看似無(wú)“圓”卻有“圓”

周萍

摘 要：高中數(shù)學(xué)試題的解答過(guò)程中，分析條件，挖掘其潛在信息，是較為重要的階段.而有些有用條件常常隱藏在題目已有的題設(shè)中，具有一定的隱蔽性，需要冷靜分析挖掘，才能“透明化”.在直線和圓的考查中，“圓”往往藏于條件中，此類“圓”稱作“隱形圓”，本文將就幾類常見的“隱形圓”問題進(jìn)行歸納總結(jié)，并對(duì)如何解決這類問題作初步的探討.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);隱形圓;探討

在近幾年的江蘇高考和各地模擬題中，很多試題把圓藏于函數(shù)、向量、軌跡、不等式等條件中，這就需要我們通過(guò)綜合運(yùn)用各類知識(shí)點(diǎn)，找出相關(guān)隱形圓，再利用數(shù)形結(jié)合等思想進(jìn)行解答直線與圓、圓與圓等問題，目前常見的主要有以下幾類找尋隱形圓的方法：

題型一：用定義法尋找“隱圓”

“隱圓”的尋找最基本的方式是利用圓的定義去進(jìn)行，所以在解某些題目時(shí)，我們可以找準(zhǔn)題中的定點(diǎn)，定長(zhǎng)，由定的條件來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而將動(dòng)點(diǎn)具體化.

題型二：用定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間張角尋找“隱圓”

用定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間張角尋找“隱圓”，在近幾年的高考中較熱門.在圓中，“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一條件是一常用條件，其往往會(huì)作為尋找“隱圓”有利條件，找準(zhǔn)直徑所在端點(diǎn)，進(jìn)而確定動(dòng)點(diǎn)位置.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓與圓的位置關(guān)系.解本題的關(guān)鍵是了解張角∠MPN恒為銳角的等價(jià)條件，以∠MPN=90°時(shí)作為臨界狀態(tài)，找到以∠MPN為圓周角的“隱圓”，再由∠MPN恒為銳角可知，P需要在圓A外，故圓A與點(diǎn)P所在圓無(wú)公共點(diǎn)，即兩圓外離.本題關(guān)鍵還是需要利用起“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一結(jié)論。所以，在題中動(dòng)點(diǎn)如出現(xiàn)在直角頂點(diǎn)位置，例如：現(xiàn)成的直角三角形，兩向量，兩直線斜率，我們可以密切關(guān)注頂點(diǎn)P是否在圓上.

題型三：由對(duì)稱性尋找“隱圓”

數(shù)形結(jié)合，由對(duì)稱性找尋隱形圓，將對(duì)稱點(diǎn)具體化到對(duì)稱圓上也是常見題型.

點(diǎn)評(píng)：以上兩個(gè)小題都是將對(duì)稱點(diǎn)鋪設(shè)開，找到其所在的對(duì)稱隱圓，由于點(diǎn)的存在，必然帶來(lái)“隱圓”與題目所給直線（圓）有公共點(diǎn).這種解題方式是從全局出發(fā)，類似于尋找點(diǎn)所在的軌跡，再利用軌跡探求問題本質(zhì).

直線與圓在高中數(shù)學(xué)中是C級(jí)要求，是數(shù)形結(jié)合思想的最好體現(xiàn)，筆者從近幾年的高考中發(fā)現(xiàn)，對(duì)直線（圓）與圓的考查，遵循“位置關(guān)系”這一基本主線，命題形式開始多樣化，保持著與函數(shù)、向量、軌跡以及不等式等相結(jié)合的原則，呈現(xiàn)出知識(shí)點(diǎn)間的綜合貫通，充分彰顯高中數(shù)學(xué)各個(gè)模塊的交匯價(jià)值.所以，這就要求學(xué)生一定要具備扎實(shí)的功底，做到前后知識(shí)的融會(huì)貫通，能夠靈活地采取一定的措施將函數(shù)、向量、軌跡和不等式等轉(zhuǎn)化為與圓方程相關(guān)的問題，這樣定能突破瓶頸，柳暗花明.