Ai）表示中i個(gè)就墜的條件概率。全概率其實(shí)就是不同路徑概率的加權(quán)平均數(shù)，該平均數(shù)描述的是結(jié)果B發(fā)生的概率。

接著，類比上面的例子，設(shè)事件X：“任何事件”;Dt（X）=pt：“未來(lái)對(duì)X的信念度”，t=0，1，2，3…。只需把Dt（X）=pt類比成Ai;X類比成B;D0是概率符號(hào)P就不難理解文中“”表示：在未來(lái)，對(duì)事件X的信念度為Dt的情況下，事件C實(shí)際發(fā)生的概率。進(jìn)而把它代入，不難理解該式子表示：不管我未來(lái)對(duì)X的信念度怎樣，未來(lái)t時(shí)的信念度乘上該信念度下事件X實(shí)際發(fā)生的概率，這t個(gè)路徑的概率的加權(quán)平均數(shù)都會(huì)等于我現(xiàn)在對(duì)事件X的信念度D0（X），因?yàn)槲磥?lái)信念度怎樣都不會(huì)影響我的現(xiàn)在的信念度。

三、反推法策略在眾多學(xué)科中的應(yīng)用

在生物學(xué)的發(fā)展進(jìn)程中，生物學(xué)家常用反推法去發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題。如[3]很久以前在探索基因控制蛋白質(zhì)的合成過(guò)程時(shí)，他們?cè)谝訢NA作為遺傳物質(zhì)的生物中發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)錄是以DNA的一條鏈為模板合成了RNA。一開(kāi)始他們將生物分為以DNA或以RNA作為遺傳物質(zhì)的兩類。于是他們進(jìn)行反向思考： 既然前者能以DNA為模板合成RNA，那么是否存在以RNA為模板來(lái)合成DNA的生物？經(jīng)歷了一系列研究后他們終于在RNA病毒——?jiǎng)谑先饬霾《局姓业搅四孓D(zhuǎn)錄酶，證明了在RNA病毒中能以RNA為模板合成DNA。該策略除了在學(xué)習(xí)理科能發(fā)揮用處，在學(xué)習(xí)政史地等科目時(shí)也頗有裨益。如在學(xué)習(xí)美國(guó)南北戰(zhàn)爭(zhēng)這段歷史時(shí)，我們假設(shè)現(xiàn)在南北經(jīng)濟(jì)形態(tài)反轉(zhuǎn)，北方是奴隸種植園制度，南方是資本主義工商業(yè)，顯然南方也肯定不會(huì)允許北方奴隸制存在。如此反轉(zhuǎn)之后我們不難理解，這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)必然發(fā)生，其根源在于理解南北經(jīng)濟(jì)制度的沖突。進(jìn)而我們探究北方勝利的原因，直覺(jué)告訴我們可能是兵力等外在條件北強(qiáng)南弱。假設(shè)現(xiàn)在戰(zhàn)爭(zhēng)條件南強(qiáng)北弱，但十六世紀(jì)是資本主義發(fā)展的時(shí)期，此時(shí)走資本主義道路順應(yīng)時(shí)代潮流，必得到廣大人民群眾的擁護(hù)。通讀歷史我們知人民群眾才是那既能載舟亦能覆舟之水，故由上面的反推法可以看出：美國(guó)南北戰(zhàn)爭(zhēng)勢(shì)在必行，且北方勝利亦是歷史的必然選擇。

四、結(jié)束語(yǔ)

從以上各例不難看出，競(jìng)賽數(shù)學(xué)所訓(xùn)練的數(shù)學(xué)思維策略與其他非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都有密切聯(lián)系，或多或少地幫我們培養(yǎng)學(xué)習(xí)其他學(xué)科所需的思維能力。我們應(yīng)發(fā)揮好競(jìng)賽數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)作用，避免其淪為升學(xué)的評(píng)價(jià)工具，讓更多人看到競(jìng)賽數(shù)學(xué)冰冷美麗之下這份火熱思考的意義，使競(jìng)賽數(shù)學(xué)發(fā)揮出他該有的光彩。

參考文獻(xiàn)

[1]施亞明.例談化歸思想在物理解題過(guò)程中的運(yùn)用[J].物理通報(bào)，2015（09）：47-50.

[2]Frank Arntzenius.Some Problems for Conditionalization and Reflection[J].The Journal of Philosophy，Vol.100，No.7（Jul.，2003）：356-370..

[3]陶忠華.例析生物學(xué)教學(xué)中逆向思維的運(yùn)用策略[J].生物學(xué)教學(xué)，2017，42（07）：25-26.

作者簡(jiǎn)介：葉鋆純（1996.7-），女，漢，廣東汕頭人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院研究生在讀，研究方向：學(xué)科教學(xué)數(shù)學(xué);

金鈴（1996.7-），女，漢，貴州黔南人，研究生在讀，研究方向：學(xué)科教學(xué)數(shù)學(xué)