2019年高考全國(guó)卷一理科22題淺析

摘 要：“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”屬于全國(guó)卷一中的選做內(nèi)容，主要體現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化及對(duì)應(yīng)關(guān)系。本文在對(duì)近四年全國(guó)卷一中的此部分內(nèi)容考查的分析上，對(duì)2019年的全國(guó)卷一中的這部分試題進(jìn)行探討和分析。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)系與參數(shù)方程;全國(guó)卷;高考題;高中數(shù)學(xué)

在全國(guó)卷一中，“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”為選做題二選一中的一道，中等難度，分?jǐn)?shù)為10分。2015全國(guó)卷一主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互相轉(zhuǎn)化;以及如何利用ρ的幾何意義求解弦長(zhǎng)，進(jìn)一步求出三角形的面積;2016全國(guó)卷一主要考查把參數(shù)方程先化為普通方程，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程;進(jìn)而聯(lián)立方程組求出相應(yīng)交點(diǎn)的坐標(biāo);2017全國(guó)卷一主要考查把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，接著聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo);利用橢圓的參數(shù)方程來(lái)表示出距離;2018全國(guó)卷二主要考查把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)方程;求解軌跡方程。

下面來(lái)具體分析2019年全國(guó)卷一中對(duì)于“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”的考查。

（2019年全國(guó)卷一22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程;

（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）利用消元法，可求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程;再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互相轉(zhuǎn)換公式，可求出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程;（2）用參數(shù)方程來(lái)表示曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式則可把應(yīng)求的距離轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)的形式，由三角函數(shù)的取值范圍則可求出相應(yīng)的最值。

【解析】

（1）由，得，且，又，故

，整理可得C的直角坐標(biāo)方程為：;

又，故l的直角坐標(biāo)方程為：.

（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為：，（θ為參數(shù)，-π<θ<π）;

則曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離，當(dāng)，則有，此時(shí)d取得最小值，故.

求解此類(lèi)問(wèn)題，一是要熟練掌握參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程以及直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)換，二是要注意借助巧設(shè)參數(shù)，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求解三角函數(shù)的最值。同時(shí)，也可看出，在2019年的全國(guó)卷一中，仍然延續(xù)了對(duì)于“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”部分的考查方向，側(cè)重于學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的分析理解的考查、側(cè)重于學(xué)生對(duì)于基本概念熟練掌握的考查、側(cè)重于學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合解決幾何問(wèn)題能力的考查。

作者簡(jiǎn)介：廖福輝（1985年）男，漢族，廣東梅州，高中數(shù)學(xué)一級(jí)教師，任教梅州市五華縣田家炳中學(xué)，現(xiàn)在職就讀于云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)碩士研究生