歐幾里得幾何簡介

歐幾里得幾何簡稱“歐式幾何”，是幾何學(xué)的一門分支。歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何。歐幾里得幾何有時單指平面上的幾何，即平面幾何。數(shù)學(xué)家也用這一術(shù)語表示具有相似性質(zhì)的高維幾何。三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何。

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，約公元前330-275年）寫出了一部不朽之作《幾何原本》。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里得所有作品中最有價值的一部著作。在《幾何原本》里，歐幾里得系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動人民和學(xué)者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學(xué)論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學(xué)。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。

《幾何原本》偉大的歷史意義在于：①建立了公理演繹體系，即用公理、公設(shè)和定義的推證方法;②將邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)中，確立了邏輯學(xué)的基本方法;③創(chuàng)造了幾何證明的方法：分析法、綜合法及歸謬法。

歐幾里得的《幾何原本》共有13卷，有5條公設(shè)、5條公理、119個定義和465個命題，構(gòu)成歷史上第一個數(shù)學(xué)公理體系。其中第一卷講三角形全等的條件、三角形邊和角的大小關(guān)系、平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件;第二卷講如何把三角形變成等積的正方形;第三卷講圓;第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形;第六卷講相似多邊形理論;第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)的理論;最后幾卷講述立體幾何的內(nèi)容。

《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設(shè)。全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)展開其它各個部分的論述。也就是說，這些定義、公理、公設(shè)就是《幾何原本》全書的基礎(chǔ)。下面是其中的23個定義。

定義1：點不可以再分割。

定義2：線是無寬度的長度。

定義3：線的兩端是點。

定義4：直線是點沿著一定方向及其相反方向無限平鋪。

定義5：面只有長度和寬度。

定義6：一個面的邊是線。

定義7：平面是直線自身的均勻分布。

定義8：平面角是兩條線在一個平面內(nèi)相交所形成的傾斜度。

定義9：含有角的兩條線成一條直線時，其角成為直線角（現(xiàn)代稱為平角）。

定義10：一條直線與另一條直線相交所形成的兩鄰角相等，兩角皆稱為直角，其中一條稱為另一條的垂線。

定義11：鈍角是大于直角的角。

定義12：銳角是小于直角的角。

定義13：邊界是物體的邊緣。

定義14：圖形是一個邊界或幾個邊界所圍成的。

定義15：圓是由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等。定義16：圓中心的點叫做圓心。

定義17：直徑是穿過圓心、端點在圓上的任意線段，該線段將圓分成兩等分。

定義18：半圓是直徑與被它切割的圓弧圍成的圖形。半圓的圓心與原圓心相同。

定義19：直線圖形是由線段首尾順次相接圍成的。三角形是由三條線段圍成的，四邊形是由四條線段圍成的，多邊形是由四條以上的線段圍成的。

定義20：在三角形中，三條邊相等的稱等邊三角形，兩條邊相等的稱等腰三角形，各邊都不相等的稱不等邊三角形。

定義21：在三角形中，有一個角為直角的是直角三角形;有一個鈍角的稱鈍角三角形;三個角都為銳角的為銳角三角形。

定義22：在四邊形中，四條邊相等并四個角為直角的稱為正方形;四角為直角，但邊不完全相等的為長方形（也叫矩形）;四邊相等，角不是直角的為菱形;兩組對邊、兩組對角分別相等的為平行四邊形;一組對邊平行，另一組對邊不平行的稱為梯形。

定義23：平行直線是在同一個平面內(nèi)向兩端無限延長不能相交的直線。

這些定義分為三類。第一類指明某些概念，比如定義1、2、5，明確給出了點、線、面（注意：歐幾里得的線的概念也包含曲線）的概念。第二類是由原概念衍生的新概念。第三類是非實質(zhì)性定義，從表面上看，這些定義是實質(zhì)性的，其實不然，比如定義4中的直線為“點沿著一定方向及其相反方向無限平鋪”，這一定義幾乎是不可用的，最多指出將要討論的線是直線。

五條公設(shè)分別是：

1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。

2.線段（有限直線）可以任意地延長。

3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓（圓公理）。

4.凡是直角都相等（角公理）。

5.兩直線被第三條直線所截，如果同側(cè)兩內(nèi)角和小于兩個直角，則兩直線則會在該側(cè)相交。

上述前三條公設(shè)是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)理論，用來確定直線與圓的位置和形狀。第四條公設(shè)比較特別，它好像是一個未證明的定理。事實上，它明確指出了：直角的不變性或空間的齊性（the homogeneify of space）。它規(guī)范了直角，為第五公設(shè)的創(chuàng)立鋪平了道路。

第五公設(shè)又叫做平行公設(shè)fthe parallel axioml，因為它等價于：在一平面內(nèi)，過直線外一點，可作且只可作一條跟此直線平行的直線。平行公設(shè)引發(fā)了幾何史上最著名的長達兩千多年的討論。許多幾何學(xué)家嘗試用其他公理來證明這條公設(shè)，但都沒有成功。19世紀(jì)，俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（Nikolay IvanovkchLobaehevski）、匈牙利人波爾約（Bolyai）闡明第五公設(shè)只是公理系統(tǒng)的一種可能的選擇，并非必然的幾何真理，也就是說“三角形內(nèi)角和不一定等于一百八十度”，從而發(fā)現(xiàn)非歐幾里得的幾何學(xué)，即“非歐幾何”（non-Euclidean geometry）。

而五條一般公理是：若a，b，c，d皆為正數(shù)，則有

1.跟同一個量相等的兩個量相等，即若a=c且b=c，則a=6（等量代換公理）。

2.等量加等量，其和相等，即若a=b且c=d，則a+c=b+d（等量加法公理）。

3.等量減等量，其差相等，即若a=b且c=d，則a-c=b-d（等量減法公理）。

4.完全疊合的兩個圖形是全等的（移形疊合公理）。

5.全量大于分量，即a+b>a（全量大于分量公理）。

利用這23個定義、5條公設(shè)與5條公理，我們就可以推導(dǎo)出：等腰三角形的正逆定理，三角形三內(nèi)角和定理，進一步還可以推導(dǎo)出泰利斯（Thales）基本定理，用同一種正多邊形鋪地板只有三種樣式，拼成的正多面體恰好有五種。事實上，利用這23個定義、5條公設(shè)與5條公理已經(jīng)可以推導(dǎo)出整個歐式幾何中的所有結(jié)論了。

從這些內(nèi)容可以看出，目前中學(xué)課程里初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標(biāo)準(zhǔn)教科書。

在證明幾何命題時，每一個命題總是由前一個命題推導(dǎo)出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推導(dǎo)出來的。我們不能這樣無限地推導(dǎo)下去，應(yīng)有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性并被公認下來的命題稱為公理，如“兩點確定一條直線”即是一例。同樣對于概念來講，也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)中，我們盡可能少地選取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發(fā)點，利用純邏輯推理的方法，把該系統(tǒng)建立成一個演繹系統(tǒng)，這樣的方法就是公理化方法。歐幾里得采用的正是這種方法。他先擺出公理、公設(shè)、定義，然后有條不紊地由簡單到復(fù)雜地證明一系列命題。他以公理、公設(shè)、定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然后又以此為基礎(chǔ)，來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。其論證之精彩，邏輯之周密，結(jié)構(gòu)之嚴謹，令人嘆為觀止。

關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟;綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步導(dǎo)出要證明的事項;歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。

歐幾里得的邏輯證明不止是單獨一個命題的前提與結(jié)論之間的聯(lián)結(jié)，而是所有幾何命題的聯(lián)結(jié)成的邏輯網(wǎng)絡(luò)。零散的數(shù)學(xué)理論被他成功地編織為一個從基本假定到最復(fù)雜結(jié)論的系統(tǒng)。因而在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，歐幾里得被認為是成功而系統(tǒng)地應(yīng)用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的典范。

而作為完成公理化結(jié)構(gòu)的最早典范——《幾何原本》，用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來衡量，在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點。如一個公理系統(tǒng)都有若干原始概念f或稱不定義概念），如點、線、面就屬于這一類。歐幾里得對這些都給出了定義，但定義本身含混不清。另外，其公理系統(tǒng)也不完備，許多證明不得不借助于直觀的圖形來完成。例如，在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構(gòu)造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理并不保證這兩個圓必定相交。此外，個別公理不是獨立的，即可以由其他公理推出。這些缺陷直到1899年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在其《幾何基礎(chǔ)》出版時得到了完善。在這部名著中，希爾伯特成功地建立了歐幾里得幾何完整、嚴謹?shù)墓眢w系，即所謂的希爾伯特公理體系。這一體系的建立使歐式幾何成為一個邏輯結(jié)構(gòu)非常完善而嚴謹?shù)膸缀误w系，也標(biāo)志著歐式幾何完善工作的終結(jié)。