棣莫弗的數(shù)學(xué)成就

張祖民

棣莫弗（DeMoiver，Abraham），1667年5月26日生于法國維特里，勒弗朗索瓦，1754年11月27日卒于倫敦，他是最早給出棣莫弗公式（1722年）的學(xué)者，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的先驅(qū)，《機(jī)會(huì)的學(xué)說》是他早期的概率論著作，在該著作中，他詳細(xì)介紹了第一次定義獨(dú)立事件的乘法定理，還給出了n！的近似公式，并用該公式導(dǎo)出正態(tài)分布的頻率曲線，將其作為二項(xiàng)分布的近似曲線。

棣莫弗的才能及成就受到了人們廣泛的關(guān)注，據(jù)說，哈雷將棣莫弗的重要著作《機(jī)會(huì)的學(xué)說》呈送給牛頓，牛頓對(duì)棣莫弗十分欣賞，后來有的學(xué)生向牛頓請(qǐng)教概率方面的問題時(shí)，他這樣說：“這樣的問題應(yīng)該去找棣莫弗，他對(duì)這些問題的研究比我深入得多”，這足以說明牛頓對(duì)棣莫弗的才能及成就的認(rèn)可。

一、概率論方面的成就

G·卡爾達(dá)諾（cardano）、P·費(fèi)馬（Ferman）、B·帕斯卡（Pascal）等人都是概率論早期的研究者，他們所研究的主要是關(guān)于相互獨(dú)立隨機(jī)事件的概率——機(jī)會(huì)方面的問題，討論如賭博、有獎(jiǎng)抽彩過程中的機(jī)會(huì)，漸漸地，人們要求解決與大量事件集合有關(guān)的概率或期望值問題，如獎(jiǎng)券的總數(shù)很大，已知每一張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)都相等，那么抽取1000張、10000張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率有多大呢？人們希望了解，如果要保證中獎(jiǎng)的可能性達(dá)到90%，那么至少應(yīng)該購買多少張獎(jiǎng)券。

若隨機(jī)事件（如隨機(jī)地拋擲硬幣）中，某一事件出現(xiàn)（如拋擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正面）之概率為P，n表示所有隨機(jī)事件的總數(shù)，m是某一事件出現(xiàn)的數(shù)目，那么該事件出現(xiàn)的次數(shù)（m）與全體事件的次數(shù)（n）之比將會(huì)呈現(xiàn)什么規(guī)律呢？這是17世紀(jì)概率論中一個(gè)十分重要的問題。

1713年，雅格布·伯努利（Jacob Bernoulli）的遺著《猜度術(shù)》出版，在書中，他表示，在一定范圍內(nèi)進(jìn)行多次反復(fù)的試驗(yàn)，則上述問題的概率為0.9999;甚至將實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加至5708次、36966次，上述問題的概率為0.99999…，最后，雅格布·伯努利指出：“無限地連續(xù)地進(jìn)行重復(fù)性的試驗(yàn)，我們終能正確地計(jì)算出任何事件的概率，并從偶然現(xiàn)象之中看到事件本身存在的秩序，”但是，他并未具體說明這種偶然現(xiàn)象中的秩序是什么，這一工作就是由棣莫弗完成的。

在雅格布·伯努利的《猜度術(shù)》出版之前，棣莫弗就對(duì)概率論進(jìn)行了廣泛而深入的研究，1711年，他在英國皇家學(xué)會(huì)的《哲學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表了“論抽簽的原理”，該文于1718年用英文出版時(shí)被翻譯成《機(jī)會(huì)的學(xué)說》，并將其擴(kuò)充成一本書，他在書中并沒討論上述雅格布·伯努利討論的問題，1738年再版《機(jī)會(huì)的學(xué)說》時(shí)，棣莫弗才對(duì)解決上述問題的方法作了詳細(xì)的說明。

棣莫弗在《機(jī)會(huì)的學(xué)說》（1738年版）中稱，他很早就考慮過多次反復(fù)試驗(yàn)中的預(yù)期概率問題，他曾在1733年11月13日所寫的一篇拉丁文論文中指出：“坦率地說，這是在關(guān)于機(jī)會(huì)的學(xué)問中最困難的問題，”

在對(duì)概率問題的研究中，棣莫弗發(fā)現(xiàn)：重復(fù)n次獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中只有兩種可能的結(jié)果，而且兩種結(jié)果的發(fā)生與否互相對(duì)立，與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，事件發(fā)生與否的概率在每一次獨(dú)立試驗(yàn)中都保持不變，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)為1時(shí)，二項(xiàng)分布服從0-1分布。

棣莫弗將他的成果大量地應(yīng)用于解決諸如此類的問題，棣莫弗，拉普拉斯積分極限定理及中心極限定理還可用來解決反過來的統(tǒng)計(jì)問題：已知在一定范圍內(nèi)存在的期望的概率，求某一事件出現(xiàn)的概率，或者求滿足一定概率條件所需要的試驗(yàn)次數(shù)等。

棣莫弗的《機(jī)會(huì)的學(xué)說》在概率論的發(fā)展中起著承前啟后的作用，尤其是在二項(xiàng)分布、正態(tài)分布函數(shù)、中心極限定理等方面，為概率論的發(fā)展開辟了新的方向，對(duì)他來說，最重要的是解決了這樣的哲學(xué)問題：在人們以為是純粹偶然的事件中，可以尋找出其內(nèi)在的規(guī)律和必然，正如他在該書中所指出的那樣，盡管機(jī)會(huì)具有不規(guī)則性，由于機(jī)會(huì)無限多，隨著時(shí)間的推移，不規(guī)則性與秩序相比將顯得微不足道，他認(rèn)為，這種秩序自然是從“固有設(shè)計(jì)中”產(chǎn)生出來的。

在《機(jī)會(huì)的學(xué)說》中，棣莫弗得到了泊松分布的一種特殊情形，并將母函數(shù)用于對(duì)正態(tài)分布的討論中;在研究差分方程時(shí)，他將循環(huán)級(jí)數(shù)方法應(yīng)用于差分方程的求解中，此外，他在這部著作中還對(duì)賭博中涉及的概率問題進(jìn)行了深入探討，他的許多方法尤其是母函數(shù)方法在概率論的發(fā)展中占有十分重要的地位。

二、統(tǒng)計(jì)方面的成就

棣莫弗是1 8世紀(jì)將概率論應(yīng)用于人文、社會(huì)科學(xué)研究的重要人物之一，他在這方面的工作與哈雷的工作密切相關(guān)，哈雷在1693年就制定了確定保險(xiǎn)年金的理論，在他所統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，棣莫弗于1725年出版了《年金論》一書。

《年金論》不僅改進(jìn)了以往眾所周知的關(guān)于人口統(tǒng)計(jì)的方法，而且在假定死亡率所遵循的規(guī)律以及銀行利息不變的情況下，推導(dǎo)出了計(jì)算年金的公式，從而為保險(xiǎn)業(yè)提供了合理處理有關(guān)問題的依據(jù)，這些內(nèi)容被后人奉為經(jīng)典，他的《年金論》在歐洲產(chǎn)生了廣泛的影響，先后出版了7次之多，1725年、1743年、1750年、1752年、1756年分別用英文出版，1776年出版了意大利譯本，1906年出版了德文譯本。

三、復(fù)數(shù)方面的成就

棣莫弗在概率、統(tǒng)計(jì)方面的工作對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)有著重大的影響，尤其是現(xiàn)今以他的名字命名的中心極限定理，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，一系列的重要統(tǒng)計(jì)量，在樣本量N-∞時(shí)，極限分布都有正態(tài)的形式，這構(gòu)成了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中大樣本統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，如今，他的大樣本方法在統(tǒng)計(jì)方法中占據(jù)了很重要的地位，在復(fù)數(shù)理論的發(fā)展中，棣莫弗定理顯得十分重要，它是早期復(fù)數(shù)理論中最有意義的關(guān)鍵公式，因此，棣莫弗的工作可以說是復(fù)數(shù)發(fā)展的重要源頭。