高中數(shù)學(xué)教學(xué)中公式教學(xué)的策略探討

曹亞?wèn)|

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等，同時(shí)高中數(shù)學(xué)里有許多知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)方式是通過(guò)公式來(lái)進(jìn)行的，比如正余弦定理、基本不等式、兩角和與差的三角函數(shù)等，這些核心素養(yǎng)的提升與知識(shí)點(diǎn)的掌握與公式教學(xué)有著密切的聯(lián)系，需要教師給予一定的重視.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);公式教學(xué);策略

一、公式教學(xué)——在實(shí)際情境中發(fā)展直觀想象

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，直觀想象是學(xué)生通過(guò)空間形式解決問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是通過(guò)幾何直觀與空間想象來(lái)對(duì)事物的形態(tài)和變化進(jìn)行感知，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的重要手段，將其應(yīng)用于公式教學(xué)中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的論證思維和推理思維.例如，在人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》中，教師可以利用學(xué)生比較熟悉的摩天輪來(lái)展開(kāi)相關(guān)教學(xué)活動(dòng)，展示相關(guān)圖形，讓學(xué)生發(fā)散思維，分組討論和思考摩天輪的點(diǎn)與地面距離應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行表示.學(xué)生利用圖形的特點(diǎn)建立起直角坐標(biāo)系，同時(shí)對(duì)摩天輪上的點(diǎn)到地面的距離利用三角函數(shù)的定義來(lái)列舉公式，即h=9+8sinα.這種從實(shí)際出發(fā)來(lái)創(chuàng)設(shè)情境的教學(xué)，不僅能夠有效地激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)也能夠幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)問(wèn)題，從而使學(xué)生能夠更為深入地了解到三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，并且使其懂得利用知識(shí)點(diǎn)來(lái)刻畫(huà)相關(guān)周期現(xiàn)象.

教師可以進(jìn)一步地提出問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)，比如：“在這個(gè)公式中，如果角α等于150°，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算點(diǎn)P到地面的距離？”學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行觀察，能夠發(fā)現(xiàn)角150°與角30°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，也就是說(shuō)150°與角30°的終邊與單位圓的交點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，因此兩個(gè)角的正弦是相等的.有了這個(gè)基礎(chǔ)，學(xué)生便能夠很輕松地算出點(diǎn)P到地面的距離.教師在對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)時(shí)，應(yīng)當(dāng)側(cè)重于圖形的觀察，讓學(xué)生能夠察覺(jué)到單位圓交點(diǎn)與互補(bǔ)角的終邊是位于同一水平線，地面與兩點(diǎn)之間的距離相等，最終得出結(jié)論，即其正弦值相等，這種教學(xué)方法能夠牢牢抓住誘導(dǎo)公式這一教學(xué)本質(zhì)，通過(guò)教學(xué)模型來(lái)得出結(jié)論能夠使得學(xué)生更為直觀地了解公式，進(jìn)而促使學(xué)生更為靈活地應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.

二、公式教學(xué)——在公式應(yīng)用中發(fā)展運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是通過(guò)運(yùn)算法則來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，其前提條件便是能夠?qū)\(yùn)算對(duì)象有著明晰的認(rèn)識(shí)，這也是高中數(shù)學(xué)里，學(xué)生必須要掌握的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其主要內(nèi)容包括對(duì)運(yùn)算對(duì)象的深入理解、運(yùn)算法則的掌握程度、運(yùn)算思路的清晰明確、運(yùn)算方法的合理選擇、運(yùn)算程序的科學(xué)設(shè)計(jì)以及運(yùn)算結(jié)果的正確求得等，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)所在.以人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》為例，“當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α分別等于-240°和495°時(shí)，摩天輪上的點(diǎn)P到地面的距離為多少？”在對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將誘導(dǎo)公式運(yùn)用其中，使得負(fù)角誘使為正角，大角誘使為小角，同時(shí)將未知角轉(zhuǎn)化為已知角，通過(guò)誘導(dǎo)公式來(lái)解決問(wèn)題.總結(jié)概括起來(lái)便是“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”.在這一過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了運(yùn)算對(duì)象的分析、運(yùn)算方向的推斷、運(yùn)算規(guī)則的選擇、運(yùn)算結(jié)果的計(jì)算與判斷等.這種公式教學(xué)能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使其能夠經(jīng)歷“具體——抽象——具體”這一過(guò)程，使其能夠有效地構(gòu)建其新的知識(shí)體系.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，所有的教學(xué)過(guò)程都可以概括為從具體到抽象再到具體，在“具體——抽象”中，是學(xué)生汲取新知識(shí)與構(gòu)建知識(shí)體系的過(guò)程，而在“抽象——具體”中，是學(xué)生通過(guò)已學(xué)知識(shí)和已知方法來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程.而這個(gè)過(guò)程在進(jìn)行時(shí)，會(huì)使學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則，使其能夠具體地運(yùn)用公式來(lái)解決相對(duì)應(yīng)的問(wèn)題.通過(guò)誘導(dǎo)公式來(lái)總結(jié)步驟與方法，有利于加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展有著積極作用.

三、公式教學(xué)——在公式探究中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象

通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象來(lái)獲取數(shù)學(xué)研究對(duì)象，這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)便是數(shù)學(xué)抽象，該素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生形成理性事物的基礎(chǔ)所在，同時(shí)也能夠反映出數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，而公式教學(xué)則是能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象.依舊以人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》為例，在學(xué)生得出相關(guān)公式后，教師可以繼續(xù)提出相關(guān)問(wèn)題：“終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的角的正弦是否都相等？為什么？除了正弦相等，余弦與正切之間又存在什么關(guān)系？”教師同樣分組讓學(xué)生進(jìn)行小組內(nèi)的探究討論，學(xué)生在對(duì)圖形特點(diǎn)進(jìn)行仔細(xì)觀察后，通過(guò)小組之間的合作交流與數(shù)形結(jié)合的方法，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式2，之后讓小組派出代表來(lái)對(duì)誘導(dǎo)公式所經(jīng)歷的思維過(guò)程進(jìn)行概括，教師做出總結(jié)，最終得出誘導(dǎo)公式的思維過(guò)程，即角的關(guān)系到對(duì)稱關(guān)系再到坐標(biāo)關(guān)系，最后到函數(shù)關(guān)系.這種方法能夠幫助學(xué)生了解如何去學(xué)數(shù)學(xué)，同時(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)反思與總結(jié)的良好習(xí)慣.

繼而教師可以利用對(duì)稱關(guān)系入手，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)縱向思考：“兩角終邊處理縱軸對(duì)稱之外，是否還存在其它對(duì)稱關(guān)系？其類(lèi)似的公式又是什么？”學(xué)生通過(guò)對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱和橫軸對(duì)稱的角的三角函數(shù)關(guān)系探究，能夠得出誘導(dǎo)公式3和誘導(dǎo)公式4.這樣的教學(xué)方法能夠?qū)⒔虒W(xué)重點(diǎn)突顯出來(lái)，有利于促進(jìn)學(xué)生的自主探究的能力，通過(guò)圖形的觀察到公式的猜想再到推理的證明，能夠使學(xué)生的感性認(rèn)知轉(zhuǎn)變?yōu)槔硇哉J(rèn)知，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升.

四、公式教學(xué)——在公式變形中升華知識(shí)體系

通過(guò)上述過(guò)程后，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)公式有著一定的認(rèn)識(shí)，但難以將其靈活運(yùn)用，無(wú)法做到舉一反三，而公式的應(yīng)用于呈現(xiàn)方式是靈活多變的，這就需要教師通過(guò)公式變形來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)體系.例如，在人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)替代公式中的元素和符合，在傳授三角函數(shù)的二倍角公式“sin2α=2sinαcosα”時(shí)，教師需得讓學(xué)生真正了解到二倍角公式的形式不單單只是“2α是α的二倍”，同時(shí)還可以在其它形式中應(yīng)用二倍角公式，包括“α/2是α/4的二倍”;“α/3是α/6的二倍”;“4α是2α的二倍”;“3α是3α/2的二倍”等.

因此，在進(jìn)行公式教學(xué)時(shí)，教師需要讓學(xué)生理解公式的相關(guān)含義，在二倍角公式中，其含義便是“當(dāng)α/β=2時(shí)，α便是β的二倍角，只有問(wèn)題中的關(guān)系符合二倍角，則都可以將二倍角公式應(yīng)用其中”.除此之外，三角函數(shù)的二倍角公式“cos2α=cos2α-sin2α”能夠轉(zhuǎn)變?yōu)椤癱os2α=1-2sin2α”或者“cos2α=2sin2α-1”.將這些公式靈活應(yīng)用到實(shí)際解題當(dāng)中，能夠幫助學(xué)生更快地解題，有益于學(xué)生實(shí)現(xiàn)事半功倍的學(xué)習(xí)效率.教師通過(guò)公式的變形、公式的逆用或者遷移訓(xùn)練，能夠使學(xué)生內(nèi)化對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解程度，通過(guò)這種舉一反三的教學(xué)形式，有利于學(xué)生公式的靈活應(yīng)用，使其知識(shí)結(jié)構(gòu)與體系德育升華.

簡(jiǎn)而言之，在高中數(shù)學(xué)中，公式教學(xué)的應(yīng)用是否有效，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思維與能力有著非常大的影響，學(xué)生只有真正掌握了數(shù)學(xué)公式，才能夠?qū)λ鶎W(xué)知識(shí)的本質(zhì)有一個(gè)清晰的認(rèn)知.因此，在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)公式教學(xué)為載體來(lái)提高學(xué)生的解題質(zhì)量與效率，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈亞平.談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的公式教學(xué)[J].基礎(chǔ)教育論壇，2019（08）：41-43.

[責(zé)任編輯：李 璟]