基于教學(xué)創(chuàng)新形式下逆矩陣的教學(xué)實(shí)踐

王俊美，張超，田祥，朱柘琍

（山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 泰安）

一 問題的提出

線性代數(shù)是高等學(xué)校理、工、經(jīng)、管、農(nóng)林各專業(yè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，用于提供自然科學(xué)和工程技術(shù)各領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工具，對于培養(yǎng)大學(xué)生的計(jì)算和抽象思維能力十分必要。抽象性與復(fù)雜性是該門課程兩大特點(diǎn)，經(jīng)過長期觀察思考、總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)教學(xué)中存在以下問題：

1.大部分學(xué)生通過高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，具備了一定的數(shù)學(xué)能力，但學(xué)習(xí)目的性、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等方面還有待提高；

2.教學(xué)內(nèi)容長期固化，教學(xué)案例陳舊單調(diào)；

3.教學(xué)方法、手段落后單一，教學(xué)過程以教師為主；

4.考核方式單一，不能全面考查學(xué)生能力。

二 解決的具體方法

為了深入貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于教育的重要論述，落實(shí)高校思政與教學(xué)結(jié)合的根本任務(wù)，促進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)融合創(chuàng)新發(fā)展，引導(dǎo)廣大教師潛心教書育人，爭做“四有”好老師，我校立足農(nóng)林專業(yè)，打通課程教學(xué)中不同要素的內(nèi)在壁壘，注重現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，創(chuàng)新教學(xué)理念、更新教學(xué)內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)方法與手段、完善教學(xué)考核與評價(jià)，積極探索智慧教育新形態(tài)。

（一） 創(chuàng)新思路

1.教學(xué)資源立體化

教材資源立體整合，新編教材、配套學(xué)習(xí)指導(dǎo)和同步訓(xùn)練冊、線上線下學(xué)習(xí)資料，資源豐富保證學(xué)生線上線下隨時(shí)隨地深入學(xué)習(xí)與練習(xí)。

圖1 教學(xué)資源

2.教學(xué)內(nèi)容豐富化

在保留基本概念和基本方法的前提下，增加課程思政、農(nóng)林類各專業(yè)的實(shí)際實(shí)驗(yàn)案例等，增加相關(guān)軟件的使用，使學(xué)生學(xué)習(xí)知識的同時(shí)，學(xué)會應(yīng)用。

圖2 教學(xué)內(nèi)容

3.教學(xué)方式多元化

采用雨課堂混合式教學(xué)模式，擴(kuò)展課堂維度，創(chuàng)建以學(xué)生為中心的智慧教學(xué)課堂, 實(shí)現(xiàn)線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式，全方位學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生回歸學(xué)習(xí)本質(zhì)。加強(qiáng)應(yīng)用案例教學(xué)，開展多種形式的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，學(xué)以致用。

圖3 教學(xué)方式

（二） 教學(xué)模式

構(gòu)建知識引領(lǐng)、思政育人、創(chuàng)新培養(yǎng)多元融合的線性代數(shù)育人體系。采用雨課堂混合式教學(xué)為主，創(chuàng)建以學(xué)生為中心的智慧教學(xué)課堂,引導(dǎo)學(xué)生回歸學(xué)習(xí)本質(zhì), 培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

（三） 教學(xué)活動與組織

（1）課前。發(fā)送預(yù)習(xí)材料，包括中國大學(xué)MOOC、微課視頻、學(xué)銀在線等相關(guān)教學(xué)視頻、概念產(chǎn)生背景、思考題等。

（2）課中。發(fā)布隨堂練習(xí)，借助雨課堂配合課堂講授。

（3）課后。課程內(nèi)容模塊化，每講完一個(gè)模塊，安排學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，掌握線性代數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。

（四） 教學(xué)評價(jià)

診斷性評價(jià)、形成性評價(jià)、總結(jié)性評價(jià)相結(jié)合，考核方式多元化。

（1）線上學(xué)習(xí)評價(jià)（占總成績10%），包括預(yù)習(xí)（4%）、雨課堂答題（6%）。

（2）過程考查（占總成績30%），包括課后作業(yè)（10%）、隨堂測驗(yàn)（10%）、課堂考勤（10%）。

（3）傳統(tǒng)筆試（占總成績50%）。

（4）綜合評價(jià)（占總成績10%），包括撰寫與本課程有關(guān)的小論文、學(xué)習(xí)體會、建模等。

三 課程實(shí)施

作為創(chuàng)新活動的實(shí)踐，下面以逆矩陣為例，我的課堂實(shí)施如下圖[1-3]。

圖4 實(shí)踐過程

（一） 視頻引入：播放微視頻“數(shù)學(xué)的力量”[4]

“數(shù)學(xué)的力量”敘述了王小云教授為了國家的各個(gè)方面更安全，人民的生活更幸福，在密碼學(xué)方面做出了卓越的貢獻(xiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：采用小視頻的方式，讓課堂教學(xué)具備應(yīng)用氣息，這種貼合實(shí)際的點(diǎn)綴可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓這門抽象的課程帶有一些趣味，同時(shí)融入了課程思政，達(dá)到了“潤物細(xì)無聲”的效果。

教師策略：教師播放微視頻，學(xué)生觀看微視頻，教師提出矩陣在密碼學(xué)中的重要地位，同時(shí)引導(dǎo)啟發(fā)思政元素：數(shù)學(xué)家的科學(xué)精神、學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)及人格魅力，以此激發(fā)學(xué)生對科學(xué)探索的使命感和責(zé)任感，樹立科學(xué)觀念。

（二） 理論教學(xué)

1.與數(shù)的運(yùn)算做類比

設(shè)計(jì)意圖：將陌生的逆矩陣的定義與熟悉的數(shù)的乘法運(yùn)算作類比，建立新舊知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生探究逆矩陣。

教師引導(dǎo)啟發(fā)：提出本次課的研究主題-逆矩陣。

2.啟發(fā)探究，形成“逆矩陣”定義，提出問題

定義1 設(shè)A是n階矩陣，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A可逆，并稱矩陣B是A的逆矩陣。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法，利用現(xiàn)代信息化教學(xué)模式，在線性代數(shù)教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)軟件MATLAB，它集圖示和精確計(jì)算于一身，在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理、化工、機(jī)電工程、醫(yī)藥、金融和其他需要進(jìn)行復(fù)雜數(shù)值計(jì)算的各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

比較兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)雖然數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法簡便但基本功不能丟。

6.講解推論

推論1 若n階方陣A,B,滿足AB=O, 且|A|≠0, 則B=O.

推論2 若n階方陣A滿足AB=AC, 且|A|≠0, 則B=C。

教師和學(xué)生合作推導(dǎo)(1)，學(xué)生自己推導(dǎo)(2)，強(qiáng)化逆矩陣的運(yùn)算意義，呈現(xiàn)提出問題、解決問題的完整課堂結(jié)構(gòu)。

設(shè)計(jì)意圖：前后呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)有了逆矩陣相當(dāng)于矩陣有了類似于數(shù)的除法運(yùn)算，讓學(xué)生切實(shí)感受到逆矩陣的消去作用。

推論3設(shè)A、B是n階方陣，若AB=E，則必有BA=E.與定義判定方陣可逆相比，推論3判定方陣可逆，計(jì)算過程減少一半！為判定抽象方陣可逆提供了依據(jù)。

（三） 案例教學(xué)

A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0

問消息傳遞是怎么完成的[5-6]?

給出逆矩陣在生活中應(yīng)用的一個(gè)實(shí)例：“希爾密碼解密問題”在課前準(zhǔn)備視頻中同學(xué)們已經(jīng)了解了希爾密碼的由來和組成。通過這個(gè)例子讓同學(xué)們看到了所學(xué)數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用，真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具作用。

（四） 練習(xí)游戲

小組討論：老師給學(xué)生發(fā)了一封密信：APAF，約定：消息的每一個(gè)英文字母與整數(shù)0-25建立如下對應(yīng)關(guān)系

A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0

討論結(jié)果：LOVE(融入課程思政：老師愛你們！)

先以數(shù)學(xué)家笛卡爾和瑞典公主克里斯汀的愛情故事作為游戲的引入，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的浪漫，真正感受到了數(shù)學(xué)的魅力，再開展密碼游戲。

（五） 總結(jié)

1.歸納總結(jié)，完善知識結(jié)構(gòu)

（1）逆矩陣的定義；

（2）方陣可逆的充分必要條件（重點(diǎn)）；

（3）逆矩陣的應(yīng)用。

2.提煉思想方法

類比的數(shù)學(xué)思想、由抽象到具體，特殊到一般的思想。

根據(jù)課堂實(shí)施過程總結(jié)本次課的重難點(diǎn)、學(xué)生掌握情況，讓學(xué)生交流學(xué)習(xí)心得，從而促使教學(xué)相長。

（六） 作業(yè)與探究

3.利用書籍、網(wǎng)絡(luò)等資源查詢逆矩陣的應(yīng)用，以小組為單位提交一份報(bào)告。

課后探究是教學(xué)實(shí)施過程中必不可少的部分。有了課后探究，學(xué)生才能真正掌握課程內(nèi)容，達(dá)到學(xué)以致用的目的。本次課要求學(xué)生課后完成探究作業(yè)作為過程性評價(jià)的一部分。

四 教學(xué)創(chuàng)新效果及成果

（1）通過實(shí)施教學(xué)改革創(chuàng)新，課堂講授富有吸引力，課堂氣氛融洽，學(xué)生思維活躍，深度參與課堂。學(xué)生知識、能力與思維得到發(fā)展，有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

（2）課程思政融入課堂教學(xué)，將知識內(nèi)含的精神和價(jià)值外化為教學(xué)實(shí)踐，內(nèi)化為學(xué)生的精神涵養(yǎng)和價(jià)值追求。

（3）教師參加各種教學(xué)比賽、論文、項(xiàng)目及學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)競賽、實(shí)踐創(chuàng)新項(xiàng)目，成果顯著，在相關(guān)獲獎數(shù)量、獎項(xiàng)層次及成績方面，都有所提升。

（4）學(xué)生評價(jià)：

（a）在近5年的學(xué)生評教中，評教成績位居前列。

（b）每學(xué)期末隨機(jī)發(fā)放的累計(jì)近2000份在線調(diào)查問卷顯示，學(xué)生對線性代數(shù)課程教學(xué)的滿意度達(dá)到98%以上。