Fourier積分一致收斂性問題在復空間中的推廣

夏星星

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

于是對于x≤t≤2x，有：

Fourier積分一致收斂性問題在復空間中的推廣

夏星星

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

在重新定義復函數(shù)下的單調(diào)遞減性質(zhì)和（第二類）上確界有界變差函數(shù)（SBVF2）的前提下，通過分部積分和適當放縮等數(shù)學手段，研究了Fourier積分在復空間中的一致收斂性問題，利用新定義下的（第二類）上確界有界變差函數(shù)條件，將三角級數(shù)的一致收斂性結(jié)論推廣到了積分形式，進一步完善了三角級數(shù)收斂性的理論。

Fourier積分；復空間；一致收斂；單調(diào)遞減

0 引 言

Fourier級數(shù)是一種特殊的三角級數(shù)，產(chǎn)生于物理學研究的需要，關(guān)于熱傳導、弦振動和磁共振圖像重建技術(shù)的問題都以Fourier級數(shù)為理論基礎。Fourier級數(shù)是分析信號與系統(tǒng)最基本的分析工具，也是研究周期函數(shù)的工具。Fourier的思想和方法是基礎科學和應用科學研究開發(fā)的系統(tǒng)平臺，在科學和技術(shù)上的大量重要應用構(gòu)成了現(xiàn)代技術(shù)的強大基礎。

要有效地對Fourier級數(shù)進行近似計算，就必須研究其收斂性。人們一直在廣泛研究三角級數(shù)的一致收斂性［1］。目前，三角級數(shù)一致收斂性定理已經(jīng)被完整地推廣到了復空間。Korus通過考慮積分的形式，得到與之平行的一些結(jié)論，從而使三角級數(shù)得到更廣泛的應用。

本文將在Korus的正弦積分一致收斂性［2］的基礎上，將已有的三角級數(shù)在復空間中一致收斂的結(jié)論［3］推廣到積分的形式。記C2π為所有實值或復值的具有2π周期的連續(xù)函數(shù)f（x）的全體所組成的空間，記為f的范數(shù)。C表示與x無關(guān)的正常數(shù)，C（t）表示僅與t有關(guān)的正常數(shù)，其值在不同場合可能有所不同。

1 定 理

Korue定義了下列集合：

張麗君［3］將三角級數(shù)一致收斂性問題完整地推廣到了復空間：

Krous首先定義了（第二類）上確界有界變差函數(shù)：

設f（x）∈AC1loc（R+）（在R+上局部絕對連續(xù)）。如果存在正常數(shù)C，A和在［0，+∞）上單調(diào)趨于無窮的僅依賴于f的正函數(shù)B（x），當a＞A時有：

則稱函數(shù)f（x）為（第二類）上確界有界變差函數(shù)，記作f（x）∈SBVF2（R+）。

首先在復空間中，類似于復數(shù)列的單調(diào)遞減概念［1］，同樣的給出復函數(shù)相應的定義：

記K（θ0）=｛z｜｜arg z｜≤θ0）｝，如果就某一θ0∈對于任意x1，x2，當x1≥x2時有f（x2）-f（x1）∈K（θ0），則稱復函數(shù)f（x）在復意義下單調(diào)遞減。

類似地，在此基礎上重新建立復空間中的（第二類）上確界有界變差函數(shù)：

設復函數(shù)f（x）為任何有限區(qū)間的有界變差函數(shù)并在［0，R］上可積。如果存在正常數(shù)C，A和在［0，+∞）上單調(diào)趨于無窮的僅依賴于f的B（x）使得當a＞A時有：

則稱f（x）為復意義下的（第二類）上確界有界變差函數(shù)，記作f（x）∈SBVF2。

通過從積分的形式來考慮，Korus建立了如下定理：

定理1.2 f（x）∈SBVF2（R+）且xf（x）∈。則當f（x）為正實函數(shù)時，0的充分必要條件是一致收斂。

基于張麗君和Korus的結(jié)論可將復空間中的三角級數(shù)一致收斂性定理進一步推廣到積分形式：

定理1.3 設復函數(shù)f（x）∈SBVF2，對于下列積分收斂的點t，記

與

2 定理1.3的證明

2.1 定理1.3充分性的證明

記

0且b（A）≥a0時，

于是有：

同時，對任何A′＞A＞a0有：

因為f（x）∈SBVF2，

當max｛a0，A｝＜a且b（A）≥a0時，類似地對任何A′＞a有：

由于f（x）∈SBVF2，與前面類似地得到：所以，從而由A′的任意性得

總之，當a≥a0時，在任何情況下都有｜I2（x）｜≤Cε。這樣，就已證得

2.2 定理1.3必要性的證明

t=0時有：

即有：

所以對任意的ε＞0，存在x0，使得當b≥B（x0）時，有：

另一方面，對于x≤t≤2x，x≥2B（x0），f（x）∈SBVF2，則看出：

于是對于x≤t≤2x，有：

故當x＞x0時，有：

即

綜上所述，定理1.3得證。

3 結(jié) 論

Fourier積分在復空間中的一致收斂性是在三角級數(shù)一致收斂性和Korus的正弦積分一致收斂性的基礎上進行推廣的。其中復函數(shù)在復空間中單調(diào)遞減性質(zhì)的重新定義和在Korus定義的（第二類）上確界有界變差函數(shù)（SBVF2）的基礎上作出的進一步修改是本文的突破點。總之，將三角級數(shù)一致收斂性推廣到積分的形式使得三角級數(shù)收斂性方面的研究更加完整，從而有利于其進一步的應用和其他科學領(lǐng)域的研究。

參考文獻：

［1］周頌平.三角級數(shù)研究中的單調(diào)性條件：發(fā)展和應用［M］.北京：科學出版社，2012.

［2］Kórus P.On the uniform convergence of special sine integrals［J］.Acta Math Hungar.2011，11：32-38.

［3］張麗君.三角級數(shù)一致收斂性問題在復空間的完整推廣［J］.數(shù)學雜志，2012，32（3）：461-465.

［4］謝庭藩，周頌平.實函數(shù)逼近論［M］.杭州：杭州大學出版社，1998：81-82.

［5］Zhou S P，Zhou P，Yu D S.Ultimate generalization to monotonicity for uniform convergence of trigonometric series［J］.ArXiv Math，2010，53（7）：1853-1862.

A Further Generalization of Uniform Convergence of Fourier lntegrals in the Complex Space

XIA Xing-xing
（School of Sciences，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

On the premise of redefining monotone decreasing property of complex functions and（the second class）supremum bounded variation function（SBVF2），this paper studies on the uniform convergence of Fourier integrals in complex space by mathematical methods such as integration by parts and appropriate scaling etc，uses（the second class）supremum bounded variation function conditions under the new definition to generalize uniform convergence of trigonometric series to integral forms，and further improves study on the convergence of trigonometric series.

Fourier integrals；complex space；uniform convergence；monotone decreasing

O174.21

A

（責任編輯：王寧寧）

1673-3851（2014）03-0325-04

2013-5-31

夏星星（1989-），女，安徽巢湖人，碩士研究生，主要研究方向為函數(shù)逼近論。