羅素悖論是否有解

一、悖論的含義

悖論又稱逆論或反論.即對一個命題用公認的推論方法去論證，命題的兩面可以同時推導出來，也就是說它既像是正確的，卻又被證明是錯誤的，令人難以判斷，這就是悖論.著名哲學家陳嘉映教授在《語言哲學》一書中指出悖論總是包含兩個要素：一個是自指，一個是否定.因此，在“我說的這句話是謊話”“所有話語都是謊話”“有些話語是謊話”“所有話語都是真話”“我這句話以外的所有話語都是謊話”這幾句話中，前兩句話暗含了悖論而后兩句話則沒有.因為“所有話語”中的“所有”包括了這句話本身，也就是說這句話是帶有自指性的.而“所有話語都是真話”之所以不包含悖論，是因為它不包含否定的情況.

古今中外有許多著名的悖論，其中最經(jīng)典的悖論包括羅素悖論、說謊者悖論、康托爾悖論等.在很長的一段時間里，悖論被認為是詭辯或是游戲，它對人類認知的價值并沒有得到認可.事實上，悖論的成因極其復雜，不僅涉及數(shù)學和邏輯學知識，更與人類思維的精密性和深刻性相關.解決悖論要建立在對邏輯和哲學進行深入研究的基礎之上，在解悖的過程中往往可以讓人們產(chǎn)生全新的思路和觀念.

二、羅素悖論及其邏輯分析

19世紀下半葉，德國數(shù)學家康托爾提出了著名的集合理論.這一理論對數(shù)學界產(chǎn)生了深刻的影響，其嚴密性得到了廣泛的認可.在1900年的國際數(shù)學家大會上，法國著名數(shù)學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱，集合理論使得數(shù)學達到了絕對的嚴格性.然而，不久之后，這個所謂完美的集合理論就被發(fā)現(xiàn)是有漏洞的.1901年前后，英國哲學家、邏輯學家、數(shù)學家羅素針對康托爾的集合論提出了質疑，震驚了整個數(shù)學界，這就是著名的羅素悖論.

羅素悖論的定義：把所有集合分為兩類.第一類集合指所有包含集合自身的集合;第二類集合為所有不以自身為元素的集合.假設第一類集合所組成的集合為[M]，第二類所組成的集合為[N]，于是有[M={A∣A∈A}，N={A∣A∈A}]，那么，[M∈N]的同時豈不是又得出[N∈N]？但是如果[M∈N]，那么根據(jù)第一類集合的定義，必有[N∈N]，但是[N]中任何元素都滿足[A?A]，于是得出結論：因為[N∈N]，所以[N?N]，這就出現(xiàn)了矛盾.反之，如果[N∈N]，那么根據(jù)第一類集合的定義，可得出[N∈M]，但是顯然[N∩M=?]，所以[N?N]，這依然有矛盾.羅素悖論的定義其實就是圍繞著“某些事物的類型是不是這些事物中的成員”這個問題展開的，因為無論回答是或否都是不合邏輯的，所以必然陷入矛盾之中.

為了更好地說明這個問題， 羅素后來又提出了一個通俗版本的理發(fā)師悖論.在某個小城鎮(zhèn)里，有一位理發(fā)師打出了一個廣告：“本理發(fā)師技藝高超，但是，本人只為城中所有不給自己刮臉的人服務，歡迎大家前來！”自然，小城鎮(zhèn)中來找這位理發(fā)師刮臉的人都是那些不給自己刮臉的人，最起碼在他們接受理發(fā)師服務的時候，他們是沒有給自己刮臉的.但是沒過多久，問題就出現(xiàn)了，理發(fā)師的胡子長長了，那么此時他到底是否應該給自己刮臉呢？如果理發(fā)師不給自己刮臉，那他就是那些不給自己刮臉的人中的一員，是符合理發(fā)師制定的服務對象的要求的，可當他拿起刮胡刀為自己刮臉的時候，他又不符合“不給自己刮臉”的條件了.試問理發(fā)師應不應該為自己刮胡子呢？羅素悖論在很大程度涉及了數(shù)學的基礎問題，但它與語言哲學也密不可分，息息相關.

三、羅素悖論的消解方案

悖論的出現(xiàn)似乎對邏輯的可靠性提出了很大的質疑，引發(fā)了數(shù)學界、邏輯學界乃至哲學界學者們的探討和爭議.1901年，羅素悖論更是引起了數(shù)學界的第三次危機.此后，包括羅素本人在內的眾多學界精英都投入到了解決悖論的研究之中，并給出了眾多解決方案，但卻始終難以得到普遍的認可.即使在21世紀的今天，關于羅素悖論的研究仍然是學界一個日久彌新的問題.

（一）羅素的類型論

類型論是羅素為了解決悖論而提出的，這個理論也是羅素的著作《數(shù)學原理》的主要思想.羅素認為康托爾的集合論出現(xiàn)的問題不僅僅是數(shù)學問題，也包含了邏輯問題，本質上就和說謊者悖論相似.想要解決悖論問題，就必須從邏輯入手，在消除悖論的同時保持數(shù)學的原樣.

邏輯悖論涉及數(shù)學上的幾個基本概念，比如說命題、類、基數(shù)……羅素把它們歸結為命題和命題函項，命題函項或者說函數(shù)是數(shù)學中的概念.在數(shù)學概念中，命題是指一個有真假值的表達式或是語句，而命題函項則是指那些含有變量的表達式，當變量確指某個確定的數(shù)或者值的時候，這個函數(shù)表達式就成為一個具體的命題，函項本身用[F（a）]、[F（b）]等表示.類型論中的“類型”指的就是某個函項的意義域.意義域是指一些元素組成的集合，當該函項的變元取這個意義域中的任意一個元素作為值時，所得到的命題都有意義，即可判斷真假.根據(jù)這個定義，函項中的變量或者變元都只能取意義域中的某個值（也就是類型中的某個值），但是變元的值并不能根據(jù)自己的意愿隨意選取，變元本身不能反過來先預設函項的值.函項變元的取值受到限制并且分為不同的類型，因此便產(chǎn)生了類型論的分層問題.用日常生活語言來理解，就是把函數(shù)中的變元對應到實在的簡單對象上，比如說，用[a、b]來替代滿足某個句子的詞語，例如，滿足句子“? ? ?是紅色的”中的“紅旗”“鮮血”.

另外，根據(jù)羅素的理論，若兩個實體都可以對應一個函項變元的值，它們就屬于同一類型.比如，句子“[X]是著名的作家”可以看作是一個函項，該函項的變量[X]在實際交際的語言中可以對應不同的實體，我們可以說“莫言是著名的作家”，也可以說“沈從文是著名的作家”，因此“莫言”和“沈從文”具有同樣的類型.我們不難看出，對于某個函項，在其變元的值被與之同類型的對象相互替換時，該函項或者命題本身依然是有意義的，但是如果與不同類型的對象進行替換，得出來的命題便失去了意義.比如，如果我們把“莫言”和“作家”進行替換，原命題就變?yōu)椤白骷沂侵淖骷摇?，這是毫無意義的循環(huán)語句.羅素指出：“這是一個淺顯的事實，但不幸的是，幾乎所有的哲學都企圖忘掉它.”

（二）類型論面臨的困難

類型論雖然在一定程度上規(guī)避了悖論的產(chǎn)生，但是在實際應用中也面臨著諸多困難.羅素本人也承認，類型論“在很大程度上還是初創(chuàng)的、混亂的、模糊的”.其中一個很大的問題就在于類型論的核心思想是避免出現(xiàn)惡性循環(huán).但是類型論的表述本身卻會破壞“避免惡性循環(huán)”的規(guī)定，因為類型論中的“函項”和“類型”是沒有限制的.由于一個關于函項本身的命題也就是一個函項，毫無疑問，根據(jù)羅素的理論，這就變成了“惡性循環(huán)”.如此，類型論連本身的表述問題都難以解決.

當然，有人認為上述問題是可以通過規(guī)定解決的，但事實上，“類型”本身的問題更加棘手.由上文得知，函項中變元的值如果被具有同類型值的對象替換，這個命題或者函項依然有意義，反之則會得到無意義的命題.這個結論在被用于與“類型”本身相關的函項時就會產(chǎn)生問題，比如，命題“鉛筆和橡皮具有同一類型”，如果把橡皮換成“便宜”，那么命題“鉛筆和便宜具有同一類型”就會被判斷為沒有意義的假命題.現(xiàn)在若把橡皮用變元[X]替代，原函項就變成了“鉛筆和[X]具有同一類型”.在數(shù)學語言中，這一推導出的函項本身是成立的，因為可以對“橡皮”加以肯定，而對“便宜”加以否定.在日常生活中，影響我們判斷的往往還有一個重要因素——語境，但這里就不加詳述了.

（三）從語言的本質屬性解悖

對悖論消解的研究大多需對數(shù)學邏輯公式加以改進，常借助于人工語言.然而人工語言很難解決元語言問題.自然語言是最根本的語言，如果從自然語言入手，通過研究語言的本質屬性而對悖論加以解釋，也許能為解悖打開一扇門.

數(shù)學界往往把悖論分為兩種：邏輯悖論和語義悖論.著名的說謊者悖論是語義悖論的代表，而羅素悖論是邏輯悖論的代表.事實上，這種劃分也只是約定俗成的.國內目前也有學者對這兩種悖論展開了深入的研究，有些結論值得參考.2009年，北京大學學報刊發(fā)的《悖論的語言結構遞歸否定》一文，對悖論的自然語言展開了探討.談到通過對悖論語言進行分析，發(fā)現(xiàn)所有的悖論無論是邏輯悖論還是語義悖論，其產(chǎn)生往往有三個條件：第一是層階條件（存在不同的語言階層，如對象元和元語言）;第二是重指條件（存在指稱不同層階語句的重指詞或詞組，如“這句話”）;第三是遞歸否定條件，重指的兩個句子形成循環(huán)否定或遞歸否定.羅素的解決方案區(qū)分了層階的高低，并且通過規(guī)避限制重指，但沒有涉及第三個條件，也就是對遞歸的否定.遞歸和層階是語言的基本屬性，以上三個條件只要否定一點即可消除悖論，因而對悖論消解的研究也可以試著從消除遞歸否定入手.比如說對“理發(fā)師悖論”可以這樣分析：城鎮(zhèn)里的人如果給自己理發(fā)→理發(fā)師就不給他理發(fā).由于理發(fā)師屬于城鎮(zhèn)里的人，于是就有：如果理發(fā)師給自己理發(fā)→理發(fā)師就不給自己理發(fā)，即：理發(fā)師給自己理發(fā)→理發(fā)師不給自己理發(fā)，這是一個假命題.于是就形成上面的遞歸否定式“[X]→[X]假”.同樣地，羅素本身提出的集合論悖論也可以用遞歸否定來解釋.

1901年前后，羅素悖論的提出動搖了康托爾的集合理論，震驚了整個數(shù)學界，悖論的產(chǎn)生涉及邏輯、數(shù)學、語言以及哲學等各個領域.對類型論、公理集合理論以及語言遞歸的否認都在一定程度上解決了羅素悖論，但是迄今為止還未得出完美的解決方案.在解悖之路上，我們要克服自身認知的片面性和思維的局限性，在不斷求索中進步.