破運(yùn)算之困 現(xiàn)課堂之彩

李娟娟

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的操作體現(xiàn).所以高中數(shù)學(xué)課堂不僅僅是思路的探討，也要輔以精確的運(yùn)算過程，這樣的數(shù)學(xué)課堂更精彩.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)運(yùn)算

美國著名的教育學(xué)家玻利維亞說過，掌握數(shù)學(xué)就是意味著要善于解題.這個(gè)“善于”是包含了掌握一定的解題方法，也涉及數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧等諸多方面.因此，在課堂教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生正確的思考，配以精準(zhǔn)的運(yùn)算，得出完美的解答結(jié)果是課堂追求的最高境界.

下面以筆者在高三一輪復(fù)習(xí)課“直線與橢圓的位置關(guān)系”課堂實(shí)錄為例談?wù)剶?shù)學(xué)運(yùn)算在課堂中的滲透.

一、課堂實(shí)錄

引入考試題，激發(fā)學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生的求知欲.

教師：對(duì)于直線與橢圓位置關(guān)系，我們已經(jīng)有了一些認(rèn)識(shí)，下面請(qǐng)思考這道題.

例題 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率e=12，過右焦點(diǎn)F（1，0）的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P，Q.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)直線AP， BQ的斜率分別為k1， k2，是否存在常數(shù)λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

教師：知道離心率，知道焦點(diǎn)坐標(biāo)，先請(qǐng)大家動(dòng)筆完成第（1）題.

學(xué)生1：第（1）題就是基本量的運(yùn)算，由e=12及右焦點(diǎn)F（1，0），得c=1，ca=12，所以a=2.又b2=a2-c2=3，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y23=1.

教師：概括簡明扼要，明確基本量關(guān)系，運(yùn)算準(zhǔn)確.請(qǐng)思考第（2）問.

學(xué)生2：過右焦點(diǎn)F（1，0）的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，那么k1， k2的變化來源于這條直線，所以可以從設(shè)這條直線開始.

學(xué)生3：對(duì)，而且此直線要經(jīng)過右焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)直線方程為x=my+1運(yùn)算可能會(huì)簡潔.

學(xué)生4：我認(rèn)為還要補(bǔ)充說明一下若m不存在，直線PQ與直線AB重合，不合題意情況.

教師：嗯，說得不錯(cuò)，考慮直線的局限性，考慮到變化的根源，這樣的話，此題思路清晰，方向明確，那就請(qǐng)動(dòng)筆試試，從設(shè)出直線PQ開始找出正確答案吧！

（學(xué)生動(dòng)筆做題，教師現(xiàn)場(chǎng)巡視，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在運(yùn)算過程中停筆不前了）

（下面一片噓聲：對(duì)，對(duì)，我也算到這，下面怎么辦？）

教師：注意觀察特征，化簡到最后y1與y2落單了，無路可走了.那么y1與y2有已有的聯(lián)系能用上嗎？如何借助已知的信息？

（教室一片安靜，每位同學(xué)都在低頭思考，用心演算）

學(xué)生6：既然y1與y2是方程的根，那么直接解出

（教室爆發(fā)一陣熱烈的掌聲）

教師：真是山重水復(fù)疑無路啊，硬解恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最本真的處理！

學(xué)生7：我發(fā)現(xiàn)最后求的是比值，而my1y2=-9m4+3m2=32（y1+y2），

這樣可以將二次式轉(zhuǎn)化為一次式.

教師：嗯，緊扣目標(biāo)，找到關(guān)系，轉(zhuǎn)化到位，干得漂亮！

學(xué)生8：我是這樣處理的（投影展示）

因?yàn)樽罱K是一個(gè)比值，我估計(jì)能消去m，得到定值.

教師：太棒了，這是一個(gè)大膽的猜想，從最終結(jié)果是比值出發(fā)，那么猜測(cè)是否正確呢？

學(xué)生8：結(jié)果是對(duì)的，而且這個(gè)定值就是分子分母y2前的系數(shù)比！

教師：說得很棒，觀察很到位.本題中運(yùn)用不對(duì)稱性來處理比值問題是一種常用方法，請(qǐng)大家在解過程中注意觀察算式特征，大膽配湊，做到嚴(yán)格證明.

回到原題，請(qǐng)大家換個(gè)角度再想，有沒有其他途徑？

學(xué)生9：根據(jù)題意，如果利用k1，k2表示坐標(biāo)P，Q，再借助三點(diǎn)F，P，Q共線，也應(yīng)該能找到k1，k2關(guān)系.

學(xué)生10（神情激動(dòng)）：根據(jù)前面講過一個(gè)結(jié)論知道k1kPB=-b2a2，那么我只要驗(yàn)證k2kPB為定值即可！

眾學(xué)生：對(duì)哦對(duì)哦，我怎么沒想到！（教室響起一片掌聲）

教師：特別好，看來這位同學(xué)對(duì)橢圓性質(zhì)掌握很好，能熟練運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決新問題了.下面請(qǐng)大家選擇其中一種方法落實(shí)問題.

（每位同學(xué)再次投入到緊張的演算中）

教師：兩位同學(xué)思路清晰，書寫流暢，運(yùn)算準(zhǔn)確，對(duì)比三種方法，大家總結(jié)一下本課的收獲.

二、回顧與思考

教學(xué)中，正確運(yùn)算是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必備和掌握的一項(xiàng)基本功.因此，本節(jié)課通過題目驅(qū)動(dòng)，緊扣概念，由淺入深，第（1）題的設(shè)置解題方向明確，運(yùn)算難度簡單，目的是激發(fā)學(xué)生對(duì)解題的興趣.第（2）題引導(dǎo)學(xué)生梳理關(guān)系，弄清算理，這節(jié)課的重點(diǎn)是運(yùn)算的突破，引導(dǎo)學(xué)生冷靜分析，更多的要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣，包括變量前系數(shù)與符號(hào)的檢查習(xí)慣，抄寫習(xí)慣，檢驗(yàn)習(xí)慣等.

華羅庚說：“學(xué)數(shù)學(xué)而不練，猶如入寶山而空返.”數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是一個(gè)有思考的課堂，更應(yīng)該是一個(gè)有行動(dòng)的課堂.在數(shù)學(xué)的課堂上教師不僅引導(dǎo)學(xué)生分析問題，也要強(qiáng)調(diào)運(yùn)算過程的準(zhǔn)確性，更需和學(xué)生一起面對(duì)運(yùn)算結(jié)果的正確性，將運(yùn)算滲透到課堂，將理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐，真正地讓學(xué)生提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]